Конспект урока "Геометрическая прогрессия"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Геометрическая прогрессия

Конспект урока по алгебре 9 класса.

Учитель математики МОУ «СОШ «Веста» Могильникова Г.И.

Цели:

          - С помощью проблемных ситуаций, постоянно возникающих

          на имитации процессов реальной жизни вывести формулы

          суммы n членов бесконечной геометрической прогрессии;

1. Повторение.

1. Опрос по формулам в устной форме;
2. Решение занимательных задач:

Учитель: 1)«Я задумал геометрическую прогрессию. Задайте два

                  вопроса, чтобы после ответов вы смогли быстро наз-

                  вать третий член прогрессии»

2)«Придумайте такую геометрическую прогрессию, чтобы ни в одном из её членов не встречалась цифра 1».

Ответ: 5,5,5,… (q = 1)? 5, -5,5,-5,… (q=-1)

              2,20,200,2000,…, (q = 10) и т. д.

 3)«Первый член некоторой геометрической прогрессии равен 2. Подберите такой знаменатель, чтобы четвёртый член этой прогрессии был больше 120 и меньше 130»

4)«Дано: b1 = 10000; bn+1 = bn *         . Какое число можно подставить вместо квадратика, чтобы пятый член прогрессии был: а) меньше 1; б) равен 1;   в) больше 1?

2. Вывод формулы n членов геометрической прогрессии.

Учащимся предлагается такая жизненная ситуация:

«Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил

такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 тысяч рублей. А ты мне в первый день за 100 тысяч рублей дашь 1 копейку, во второй день за 100 тыс. руб – 2 коп и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём» Купец обрадовался такой удаче. Он подсчи-

тал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Создаётся проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец Учащиеся составляют последовательность

чисел:1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; …. Убеждаются, что эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первым членом b1 = 1 и количеством членов n = 30. Большинство школьников стремятся составить всю последовательность, чтобы потом найти её сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени.

Учитель сообщает: «А ведь можно вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии в общем виде».

После этого проблемность ещё больше усиливается.

Учитель: «По преданию индийский принц Сирам, восхищённый остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё желание» сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Возникает необходимость найти S64 где b1 = 1, q =2, n = 64.

Под руководством учителя учащиеся выводят формулу

     . Убеждаются, что купец проиграл.

3. Бесконечно – убывающая геометрическая прогрессия.

Проблема: Каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным? Рассмотрим пример.

 Учитель предлагает игровую ситуацию:

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону.

     Первый шаг он делает длиной 1 метр, второй – ½ м, третий – ¼ м и т.д. – так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего.

     Возникают вопросы:

• Дойдёт ли ученик к двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?
• Какой путь пройдёт ученик, если представить себе его движение бесконечным?

Замечание: Каким бы маленьким ни был отрезок, всегда можно найти и записать числовое значение его половины.

школьники записывают последовательность:

1+ Как найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Создаётся проблемная ситуация.

  Возможно ли практически найти сумму членов такого вида последовательности?

   Если обозначить через Sn сумму n первых отрезков, то Sn = 1+ . По формуле суммы n членов геометрической прогрессии находим: Sn =

При n   , тогда Sn 2  Можно считать, что сумма бесконечного числа отрезков в рассматриваемой задаче равна 2.

Вывод формулы бесконечной убывающей прогрессии

a1не равно 0, /q/<1.

n, /q/<1

Т.к.

4.Закрепление нового материала

Решить № 410 и 420(а,б,в)

5. Д/З