"Исследование практического применения свойств квадратичной функции", 9 класс
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс) на тему
Цели исследования:
- создание проблемных ситуаций при обучении математике;
- извлекать из математической теории практические выводы;
- установление закономерностей при решении задач;
- развитие интуитивного представления не только непосредственно перед введением понятий, но и задолго до этого, раннее употребление соответствующих терминов, давая наглядные представления;
- возможность «материализовать» математическое понятие, что очень важно для обучения.
Задачи исследования:
- получение конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов и роли математики в развитии цивилизации и культуры.
- рассмотреть свойства квадратичной функции, изучение оптических свойств параболы, применение оптических свойств параболы в технике и быту.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
rabota_grachevoy.doc | 546 КБ |
Предварительный просмотр:
ФИО автора: Грачева Екатерина
9 класс МБОУ СОШ №41 г. Володарска
Научный руководитель: Абрамычева А.В.
Тема: Исследование практического применения свойств квадратичной функции
Введение
Теория и практика обучения математики показывают, что учащемуся недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценного усвоения. С построением графика связано изучение свойств функций, развитие мышления и решение целого ряда задач, убеждающих в практической значимости теории. Усмотреть свойства функции и запечатлеть их в памяти с помощью графика легче. Многочисленные примеры движений в окружающем мире позволяют обосновать практическую значимость математической теории. Видя преломление абстрактных математических понятий в реальной действительности, что значительно расширяет кругозор, делает предмет интересным для школьников, а их знания осмысленными и глубокими, неформальными.
Актуальность работы заключается в том, что в этой работе я имею возможность углубить свои знания об оптических свойствах параболы и увидеть значимость творческого опыта в области алгебры. Квадратичная функция, изучаемая в школьном курсе алгебры, обладает интересными свойствами. Некоторые из этих свойств изучаются в 8 классе. А оптические свойства даны только в ознакомительном плане.
Цели исследования:
- создание проблемных ситуаций при обучении математике;
- извлекать из математической теории практические выводы;
- установление закономерностей при решении задач;
- развитие интуитивного представления не только непосредственно перед введением понятий, но и задолго до этого, раннее употребление соответствующих терминов, давая наглядные представления;
- возможность «материализовать» математическое понятие, что очень важно для обучения.
Задачи исследования:
- получение конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов и роли математики в развитии цивилизации и культуры.
- рассмотреть свойства квадратичной функции, изучение оптических свойств параболы, применение оптических свойств параболы в технике и быту.
Объект исследования: Парабола в жизни и математике.
Проблема исследования: Математику нельзя рассматривать только как свод прикладных сведений. Это – полигон, на котором постигаются законы мышления, на котором идет освоение образа жизни современного человека. Учитывая, что при обучении алгебры закладываются основы решения уравнений первой и второй степени и основные графики: прямые, параболы, гиперболы, то важными становятся прикладная направленность при решении практических задач.
- Понятие квадратичной функции и ее свойства
Функция y=ax2+bx+c, где a, b, c заданные числа, a#0, x - действительная переменная, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.
В уравнении квадратичной функции:
a – старший коэффициент
b – второй коэффициент
с - свободный член.
График функции имеет вид:
График функции имеет вид:
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы направлены вниз.
Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:
2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:
3. Если ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
,
Если ,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Аполлоний Пергский (Перге, 262 до н.э. — 190 до н.э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э.
Аполлоний прославился в первую очередь монографией “Конические сечения” (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто “сечениями конуса”. Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
“Парабола” означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.
Оказывается, что парабола график квадратичной функции — обладает вот каким интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую — ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.
Камень, брошенный под углом к горизонту, или снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.
Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.
А вот еще одно любопытное свойство: если параболоид вращения поворачивать вокруг его оси с подходящей скоростью, то равнодействующая центробежной силы и силы тяжести в каждой точке параболоида будет направлена перпендикулярно его поверхности.
- Практическое применение свойств параболы
Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоида вращения.
Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.
В нашей стране существуют прожекторные полки, предназначенные для обеспечения боевых действий частей истребительной авиации зоны ПВО. В 1932 году в Москве формируется первый территориальный прожекторный полк. В его оснащении имеются немецкие прожекторные установки «Гарнер» на конной тяге, французские «Берлиос» на мотомехтяге и итальянские «Аффечино-Фиат», а также освоенные промышленностью прожекторные станции-искатели «Прожзвук - 4», состоящие из звукоулавливателя, смонтированного на трехосной автошине ЗиС-6, и синхронно связанной с ним через специальный пост управления станции 3-15-4 с полутораметровым отражателем.
Такой полк охранял воздушные рубежи над Москвой в первые дни войны, создавая световые поля в которые то и дело врывались вражеские самолеты. На подступах к Москве самолеты противника были встречены нашими ночными истребителями и организованным огнем зенитной артиллерии. Хорошо работали прожектористы. В результате этого более 200 самолетов противника, шедших эшелонами на Москву, были расстроены, и лишь одиночки прорвались к столице.
Нашими истребителями и зенитчиками сбито 22 самолета противника.
Прожекторы в мирное время используются во многих воинских частях. У нас на территории поселка Онохой находятся 5 воинских частей, доступ в которые запрещен. Но все же в двух из них мне разрешили побеседовать с работниками и выяснить есть ли у них в наличии прожекторы старинного и современного образца и как они используются. Оказалось, что в воинских частях имеются на вооружении современные прожекторы для освещения территорий, на которых хранится боевая техника.
Кроме воинских частей в поселке находится база ПМС, на ее территории стоит в запасе железнодорожная техника. База обнесена забором, а по периметру установлены прожекторы, которые включаются в ночное время суток.
Автомобильные фары, это тоже параболоид вращения, с ними мне приходится сталкиваться часто т.к. у нас есть автомобиль. Фары используются для освещения дороги в темное и светлое время суток.
Идя в ногу со временем, многие меняют телевизионную антенну. После того, как устанавливается новая параболическая, то убеждаются в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны, которая позволила наслаждаться 68 каналами.
Телевизионное вещание – одно из массовых средств информации и пропаганды, воспитания просвещения, организации досуга населения.
В СССР опыты по передаче изображения на расстояние начались в первые годы Советской власти. Качественно новый этап в развитии телевидения наступил в конце 30-х годов с переходом от малострочного механического телевидения к электронному. В 1962 году передачей репортажа с борта космических кораблей «Восток - 3» и «Восток - 4» положено начало космическому телевидению.
Для приема сигналов вещательных телевизионных программ используют телевизионные антенны. Антенны бывают индивидуальные (наружные или комнатные) и коллективные (всегда в наружном исполнении). Примером коллективной антенны является параболическая. Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения от которого направляется на основное зеркало. Применение вспомогательного зеркала облегчает получение оптимального распределения электромагнитного поля в раскрыв основного зеркала, что обеспечивает максимальный коэффициент направленного действия и позволяет уменьшить длину линии, подводящей энергию к облучателю. Таким образом, улучшается качество изображения и происходит расширение диапазона.
Парабола вокруг нас
Заключение
Природа в различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, может использовать одни и те же принципы. И человек в своих творениях: живописи, скульптуре, архитектуре… Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия – то, что содержит парабола.
Парабола, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование формы параболы разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.
Мы предполагаем, что функциональные зависимости можно использовать для описания многих сфер жизнедеятельности человека.
Усмотреть свойства функции и запечатлеть их в памяти с помощью графика легче. Многочисленные примеры движений в окружающем мире позволяют обосновать практическую значимость математической теории. Учащиеся видят преломление абстрактных математических понятий в реальной действительности, что значительно расширяет их кругозор, делает предмет интересным для школьников, а их знания осмысленными и глубокими, неформальными.
Методика более полного использования графиков при изучении свойств функции: установление наличия различных видов пространственных движений в природе требует творческого подхода, переработки свойств функции в требуемом направлении, оформления в виде задач, в этом проявляется умение учащихся устанавливать связи с конкретными объектами реальной действительности, самостоятельно переносить приемы познавательной деятельности с ранее изученного, на вновь узнаваемое, видеть новую функцию знакомого объекта или находить известные свойства у новых объектов.
Учащиеся приводят много примеров движений, что способствует всестороннему развитию личности ученика. Раннее изучение графиков является важным средством, которое способствует глубокому изучению основных понятий, преодолению формализма в знаниях школьников.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
График и свойства квадратичной функции
Слайды для интерактивной доски с методическими рекомендациями....
Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств с параметрами
Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств с параметрами...
"Исследование практического применения свойств квадратичной функции", 9 класс
Цели исследования:- создание проблемных ситуаций при обучении математике;- извлекать из математической теории практические выводы;- установление закономерностей при решении задач;- развитие интуитивно...
Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений и неравенств с параметрами
Презентация к уроку...
"Решение задач по исследованию квадратного трехчлена с использованием свойств квадратичной функции". Алгебра. 9 класс (углубление).
Представлен графический метод исследования квадратного трёхчлена, который весьма эффективен для решения рассматриваемого типа задач.Материал рассчитан на два урока....
8 класс Свойства квадратичной функции (серия уроков)
ПРимеры типовых заданий по свойствам квадратичной функции...
Презентация "Свойства квадратичной функции для решения квадратичных неравенств"
Презентация может пригодиться для урока, на котором Вы планируете подготовить обучающихся к изучению алгоритма рещения квадратичных неравенств....