Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме: « Решение тригонометрических уравнений».
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

                    Урок разноуровневого  обобщающего повторения по теме:

« Решение тригонометрических уравнений».

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цель урока: Обобщить теоретические знания по теме «Преобразование тригонометрических выражений», «Решение тригонометрических уравнений», рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

 Задачи урока:

-повторить и закрепить теоретический материал по теме «Тригонометрические уравнения»;

-совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений базового уровня ;

-воспитывать в учащихся умение работать самостоятельно;

-развивать и поощрять у учащихся интерес к математике;

-подготовка к ЕГЭ.

Оборудование: компьютер, экран, таблицы, дидактический материал.

                                                          Ход урока:

     1 этап урока- организационный  (1минута).

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель урока и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах; для каждой группы определяет основную цель:

 для первой группы- развить умения решать тригонометрические уравнения на базовом уровне;

 для второй группы - закрепить и развить умения решать тригонометрические уравнения базового и повышенного уровня сложности;

 для третьей группы – закрепить умения решать тригонометрические уравнения повышенного уровня сложности.

     2 этап урока (5 минут).

Повторение теоретического материала по теме                                                                                    « Тригонометрические уравнения».

1. Вопрос: Какие уравнения называются тригонометрическими?

Ответ : Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знакам тригонометрических функций.

2. Вопрос :Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Ответ : Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x= a, cos x=a, tg x= a, где а—действительное число.

3. Вопрос :Дать понятия однородного тригонометрического  уравнения первой степени, второй степени.

Ответ : Уравнение вида asinx+bcosx=0 называют однородным уравнением первой степени; уравнение вида asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0 называют однородным уравнением второй степени.

4. Вопрос :Объяснить в чем состоит:

1. метод введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений;
2. метод разложения на множители при решении тригонометрических уравнений.

Ответ : 1) при решении уравнения вида : asin²x +bsinx+c=0, acos²x+bcosx+c=0, atg²x+btgx+c=0 вводится новая переменная y=sinx, y=cosx, y=tgx.

             2) Если уравнение f(x)=0 можно преобразовать к виду fı(x)*f2(x)=0, то задача сводится к решению совокупности уравнений:  f1(x)=0, f2(x)=0.

5. Вопрос :Формулы корней тригонометрических уравнений вида: sinx=a, cosx=a, tgx=a.

Ответ: 1)если |а|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид:

                               х=(-1)ⁿarcsina +πn, n€Z;

            2) если |а|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид:

                                x=±arccosa + 2πn, n€Z;

3. если |а|>1, то уравнения sinx=a, cosx=a не имеют решений;
4. решения уравнения tgx=a для любого значения а имеют вид                            х=arctga +πn, n€Z.
5. частные случаи:  

sinx=-1,          x= -π/2 +2πn, n €Z.

sinx=0,           x= πn, n€Z.

sinx=1,           x= π/2 +2πn, n €Z.

cosx= -1,        x=π+2πn, n €Z.

cosx=0,          x= π/2 +πn, n €Z.

cosx=1,          x=2πn, n €Z.

6. Вопрос: Формулы тригонометрии (фронтальный опрос):

                    -формулы приведения,

                    -синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов,

                    -формулы двойного аргумента,

                    -формулы понижения степени,

                    -формулы  суммы и разности синусов, косинусов.

3 этап урока ( 5 минут)

Устная работа по решению простейших задач на тему «Преобразование тригонометрических выражений», «Решение тригонометрических уравнений».

Учитель предлагает учащимся применить теоретические факты к решению задач.

Sinx=1.          Cosx =0.           Sinx=1/2          cosx =-√3/2

Tqx=-1          ctqx=1/√3         sinx=-√2/2

Sin(π/2-α)+cos(π-α)

Sin15º cos15º

3sin²15x-4+3cos²15x

tq²x cos²x –tqx ctqx

4cos27° cos33°-4sin27° sin 33°

cos(-π/3)-2sin(-π/6)+cos²π

cosα=-2/3.   αЄ(π; 3π/2). Найти: sinа,.  tqα,  ctqα.

(Учащиеся комментируют решение.)

   4этап урока (10минут)

Работа в разноуровневых группах.

1. Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений   базового уровня, для этого учитель вызывает к доске  одновременно трех учеников:

           а) 2cos (3π/2+2x) +√3=0

           б) 2sin (π/6-x) =1

            в) cos²3x= ¾

 Учащиеся комментируют свое решение.

Одновременно на дополнительных досках  самостоятельно

-учащиеся  решают уравнения базового уровня:

       а)sin π/2 tq (-πx/2)= -1/√3

       б) 2cos (2x-π/4)=0
      в) tq x- tqπ/8  

          1+tqx tqπ/8   =√3  

       г) найдите корни уравнения:  ,в ответ запишите наибольший отрицательный корень.

     д) решите уравнение , в ответе напишите наибольший отрицательный корень.

      е) решите уравнение , в ответе напишите наименьший положительный                                                                                                             (учитель проверяет, комментирует решение).

  -трое учеников решают уравнения повышенного уровня сложности:

             а) При каких значениях а уравнение не имеет корней:

                         2sin2x= a-1

                                       a+3

              б ) cos²x –3cosx | sinx | + 2sin²x =0

         в)   а) решите уравнение 

                б) найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

2. Со всеми учащимися класса рассматриваются решения следующих уравнений, для этого учитель вызывает  одновременно трех учеников для решения  уравнений :

               а) sin x/4 cosx/4= 0.25

               б) sin² x +sin cosx –2 cos²x =0

                в) 4sin3x + cos ²3x=4.

Учащиеся комментируют свое решение.

 Одновременно на дополнительных досках  самостоятельно  учащиеся  решают уравнения:

                а ) cos x+ cos5x=0

                б ) 5sin²x –14 sinx cosx –3 cos²x =2

                в) (2cos x-3) (sinx+1) =0.  

           г) ,найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

(Учитель проверяет, комментирует решение).

3. Учитель обращает внимание класса на решение уравнений повышенного уровня, учащиеся комментируют свое решение.

             5 этап урока (15 минут)

   Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.

1. Для учащихся первой группы учителем составлены  карточки в 8 вариантах. Учащиеся первой группы- это учащиеся со слабой математической подготовкой. Все задания в варианте базового уровня сложности.

            Примерный вариант:

1. Вычислить  sin75º cos15º- sin15ºcos75º.
2. Упростить:  sin²x + cos 2x.
3. Решить уравнения: a) cos 3πx/2=1.

                                       б )sin (4π-x)=-√3/2.

                                       в)√3 tq(-x)=1.

2.Для более подготовленных  учащихся второй группы составлены карточки  в восьми вариантах.

           Примерный вариант:

1. Найти значение выражения: 3-5tq(π/2-a) sin(π-a).                                                                   Если                                                                                                                                                           cosa =√17/5. а Є [π/2 ; 3π/2]
2. Решить уравнение:                                                                                                                     а)      sin²x –5cosx –sinx cosx+ 5sinx=0.

     б)      5sin² x+ 6cos x –6=0.

3.Учащимся  третьей группы учитель выдал  карточки с задачами повышенного уровня сложности в 8 вариантах..

            Примерный вариант:

1. Вычислить:   ctq 585°-2cos1440° + 2sin 1125°.

2.Решить уравнение:                                                                                                                               а)| sin x| = sin x+2 cos x.

  б) а) решить уравнение 

б) найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Одновременно от каждой группы  один ученик свой вариант решает у доски. Учитель проверяет и оценивает данную работу. Остальные учащиеся по истечении времени сдают работы.

              6 этап урока (4 минуты).

 Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

              Учитель еще раз обращает внимание на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их, отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

               В качестве домашнего задания учащиеся получают два других варианта из своей карточки.