Исследовательская работа "Равновеликие и равно составленные фигуры"
творческая работа учащихся по алгебре (8 класс) на тему

Управление образования администрации Павловского района

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №1 г. Павлово.

Научно-исследовательская работа на тему

«Равновеликие и равносоставленные фигуры».

Отделение: физико-математическое

Секция: математическая

Работу выполнил:

ученик 8 А класса

Бочкарев Максим (14 лет)

Научный руководитель:

 учитель математики

Лефанова Н. А.

г. Павлово

2017 г.

Оглавление.

1. Введение…………………………………………………………………    3-4
2. Основная часть…………………………………………………………     5-11
3. Практическое применение равносоставленности……………………     12-14                                      
4. Заключение……………………………………………………………….   15
5. Список литературы………………………………………………………   16

1. Введение.

Рассмотрим две совершенно непохожие друг на друга фигуры. Казалось бы они совершенно разные, т.е. с точки зрения обывателя неравны. Но если эти фигуры вырезать из бумаги и разрезать одну из них на более мелкие фигуры, как показано на рисунке, то из этих частей можно сложить  вторую фигуру.

Данная головоломка «Танграм»  появилась в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется танграм на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Известно около семи тысяч различных комбинаций. Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Суть этой игры не только и не столько в собирании первоначальной фигуры — из разрезанных кусочков можно собирать разнообразные силуэты людей, животных, предметов домашнего обихода, игрушек, цифр, букв и т. д.

Какая же связь этой игры с математикой?   Во первых, в  основе всей игры лежат геометрические фигуры, а во вторых при разрезании одной фигуры и составлении из нее другой фигуры используются свойства площадей данных фигур.

В 8 классе на уроках геометрии мы начали изучать площади многоугольников. При доказательстве форму площади параллелограмм и треугольника мы использовали способ перекраивания.  Параллелограмм разрезанием и перекладыванием сводится к прямоугольнику, треугольник – к параллелограмму. Меня заинтересовали задачи, связанные с «разрезанием фигуры на части и перекладыванием этих частей». Так я впервые познакомился с понятиями «равновеликие фигуры и равносоставленные фигуры». Что же такое равновеликие и равносоставленные фигуры? Могут ли равные фигуры быть неравными и наоборот? Исследованием этих вопросов я занялся в своей работе.

 При изучении теоремы Пифагора, я узнал, что теорему Пифагора можно доказывать различными способами, один из которых  и использует равносоставленность и равновеликость.

Актуальность моего исследования состоит в том, что на основании понятий равносоставленности  и перекраивания можно находить площади разных фигур, а также составлять головоломки.

Основная цель моей работы -  исследовать различные геометрические плоские фигуры и способы нахождения площадей этих фигур путем «перекраивания», а также применение этих способов для доказательства некоторых теорем геометрии.

Занимаясь данным исследованием, я попытался решить следующие задачи:

1. Изучить понятия равносоставленность и равновеликость и теоремы связанные с этими понятиями;
2. Рассмотреть способы перекраивания многоугольников  при определении их площадей
3. Составить и решить некоторые головоломки на составление различных равновеликих фигур.
4. Найти практическое применение геометрических понятий равносоставленности и равновеликости

При исследовании различных многоугольников, я выдвинул гипотезу, что из любого многоугольника путем разрезания его  определенным образом на конечное число частей   можно составить любой другой равновеликий ему многоугольник.

А  что же такое равновеликие и равносоставленные фигуры?

Равновеликие фигуры — плоские фигуры одинаковой площади , а равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей. Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», то есть дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

2. Основная часть. Теоретические основы равносоставленности и равновеликости.

1. Метод разбиения.

Рассмотрим две фигуры (черт.1). Эти фигуры равносоставлены, т.к. разрезав первую фигуру по пунктирным линиям, мы составили из них вторую фигуру-квадрат.  Мы можем доказать, что эти равносоставленные фигуры равновелики.

На этом свойстве равносоставленности основан способ вычисления площадей фигур, называемый способом разложения. Этот способ был известен еще Евклиду  2000 лет назад. Для нахождения площади фигуры ее разбивают на конечное число частей так, чтобы из них составить более простую фигуру, площадь которой уже известна или легко находится. Из уроков геометрии мы знаем примеры применения этого метода. (черт.2, 3,4)

Во всех данных ситуациях можно доказать, что все равносоставленные фигуры равновелики. Возникает вопрос: всякие ли равновеликие фигуры равносоставлены?

Ответом на этот вопрос занимались почти одновременно сразу несколько математиков, не зная о работе друг друга. В 1790 г.  впервые эту проблему  сформулировал  венгерский ученый Фаркаш  Бойяи,  а в 1807 г. ее решил Вильям Валлас, шотландский математик, в  1833 году немецкий офицер, любитель математики Пауль Гервин , а в 1835 году, наконец, Бойяи, не зная о существовании этих решений, дал свое. Потому до наших дней эта теорема дошла под именем Бойя-Гервина.

Рассмотрим несколько утверждений:

1. Если фигура P равносоставлена с фигурой Q, а фигура Q с фигурой F, то фигура P равносоставлена с фигурой F.
2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. (Т.е. из  любого треугольника, разрезав его на конечное число многоугольников, можно составить прямоугольник такой же как треугольник площади)

Черт. 5

3. Два параллелограмма, имеющие одинаковые площади  и общую сторону, равносоставлены.
4. Любой многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.
5. Два прямоугольника, имеющие одинаковую площадь равносоставлены.

Доказательства этих утверждений можно провести, применив способ «прекраивания» фигур.

А на основании этих утверждений и доказывается теорема Бойя-Гервина: Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство: По утверждению (4)  любой многоугольник равносоставлен с некоторым  равновеликим ему прямоугольником. Если , если каждый из многоугольников равносоставлен  с равновеликим  ему  прямоугольником, значит, полученные прямоугольники равновеликие, и поэтому равносоставленные. Следовательно, согласно утверждению (1), исходные многоугольники равносоставлены.

2. Метод дополнения.

Метод разбиения иногда проще заменить другим способом: способом дополнения. В нем вместо разрезания фигуры на части, фигуру дополняют равными фигурами, так, чтобы получившиеся фигуры были равными. Естественно, что равнодополняемые фигуры имеют одинаковую площадь. А  всякие ли два многоугольника, имеющие одинаковую площадь, равнодополняемы? Утвердительный ответ на этот вопрос дает также теорема Бойя-Гервина.

Рассмотрим два многоугольника А и В одинаковой площади. Возьмем два равных квадрата таких, чтобы в них можно было разместить эти многоугольники.

Черт. 6

 Потом вырежем из этих квадратов соответственно многоугольники А и и В, тогда от квадратов останутся две равновеликие фигуры С и D. Из равенства площадей фигур С и D следует их равносоставленность по теореме Бойя-Гервина. Таким образом, фигуры  С и D можно разрезать на попарно равные части, а это доказывает равнодополняемость многоугольников А и В

Рассмотрим пример с   черт.. 1 На том рисунке применяется способ разбиения. На следующем рисунке (черт. 7), фигуры дополнены равными треугольниками, и поэтому также равновелики.

Черт. 7

5. Теорема Пифагора.

Методы разбиения и дополнения удобно использовать  при доказательстве многих теорем планиметрии. Например, для доказательства того, что параллелограмм и прямоугольник, имеющие одинаковые основания и высоты, равновелики.

Черт.8

Идея перекраивания легла в основу доказательства и теоремы Пифагора. Как известно, доказательств теоремы Пифагора существует существенно много. В них, квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из двух квадратов, построенного на катетах. Отличаются эти доказательства только способами перекраивания. Но во всех случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж и все рассуждения можно заменить одним словом «смотри», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Рассмотрим одно из таких доказательств. Это доказательство Эпштейна. В доказательстве, в качестве составных частей, используются только треугольники.

Черт.9

Но имея современные методы геометрии и, зная основные теоремы геометрии я доказал, что квадрат, построенный на гипотенузе составлен из треугольников, равных треугольникам, из которых составлены квадраты катетов.  Т.к. доказательство равенства всех треугольников очень длинное, я приведу в работе только пример доказательства некоторых треугольников.

Например, рассмотрим треугольники, обозначенные номером 1.

Черт.10

1.  ОСН= (т.к. они вертикальные), а величина (т.к. СF-диагональ квадрата СОFВ) , следовательно,МСА=45.
2. Прямую СD мы провели перпендикулярно прямой ЕF, поэтому
3. ,

Отсюда следует, что СА=АЕ.

4. +=90
5. 
6.  п.5 и 6 следует, что
7. По стороне  и двум прилежащим к ней углам треугольники МСА и КРА равны.

Еще более удобное и наглядное доказательство теоремы Пифагора предложил Бетхер. При доказательстве нужно переставить большие и маленькие части квадратов, расположенные над стрелкой.

Черт. 11

6. Терема Хадвигера – Глюра.

Исследуя равносоставленность и равнодополняемость, я узнал, что эти понятия равносильны понятию равновеликость.

Основная сложность применения теорем равновеликости и равносоставленности заключается в способах разрезания и дополнения. Как же нужно разрезать, например, квадрат, чтобы из него получился треугольник или выполнить разрезание квадратов при доказательстве теоремы Пифагора. Наверное, нужны какие-то дополнительные условия для числа частей, на которые нужно разрезать многоугольник и их расположения. Изучая литературу по этому вопросу, я узнал, что в 1951 году швейцарские математики Хадвингер и Глюр установили, что в теореме Бойя-Гервина нужно  еще дополнительно потребовать, чтобы части, на которые разрезается один из многоугольников и равные им части другого равновеликого многоугольника имели соответственно параллельные стороны.

Черт.12

Такм образом, каждые два равновеликих многоугольника можно разбить на части так, чтобы отвечающие друг другу части в виде треугольников или многоугольников    в разбиении обеих фигур были равны, и их соответствующие стороны были параллельны (т.е. эти части получались одна из другой параллельным переносом или центральной симметрией. Но исследование этого вопроса-это возможно уже тема моей следующей работы.

3. Практическое применение равносоставленности.

1. Разбиение Дьюдени.

 На какое минимальное число частей необходимо разбить равносторонний треугольник, чтобы из них можно было составить квадрат?

Эта  задача была предложена читателям газеты «Дейли мейл» Генри Дьюдени в выпусках от 1 и 8 февраля 1905 года. Среди сотен полученных ответов правильным был всего один: достаточно четырёх частей. Как же догадаться до такого разбиения? Необходимо взять равновеликие треугольник и квадрат, а затем составить из каждой фигуры регулярную полоску. Наложив одну полоску на другую так, чтобы максимальное число середин сторон одной полосы попадало на стороны другой полосы, получаем искомое разбиение. Это, в каком-то смысле, общий способ нахождения разбиений равновеликих многоугольников. Легко заметить, что все четыре части образуют нечто вроде цепочки. Если закрутить эту цепочку в одном направлении, то получится треугольник, а если её закрутить в противоположную сторону, то получится квадрат».

2. Мозаики.

Идеи равносоставленности нашли свое воплощение во многих областях жизни.  Один из примеров применения приведен в начале моей работы. Это головоломки «Танграм». Существует очень много задач-головоломок на разрезание и составление различных фигур. Такие же задачи-головоломки приходится решать, когда необходимо что-либо перекроить, т.е. из фигуры одной формы получить равновеликую фигуру другой формы.  Например, при составлении мозаики, когда приходится разрезать одни многоугольники, чтобы составить из них какие либо картины или панно.

3. Детская труба-мозаика

Идеи мозаичных панно повторились в детской игрушке «Мозаика», где в качестве элементов собраны части стеклышек, которые собираются в различных комбинациях в виде круга.

4. Паркеты

Еще одним применением идеи равносоставленности служат паркеты. В геометрии под паркетом понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Обычный тетрадный лист в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами паркета могут быть также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. 

5. Лоскутное шитье

Еще одно применение равноставленности и равновеликости  - народное творчество, а конкретно: лоскутное шитье. Лоскутное шитье – это искусство соединения небольших разноцветных кусочков ткани (лоскутов) в единое целое путем сшивания. Основой таких изделий служат геометрические фигуры; преимущественно квадраты и треугольники. Сщивая их по определенным схемам, мастера лоскутного шитья получают изделия различных форм и размеров.

4. Заключение.

В своей работе я исследовал вопросы равносоставленности  различных геометрических фигур.  Я научился  считать площади фигур, используя способы перекраивания. Основные теоремы о равносоставленности позволяют сделать вывод, что любую фигуру можно перекроить в другую равновеликую ей фигуру, а две равновеликие фигуры можно составить из одних и тех же более мелких фигур. Также я изучил различные способы доказательства теоремы Пифагора. Очень интересно с помощью различных разрезаний составлять головоломки на составление фигур. Еще много вопросов остались для меня нераскрытыми. Например, а как нужно разрезать многоугольник, так, чтобы разрезов было как можно меньше, и из получившихся многоугольников составить другой многоугольник.

Список литературы и интернет-ресурсы.

1. В.Г.Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры.-М.: Гостехиздат, 1956
2. Г. Линдгрен. Занимательные задачи на разрезание.-М.: Мир,1977
3. Журнал «Квант»,1980, №6
4. В.Литцман. теорема Пифагора. -М.:Государственное издательство физико-математической литературы, 1956
5. http://www.etudes.ru/ru/sketches/
6. http://mathlife.ru/parket
7. http://mosaic.su/nauka/geometricheskiy-parket/