МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
учебно-методический материал (алгебра, 10 класс) по теме

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ  ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ  И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Метод подстановки заключается в переходе от искомой величины к некоторой другой величине. Метод сводит уравнения к более простым уравнениям изученных типов. Велико разнообразие случаев, когда приходится пользоваться этим методом. Охватить их какой-либо общей рекомендацией, разумеется, невозможно. Успех в выборе целесообразной подстановки существенно зависит от опыта и смекалки. Рассматриваемые ниже примеры демонстрируют метод подстановки в действии

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Разность дробей, расположенных в левой части данного уравнения» представляет собой дробь, у которой знаменатель есть многочлен четвертой степени относительно х. В таком случае шаблонная обработка уравнения приведет его к уравнению четвертой степени, что решающего устроить не может. После обдумывания начинаем понимать, что полезно выбрать подстановку  х2 + 2х = z, поскольку она преобразует данное уравнение к значительно более простому:

Относительно z получаем квадратное уравнение с корнями z1 = 3 и z2 = - 4. Подстановка х2 + 2х = z приводит к двум квадратным уравнениям относительно х:

х2 + 2х = 3 и   х2 + 2х = -4

Из них мы находим все четыре корня данного уравнения:  x1 = 1,  x2 = -3,  x3= -1 + ,  x4= - 1 -

и непосредственной проверкой убеждаемся в пригодности каждого из них.

Пример 2. Решить уравнение 4 x4 +12х3— 47х2+12х+4=0.

Решение. Предложенное уравнение так называемое возвратное уравнение — коэффициенты членов, равноотстоящих от концов его левой части, равны. Для возвратных уравнений разработан стандартный способ приведения их к уравнению более низкой степени.  Заметив, что x0 разделим уравнение на х2. получим

Теперь следующим образом сгруппируем члены:

При такой записи уравнения уже нетрудно сообразить, что оказывается эффективной подстановка

В самом деле, находим, что тогда

и решаемое уравнение преобразуется к квадратному уравнению 4 u2 +12 u — 55 = 0. Решив его, найдем, что

.

Из них находим, что

Примечание. Если приходится решать возвратное уравнение нечетной степени, то какова бы ни была эта степень, один корень такого уравнения всегда равен (—1). Проверить это можно на примере возвратного уравнения пятой степени

Если х=1, то

После деления на (х+1) это уравнение сводится к возвратному уравнению четвертой степени, которое можно в общем виде решить при помощи способа, показанного при решении примера 2.

Пример3. Решить уравнение

Решение. Целые корни алгебраического уравнения следует искать среди делителей свободного члена. Но здесь он равен единице, а 1 или —1 как легко проверить, корнями данного уравнения не являются.

Итак, целых корней данное уравнение не имеет. Для всех уравнений, у которых нет целых корней, попробовать подстановку

В нашем случае эта подстановка приводит к уравнению

Делитель свободного члена этого уравнения (—2) служит его корнем. В таком случае, понизив при помощи этого корня степень уравнения, находим остальные два корня y2 = 2  +i,  y3 =  2 – i. Следовательно,

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Если пытаться освободить уравнение от радикалов возведением его в квадрат, то получится шестая степень уравнения после того, как все радикалы исчезнут. Рассмотрим более простое решение. Подстановка  приведет нас к более простому уравнению относительно t, а именно к такому:

Возведем обе части уравнения в квадрат

t1 = 1,  t2 = -4

Далее заметим, что нас интересуют только положительные значения t, поскольку

>0 для всех значений х. 

Отбрасываем поэтому  корень t2 и получаем для отыскания х одно квадратное уравнение

 с корнями  x 1 = —1 и        x 2 = 0.

Не трудно проверить, что оба они являются корнями данного иррационального уравнения.