Конспект урока алгебры и начала анализа для 10 класса "Понятие логарифма"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок алгебры и начала анализа по теме «ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА».

Класс: 10.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Учебник: Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Цели: 

Образовательные:

ввести понятие логарифма при помощи графических соображений; выделить простейшие свойства логарифмов; формировать умения вычислять значение логарифма по определению и с помощью показательного уравнения.

Развивающие:

развивать у учащихся  математическую терминологию; развивать умения грамотно читать математические записи.

Воспитательные:

прививать аккуратность и правильность  записи математических  символов и выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать полученные учащимися результаты, выявить типичные ошибки, вынести на доску решение примеров, в которых было допущено наибольшее число ошибок. Работу над ошибками ученики выполняют дома самостоятельно.

III. Устная работа.

1. Представьте в виде степени с основанием 5.

а) 125;       б) 0,2;       в) ;       г) 1;       д) ;       е) .

2. Двое учащихся у доски: схематично изобразить график показательной функции и перечислить ее свойства для  

3. Решите уравнение:

IV. Объяснение нового материала.

1. Мотивация изучения.

(Понятие логарифма вводится при помощи графических соображений (как понятие корня п-ой степени). Таким образом, чтобы ввести понятие логарифма, обратимся к решению показательных уравнений графическим методом).

Последнее уравнение вызовет затруднение у учащихся, предложить им решить данное уравнение графически.

Графики функций   и y=7  пересекаются в одной точке. Ясно, что уравнение имеет один корень,  заключенный в промежутке от 2 до 3. Точное значение корня по чертежу определить нельзя. 

Возникает необходимость, как и в случае решения степенных уравнений, ввести новый символ математического языка: log 2 – логарифм по основанию 2.

2. Определение логарифма.

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получилось число b.

Символьная запись:

log a b = x,   b > 0,   a > 0,   a ≠ 1   ⇔   ax = b.

Учащиеся должны четко усвоить, что логарифм это показатель степени. Это даст возможность алгоритмизировать решение простейших показательных уравнений методом уравнивания показателей.

Пример: Решить уравнение 3х = 11. Мы должны обе части равенства представить в виде степени с основанием 3.

Запишем: 3х = 3

В  пустом  квадратике  должен  быть  показатель  степени,  значит, там будет логарифм по основанию 3 числа 11 (так как по определению нам нужен показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 11).

Значит,        3х = ;

                x = log 3 11.

Отсюда получаем свойство логарифма

3. Простейшие свойства логарифмов.

Кроме того, решать простейшие показательные уравнения можно, опираясь на определение логарифма как показателя степени.

Пример: 5х = 16. По определению логарифма x = log 5 16.

Отсюда вытекают еще три простейших свойства логарифма:

Можно предложить учащимся обосновать эти формулы самостоятельно. Также можно предложить самостоятельно доказать (методом противного), что log 2 6 – иррациональное число.

4. Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что операции логарифмирования и возведения в степень являются взаимообратными (для соответствующих оснований):

5. Рассматриваем частные логарифмы, а именно, с основанием 2, е, 10, с обоснованием их важности.

Справочные сведения: В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение. Опираясь на особенности принятой десятичной системы счисления, составляли весьма подробные таблицы десятичных логарифмов, наносили их на шкалы специальных логарифмических линеек. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль, более важны стали логарифмы по основанию 2, но особенно широко используются в математике и технике логарифмы, основанием которых служит число е.

Логарифм по основанию е обычно называют натуральным логарифмом.  Вместо символа принято использовать символ .
Примеры:  

ln е=1, ln1=0, 

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы.

I группа. Вычисление значения логарифма по определению/

     II группа. Применение простейших свойств логарифма для преобразования логарифмических выражений.

III группа. Решение простейших логарифмических уравнений.

I, II  № 5.4, № 5.5, №5.7, №5.9 (3 столбик)

Решение:

№ 5.4.

№5.5.

№ 5.7.

№5.9.

III. Найдите число х.

VI. Обучающая ссамостоятельная работа.

Вариант 1

1. Вычислите .

2. Решите уравнение.

а);                        б)  .

Вариант 2

1. Вычислите

2. Решите уравнение.

а)  ;                        б)  log x .

VII. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Сформулируйте определение логарифма числа b по основанию а.

– Чему равно значение ?

– Назовите простейшие свойства логарифма.

– Как  соотносятся  операции  возведения  в  степень  и  логарифмирования?

Домашнее задание: 

П. 5.1 , №№ 5.1, 5.2, 5.6(устно); №№ 5.3, 5.8, 5.9(1,2 столбики)