"Решение задач по исследованию квадратного трехчлена с использованием свойств квадратичной функции". Алгебра. 9 класс (углубление).
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

9 класс (углубление)

Тема: «Решение задач по исследованию квадратного трехчлена с использованием свойств квадратичной функции»

2 часа (сдвоенный урок)

Цели урока:

1. Выработка творческого подхода к использованию теоретического материала вообще и свойств квадратичной функции в частности для решения задач.
2. Овладение новым методом решения задач по исследованию квадратного трехчлена.
3. Развитие навыков решения задач с параметром.

План урока:

1. Постановка цели урока и домашнее задание.
2. Анализ домашней работы.
3. Решение задач из домашней работы новым способом.
4. Систематизация новых методов решения.
5. Решение задач:

1. На доске,
2. Самостоятельно.

6. Итоги урока.

1.    В классе:

К пункту 3:

При каких значениях параметра уравнение  имеет два различных корня одного знака?

К пункту 5а:

Найдите все значения параметра, при которых уравнение имеет хотя бы один корень и каждый корень меньше 1 (№2.2536(а)).

Найдите все значения параметра при которых корни квадратного трехчлена  лежат по разные стороны от точки  (№2.534(а))

К пункту 5б:

Найдите все значения параметра при которых квадратный трехчлен  имеет два различных корня одного знака (№2.535(а))

Домашнее задание:

№2.536(б) Найдите все значения параметра при которых два корня уравнения  различны и каждый из них больше 1.

№2.535(б) Найдите все значения параметра при которых корни квадратного трехчлена  имеют разные знаки и расположены по разные стороны от числа 1.

Примечание: задачи выбраны из пособия для учителя «Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе», выпущенного издательством «Просвещение» в 1994 году.

2.   На дом была задана задача: выясните, при каких значениях параметра уравненеие  имеет два различных корня одного знака.

Дома учащиеся пытались решить эту задачу стандартным методом.

Квадратное уравнение имеет два различных (действительных) корня если его дискриминант положителен.

Найдем дискриминант данного уравнения:

Итак, заданное уравнение имеет два различных корня если .

Найдем корни заданного уравнения:

,

.

Для того, чтобы уравнение имело два различных корня одного знака необходимо выполнение совокупности условий:

Так как полученная совокупность неравенств содержит иррациональные неравенства, методы решения которых еще не изучены, то возникает необходимость поиска другого способа решения.

3. Учащимся предлагается рассмотреть функцию  и последовательно ответить на ряд вопросов.

4.   Полученный способ решения задачи оказался очень удобным. Разработаем теоретическое обоснование для решения трех основных задач на исследование квадратного трехчлена.

Задача 1: выяснить при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена различны и оба корня меньше .

Задача 2: выяснить при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена различны и оба корня больше .

Задача 3: выяснить при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена расположены по разные стороны от точки .

Пусть задан квадратный трехчлен вида . Пусть D- дискриминант этого трехчлена, а  и - его корни, причем .

Если заведомо , то следует рассмотреть функцию  . Графиком этой квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Задача 1:Для того, чтобы  необходимо и достаточно выполнение системы условий:

Задача 2: Для того, чтобы  необходимо и достаточно выполнение системы условий:

Задача 3: Так как здесь , то для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условия: .

Если заведомо , то следует рассмотреть функцию .

Если же знак  заранее не известен, то рассматривается функция . Графиком и этой квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

В двух последних случаях решения трех основных задач идентичных их решениям для первого случая (). Составим таблицу.

5а.

Найдите значение параметра , при которых уравнение  имеет по крайней мере один корень и каждый корень уравнения меньше 1.

Решение:

Дискриминант .

Рассмотрим функцию .

Для того, чтобы заданное уравнение имело хотя бы один корень и оба корня были меньше 1, необходимо и достаточно выполнения системы уравнений:

Итак, решение системы .

Ответ: .

№2.534(а) Найдите все значения параметра  при которых корни квадратного трехчлена  лежат по разные стороны от точки  

Решение:

Рассмотрим функцию .

При  функция эта является квадратичной, график ее – парабола, ветви которой направлены вверх.

Корни заданного уравнения расположены по разные стороны от точки  тогда и только тогда, когда

Используем метод интервалов:

Итак, решение неравенства:

А при  заданное уравнение является линейным и имеет не более одного корня.

Ответ: .

5б.

№2.535(а) При каких значениях параметра  квадратный трехчлен  имеет два различных корня одного знака.

Дискриминант соответствующего квадратного уравнения:  .

Рассмотрим функцию

При это квадратная функция, график которой – парабола с ветвями, направленными вверх.

Заданный квадратный трехчлен имеет два различных корня одного знака, то есть  тогда и только тогда, когда выполняется система условий:

Итак, решение системы: .

При  заданный трехчлен превращается в двучлен  и имеет только один корень.

Ответ: .