задачи для 11 класса
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Задачи. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABC равна 6. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти боковое ребро. 2. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 12, а высота √94. Найти сторону основания пирамиды.

Слайд 2

3 . В правильной треугольной пирамиде SABC, Q- середина АВ, S- вершина, ВС = 7, а площадь боковой поверхности пирамиды 42. Найти SQ. 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, О- центр основания, S- вершина, SO=8, BD=30. Найти SC.

Слайд 3

3. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 4, объём пирамиды равен 6. Найти SO.

Слайд 4

4. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 куб.м. и погрузили в воду деталь. Уровень воды поднялся с 20 см до 22 см. Найти объём детали. 5. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 9. Боковые рёбра 1\ π . Найти объём цилиндра , описанного около призмы.

Слайд 5

6. Диагональ куба равна 3. Найти площадь его поверхности. 7. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящий из одной вершины равны 4, 6, 9. Найти ребро равновеликого куба. 8. Найти объём правильной шестиугольной пирамиды , сторона основания которой равны 1, а боковые рёбра √3.

Слайд 6

9 . Прямая призма, в основании ромб ABCD с острым углом B 30 градусов. Сторона ромба равна высоте призмы. F середина ВВ ₁ , M середина СС₁. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через А D и точки F, M. 10. В правильной шестиугольной призме АВ… все рёбра 2. Найти расстояние от В до прямой A₁F₁.

Слайд 7

11 . В правильной четырёхугольной призме АВ… сторона основания 2, а боковое ребро 3. Найти угол между прямыми АС ₁ и ВА₁.

Слайд 8

1. В правильной треугольной призме АВС… АВ =6, А = 4. Найти площадь сечения, проходящего через А,В, середину . 2. В правильной треугольной пирамиде SABC , боковое ребро SA =5, AB=4. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через АВ, перпендикулярно SC. 3. В прав. шестиугольной пирамиде боковое ребро 10, высота 6, вписана сфера. Найти площадь сферы.

Слайд 9

Радиус основания конуса 5, высота 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. В кубе АВС D… все рёбра 1. Найти расстояние от точки С до B В правильном тетраэдре АВС D найти угол между высотой тетраэдра DO и медианой ВМ боковой грани BCD.

Слайд 10

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны рёбра AB=5,AD=4, A =9. Точка O при­над­ле­жит ребру B и делит его в от­но­ше­нии 4:5, счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A,O и . В правил. шестиугольной призме ABCDEF… все рёбра 2. Найти расстояние от точки В до прямой .

Слайд 11

1 вариант. Боковое ребро МА пирамиды МВАС перпендикулярно плоскости основания и равно 13. угол ВАС = . АВ =39. АС=52. Найти расстояние от точки А до плоскости ВСМ. 2 вариант. Основание прямой призмы АВС D …ромб АВС D , в котором АВ=10, АС = 6 . Боковое ребро А = 3 . Найти расстояние от точки В до прямой А .

Слайд 12

На 18.04. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , сторона основания 4, К-середина ребра SB. Тангенс угла между СК и SD равен 2 . Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Все боковые грани прав. четырёхугольной пирамиды правильные треугольники. Расстояние от центра боковой грани до плоскости основания пирамиды равно « b ». Определить объём пирамиды.

Слайд 13

3. Отрезок АС – диаметр основания конуса. Отрезок АР – образующая, АР=АС. Хорда основания ВС составляет с АС угол 60 градусов. Через АР проведено сечение конуса плоскостью параллельно прямой ВС. Найти расстояние от центра основания конуса О до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Слайд 14

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1 . № 2 4) D 1 О⊥ AC, так как  AD 1 C - равнобедренный, AD 1 =D 1 C. Решение. Ответ: . O А А 1 B B 1 C C 1 D D 1 6 6 4 2 ) Вместо плоскости A 1 B 1 C 1 возьмем параллельную ей плоскость ABC . 1) Построим плоскость ACD 1 . . 3) АВС D – квадрат, диагонали АС  BD в точке О, О – середина AC, DО⊥AC. 5) Значит,  D 1 ОD — линейный угол искомого угла. 6 )  D 1 DО – прямоугольный, тогда

Слайд 15

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC . Решение. S O А В С M K N Пусть К – середина ребра ВС. М – точка пересечения медиан грани SBC , поэтому SM: MK = 2:1. Прямая SO – высота пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр MN , Угол MAN - искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника MAN . 13 Прямая SK – апофема. тогда отрезок AN - проекция отрезка АМ на плоскость основания. №1

Слайд 16

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM . Решение. Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. По условию АВСНВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. 1 случай. ВМН = ВАС; А В С Н 10 14 12 М 2 случай. ВМН = АСВ; АВН – прямоугольный, B Н = АВ · cosB = 2 . значит, , значит, Ответ: №2

Слайд 17

D A B C D A B C №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N , так что BM:MN=1 :7. Найдите ВС. Решение. O М N М N O Пусть О – точка пересечения биссектрис . По условию значит М лежит между точками В и N. Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; Рассмотрим первый случай. 2) точка О – лежит вне параллелограмма. 12

Слайд 18

D A B C №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N , так что BM:MN=1 :7. Найдите ВС. Решение. O М N Пусть О – точка пересечения биссектрис . По условию значит М лежит между точками В и N. Рассмотрим первый случай. 12 1)  ABN – равнобедренный, т.к. В N А =NAD - накрест лежащие; значит В N А = В AN и AB=BN=12, А N – биссектриса А, тогда Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично,  DMC – равнобедренный, MC=DC=12 . Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+ MN+NC=13,5. 1,5 10,5 1,5

Слайд 19

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N , так что BM:MN=1 :7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. 1) AB М– равнобедренный , т.к. Тогда АВ=ВМ =12 . 2) Аналогично  DNC – равнобедренный, 3) Значит, ВС=В N+NC=96+12=108. D A B C М N O 12 12 12 12 В M А =MAD - накрест лежащие; значит В M А = В AM . АМ – биссектриса А, По условию значит Ответ: 13,5 или 108. тогда NC=DC=12 .

Слайд 20

Задача 1. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Слайд 21

Решение 1 . Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1 . Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 = , A E 1 = 2 , B 1 E 1 = . Применяя теорему косинусов, получим .

Слайд 22

Решение 2 . Введем систему координат, считая началом координат точку A , точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1) . Тогда точка D 1 имеет координаты (1, , 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, , 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем , , . Следовательно, косинус уг ла между прямыми AB 1 и B С 1 равен .

Слайд 23

Задача 1. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Слайд 24

Решение 1 . Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 … F 1 . Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1 , и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1 . В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 = . Применяя теорему косинусов, получим .

Слайд 25

№ 1. С.А. купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 42 мили в час ? Ответ округлите до целого числа. 2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3рубля 08 копеек. 1 ноября счётчик показывал 32544 к/час, а 1 декабря 32726 к/час. Сколько надо заплатить за ноябрь ?

Слайд 26

3. В обменном пункте 1 украинская гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка ? Ответ округлите до целого числа. 4. Клиент взял в банке кредит 48000 рублей под 14% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно ?

Слайд 27

5. Среди 40000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч ? 6. В июне 1 кг помидоров стоил 80 рублей. В июле цена понизилась на 40%, а в августе ещё на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг в августе ?

Слайд 28

7 . Чтобы связать свитер нужно 800 гр шерсти синего цвета. Можно купить синюю пряжу по 60 рублей за 100 гр , а можно купить неокрашенную по цене 50 рублей за 100 гр и окрасить её. Один пакетик краски стоит 50 рублей и рассчитан на 400 гр пряжи. Какой вариант дешевле ? В ответе сколько рублей .

Слайд 29

1. В детском саду на каждого ребёнка полагается 40 гр сахара в день. В саду 121 ребёнок. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на 7 дней ? 2. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 14 дней. В одной упаковке 20 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее количество упаковок надо ? 3. Даша отправила SMS- сообщения своим 16 друзьям. Стоимость 1 сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой на счёте оставалось 30 рублей. Ск рублей останется …?

Слайд 30

4 . Магазин закупает учебники по оптовой цене 110 рублей за штуку и продаёт с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких учебников можно купить на 1200 рублей ? 5. Рубашка стоила 440 рублей. После снижения цены она стала стоить 396 рублей. На сколько процентов была снижена цена ? 6. Пирожок стоит 12 рублей. При покупке более 30 пирожков скидка 5% от стоимости всей покупки. Купили 40 пирожков. Сколько заплатили за покупку ?

Слайд 31

№10 1. Зависимость температуры от времени для нагревательного элемента была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур даётся выражением T(t) = + at + b = 520 К, а = 22К/мин, b = - 0,2 К/мин. Известно, что при нагревании выше 1000К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Слайд 32

2 . При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила давления на дно будет положительной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления равна P = m( - g) , где m – масса воды в кг, v – скорость движения ведёрка в м/с, L – длина верёвки в метрах, g =10 м/ - ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина верёвки равна 0,4 м?

Слайд 33

3. Мяч бросили под острым углом к плоскости горизонта. Время полёта мяча(в секундах) определяется по формуле t = При каком наименьшем значении угла время полёта будет не меньше 1,7 с, если мяч бросают с начальной скоростью = 17 м/с? g=10 м/ .

Слайд 34

4. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий v =2 моля воздуха при давлении = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая при сжатии воздуха, определяется выражением A = ( Дж), где T = 300 K – температура воздуха, начальное давление, а - конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе. Если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж?

Слайд 35

5. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 5 – 1,6t + 0,128 , где t – время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?