разработка уроков по теме: "Степенная функция".
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Пояснительная записка

Данное изложение материала предусматривает возможность его применения в классах с разным уровнем подготовленности учеников к восприятию теоретического материала, его пониманию и умению применять при решении различных задач (решение уравнений, неравенств, построение графиков функций и т. д.).

Здесь теоретический материал представлен в виде опорных конспектов; учитель может при изложении теоретического материала по некоторым пунктам дать более расширенное пояснение или наоборот не заострять внимание учеников на тех или иных пунктах. В зависимости от уровня подготовленности, ученики могут сами сделать некоторые теоретические выводы, опираясь на предыдущие знания, используя аналогию с предыдущем материалом или при решении практических задач. Также можно не рассматривать подробно некоторые пункты, если профиль класса гуманитарный или специализация класса не подразумевает более глубокое изучение теоретического материала.

Рассмотрение теоретического материала может быть различным:

• лекционное рассмотрение материала, после чего учащиеся приступают к практической части;
• изложение теоретического материала чередуется с решением задач из практической части;
• теоретический материал дается ученикам в виде опорных конспектов, которые должны включать в себя решение учениками несложных задач, после чего учитель должен обсудить с учащимися тот материал, который ученики разобрали самостоятельно, а потом приступить к решении более сложных задач.

Практическая часть включает задания различного уровня сложности, устные задания, задания, которые позволяют закрепить теоретическую часть, углубить рассмотрение теоретической части, умение применять нестандартные приемы решения. Задачи составлены таким образом, чтобы ученики, решая их, учились логически связывать отдельные теоретические положения. Если выполнение заданий первого варианта будет проходить с большим числом ошибок, то ученику (ученикам) следует возвратиться к теории, а затем уже приступить к выполнению заданий из других вариантов.

 Данные варианты можно рассматривать по-разному:

• ученикам могут быть предложены сразу все варианты, и в течении нескольких уроков они их рассматривают на уроках самостоятельно, обращаясь за консультацией к учителю;
• варианты используются как задания для домашней работы, но на следующем уроке задания, которые оказались трудными для решения самостоятельно или вызвали некоторые вопросы, должны быть обсуждены на уроке;
• варианты решаются на уроках учениками в тетрадях и на доске, учитель в это время помогает, консультирует, напоминает, что из теоретической части нужно вспомнить, чтобы выполнить те или иные преобразования.

Итак, данное построение материала удобно использовать учителю, если ему приходится работать на параллели, где классы с различным уровнем подготовки или с различной специализацией.

Степенная функция

1. Степенная функция, ее свойства и график.
2. Равносильные уравнения и неравенства.
3. Иррациональные уравнения.
4. Иррациональные неравенства.
5. Обобщение предыдущего материала.
6. Контрольная работа.

• Цели уроков: Ознакомить учащихся со свойствами и графиками различных ( в зависимости от показателя степени) видов степенной функции, научить решать неравенства и уравнения с помощью графиков или свойств степенной функции, выполнять необходимые преобразования при решении уравнений и неравенств.

         Задачи урока:

• Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения  графиков степенных функций, при различных значениях показателя степени, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
• Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.
• Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.

Знания и навыки учащихся: знать определение степени с рациональным показателем, с действительным показателем, уметь выполнять преобразования выражений, используя свойства степени, сравнивая выражения, содержащие степени с рациональным показателем; знать свойства и графики различных случаев степенной функции, уметь сравнивать числа, решать неравенства и уравнения с помощью графиков или свойств степенной функции;  знать определение равносильных уравнений (неравенств), следствия уравнений (неравенств), уметь выполнять необходимые преобразования при решении уравнений и неравенств.

Оснащене:  мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Общая теоретическая часть

1. определение степени с рациональным показателем

=, где n≥2,

2. определение степени с действительным показателем

( общее понятие степени )

При любом xR и любом а>0  степень  а является положительным действительным числом:

а>0  при x   

• а=0, x>0, то 0 =0
• а=0, x<0, x=0, то выражение 0 не имеет смысла

3. свойства степени положительного числа

•         a, b>0       x, y
• 
•         
• 
• 

4. степенная функция, ее свойства и график

Рассмотрим графики ранее известных функций:

у = ах

у = ах                

у = ах                у =

у =  

Например:

y = x                y =

y=x                                        y=x                                        y=

Все рассмотренные выше функции являются частными  функциями степенной функции, т.е. у = ax.

Определение степенной функции: функция y = ax, где а и m  постоянные величины, называется степенной.  

Свойства и график данной функции зависят от свойств степени с действительным показателем (см. выше), т.е. от того, при каких значениях х и m имеет смысл выражение x.

Рассмотрим различные виды степенной функции и соответственно графиков в зависимости от показателя степени m.

1. m – четное натуральное  число (m= 2n, где n).

Например: y = x, у = х и.т.д., графиком каждой функции  является парабола (см. выше).

2. m – нечетное натуральное число (m = 2n-1, где n).

Например: y = x, y = xи.т.д., графиком каждой функции  является кубическая парабола (см. выше).

3. m – число, противоположное четному натуральному числу (m = -2n, где n).

Например: y = , y =  и.т.д.                                                                                                                                                                                                                                           

4. m – число, противоположное нечетному натуральному числу (m=-(2n-1), где n).

Например: у = , у =  и.т.д.

5. а) m – положительное нецелое число (дробное число), m<1. 

Например: у = х, у = хи.т.д.

б) m – положительное нецелое число, m>1.

 Например: у = x, y =x, и.т.д.

6. m – отрицательное нецелое число.

Например: y=x, y=x и.т.д.         

Рассмотреть следующие свойства, которыми обладают данные степенные функции (п.1 – п.6):

• область определения, Д(у);
• множество значений, Е(у);
• четность, нечетность;
• монотонность (возрастание, убывание);
• нули функции, у = 0;
• промежутки знакопостоянства, у>0.

Сделать сравнительную характеристику свойств степенной функции в зависимости от основания степени (х) и показателя степени (m).

5. Равносильные уравнения и неравенства

Определения:

• Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.
• Замена уравнения (неравенства) ему равносильным уравнением (неравенством) или замена уравнения ему равносильной совокупностью уравнений (неравенств, систем) называется равносильным переходом.

                 Утверждения о равносильности уравнений

1. перенос правой части уравнения в левую и наоборот;
2. прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа;
3. умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

4. все другие преобразования требуют наложение некоторых условий, при которых уравнения будут сохранять свою равносильность.

Утверждения о равносильности неравенств

1. см. выше;
2. см. выше;
3. умножение обеих частей неравенства на положительное число сохраняет знак неравенства,  а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется;
4. см. выше.

6.Иррациональные уравнения.

Определение:  уравнения, где неизвестное находится под знаком корня, называют иррациональными.

Рассмотрим различные виды данных уравнений и способы их решения:

•  = с, с<0                         = с, с=0

отв: решений нет.        f(x) = 0        

•  = c,с>0,  то обе части нужно возвести в квадрат;
•  = g(x),  то обе части нужно возвести в квадрат, но при условии, что правая часть неотрицательна, т.е. f(x) = g(x), g(x)≥ 0;
•  =  , то f(x) = g(x);
•  +   = ,  то обе части возводят в квадрат, а далее см. выше.

Нужно помнить и знать, что в обе части можно возводить в квадрат только если эти части  неотрицательны; что подкоренные выражения, если корень четной степени, должны быть неотрицательны.

7. Иррациональные неравенства.

Определение: неравенства, в которых неизвестное находится под знаком корня, называют иррациональными.

Рассмотрим  различные виды данных неравенств и способы их решения:

•  < c, c < 0,  то решений нет;
•  <  g(x)   f(x) < g(x),  g(x) ≥ 0,  f(x) ≥ 0;
•  > g(x)   f(x) > g(x),  g(x)  ≥ 0  или  g(x) < 0, f(x) ≥ 0;
•  >   f(x) > g(x), g(x) ≥ 0.  

Нужно помнить и знать, что …(см. выше).

Иррациональные  неравенства можно решить используя метод интервалов, где знак неравенства заменяется на знак равно.

Уравнения и неравенства можно решать графически. Для этого строят график левой части уравнения (неравенства) и график правой части уравнения (неравенства).

Например, если f(x) = g(x), то рассм. графики следующих функций: y = f(x), y = g(x)

Практическая часть.

1. устные задания для проверки знаний и закрепления теоретического материала;
2. решения уравнений и неравенств, опираясь на приведенные выше способы решений;
3. решения уравнений и неравенств, которые требуют нестандартных способов решения;
4. самостоятельные работы;
5. тесты;
6. контрольные, проверочные работы;
7. задания повышенной сложности.

1. Устные задания для проверки и закрепления теоретического материала.

1. Используя выше рассмотренные типы графиков степенной функции, рассмотреть свойства следующих функций:

y = x,  y = x,  y = 5x,  y = 0,7x,  y = 3x,  y = x,  y = x,  y = 2x.

2. Используя графики или свойства функций, сравнить значения выражений:

см. учебник №125, 177, 122 (нечетные).

3. Найти область определения функции:

y = ,  y = ,  y = ,  y = (x-5),  y = (x-5),  y = (x-5).

4. Определить равносильны ли уравнения:

     а)  и x - 5 = 81;         в)  и x

б)  и 2 – x = -27;                г)  и x – 2 = x

5. Найти ОДЗ для уравнений и неравенств и решить их:

      =5,  >5,  <5;

     =5,  >5,  <5;

   =-5,  >-5,  <-5.

6.  Указать, для каких значений переменных равенство верно:

     =;  =;  =;  ()=;

(-xy)= xy;  = x;  = -x;  = x;  = -x;  

  = x;  =;  =.

7.  Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) =-1       б) =0     в) =-    г) =10

д) +=-0,5      е)  -3=0

2.Решение уравнений и неравенств.

Вариант 1:

1. Найти ОДЗ для уравнений и неравенств:

а) =2                б) >1                в) = 2

г) += x                д) -=.

2) Решить уравнения:

а)= 2                б)= -2                в)= x-2

г) (x-4)= 0        д)= .

3) Решить неравенства:

а) >        б) < x        в) > x.

Вариант 2:

1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

а) x+= 2                б) x= 1+ x         в) ()= 3

2) Является ли число x решением уравнения:

а) =, x= 4                б) =, x= 1.

3) Выясните, при каких значениях x имеет место равенство

                =

4) Не решая уравнения, объясните, почему оно не может иметь решений

                += -4

5) Найдите область определения функции

                y= +

6) Решите уравнения:

а) = 2                б) = x-2                в)  =

г) (x-4)= 0        д) = -1                е) = 9

ж) = x                з) = -x.

7) Решите неравенства:

а) <                б)                 в) > -2

г) < -1                д) < 2.

Вариант 3:

1) Решите уравнение и в ответ запишите наибольший корень:

                -= 2.

2. Решите уравнения:

а) = x+4,    б)  -  - = 0,

в) 2x+ 3x - 5 + 3 = 0,

г) -  = 1,5.

     3) Решите неравенства:

а)  > -1,             б) ,

     в)  > x+2.

     4) Решите неравенство и запишите в ответ наименьшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

                           > 4 - x.

   Вариант 4:

     1) Решите уравнения:

     а) = x-2;            б)  + = ;

     в) -  = 2.

    2) Решите уравнение и запишите в ответ наибольший корень:

            -  -  = 0.

3. Решите неравенство:

     3 -  > 1.

4. Решите неравенство и запишите в ответ наименьшее значение x, удовлетворяющее неравенству:

      < x - 1.

5)  .

3. решение уравнений и неравенств, которые требуют нестандартных способов решения.

Задание1.

Доказать, что уравнение не имеет действительных корней:

а)                    д)

б) 2           е)

в)           ж) (x+1)(5-x)(+2)= 4.

г)            

Задание 2.

Доказать, что неравенство не имеет решений:

а)                           г)

б)                  д)

в)

Задание 3.

Решить уравнения, используя свойства монотонности функций:

а)                          д)

б)                          е)

в) 2                                ж)

г)                          з) 1+

Задание 4.

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) x -                                 д) x

б)                                 е) x

в)                                 ж) x

г)                                 з) x

Задание 5.

Решите неравенство, используя введение новой переменной:

а)                                 д)

б)                                 е)

в)                         ж)

г)                                 з) x

Задание 6.

Решите уравнения и неравенства графически.

а)         (>, <)        ;                        б) (>, <);

в)    (>, <);                                г)   (>, <).

4, 5, 6  самостоятельные работы, проверочные работы, контрольные работы, тесты.

Тексты данных работ можно взять из разноуровневых дидактических материалов, различных тестов и экзаменационных материалов.

7.Задания повышенной сложности.