Решение систем уравнений второй степени
презентация к уроку по алгебре на тему

Слайд 1

Слайд 2

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений. А решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Системы уравнений с двумя переменными можно решать а) графически; б) способом подстановки; в) способом сложения. Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему. Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.

Слайд 3

Пример1 . С помощью графиков решим систему уравнений: ( x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 4 , Решение . y – x 2 = 0 . На геометрическом языке решить систему уравнений – значит найти все общие точки графиков уравнений, входящих в систему. Поэтому выясним, что является графиком каждого из уравнений данной системы. Итак, графиком уравнения ( x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 4 является окружность радиуса 2 с центром в точке с координатами (3; 4) . Графиком уравнения y – x 2 = 0 является парабола y = x 2 , ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке с координатами (0;0). Изобразим графики уравнений в одной системе координат и найдём координаты точек пересечения, это и есть решения системы. Ответ : x 1 1,7, y 1 2,5; x 2 2,4, y 2 5,9.

Слайд 4

Пример2 . Решим систему уравнений способом подстановки : 0,5x 2 - y = 2 , y - x = 2 . Решение. 1) Выразим из второго уравнения системы y через x , получим уравнение: y = x + 2 . 2) В первое уравнение системы вместо y подставим выражение ( x + 2 ) , получим уравнение: 0,5x 2 - ( x + 2 ) = 2 , решим его. 0,5x 2 - x - 2 = 2 , 0,5x 2 - x - 2 - 2 = 0, 0,5x 2 - x - 4 = 0. Домножив обе части уравнения на 2 , получим уравнение равносильное предыдущим: x 2 - 2 x - 8= 0 . Используя теорему, обратную Виета, находим корни квадратного уравнения – ими являются числа -2 и 4 . 3) Если x = -2 , то y = x + 2 = -2 + 2 = 0 . Если x = 4 , то y = x + 2 = 4 + 2 = 6 . Ответ : { (-2; 0), (4; 6) }

Слайд 5

Пример3 . Решим систему уравнений способом сложения: x 2 - 2xy – 3 = 0 , 2x 2 + 3xy – 27 = 0 . Решение. 1) Первое уравнение системы умножим на 3 , а второе – на 2 . Получим систему, равносильную данной: 3 x 2 - 6 xy – 9 = 0 , 4 x 2 + 6 xy – 54 = 0 . 2) Сложив уравнения системы, получим уравнение с одной переменной: 7 x 2 – 63 = 0, 7 x 2 = 63, x 2 = 63 : 7, x = ± 3 . 3) Подставим найденные значения х в первое уравнение системы: если х = - 3 , то (- 3) 2 – 2 *(- 3)* y – 3 = 0 , отсюда у = - 1 ; если х = 3 , то 3 2 – 2 *3* y – 3 = 0 , отсюда у = 1 . Ответ: { (- 3; - 1), (3; 1) } .

Слайд 6

Решите графически системы уравнений : ху + 3 = 0, 2) у = , у = x 2 + 2. ху - 8 = 0. Ответ (по щелчку) Ответ (по щелчку) (- 1; 3) ( 4; 2)

Слайд 7

Решите самостоятельно системы уравнений : 1) х – у = 7, х 2 + у 2 = 9 – 2ху ; 2) ху = - 8, (х – 4)*(у – 2) = - 12; 3) х – у = 2, 1 /x – 1/y = - 2/3 . В случае затруднений в ходе решения, загляните в подсказки

Слайд 8

П о д с к а з к и Система 1). Если во втором уравнении системы слагаемое « - 2ху » перенести в левую часть, то там получим квадрат суммы (х + у) 2 . В первом уравнении системы выразим х через у и подставим получившееся выражение во второе преобразованное уравнение; решив его, найдем значения у . Найдя значение у , найдем соответствующие значения х . Ответ: { (2; - 5), (5; - 2) } . Система 2). Если во втором уравнении системы раскроем скобки, слагаемое « ху » заменим значением « -8 » и приведем подобные слагаемые, а затем разделим обе части уравнения на « 2 », то сможем выразить х через у . Подставив полученное выражение х через у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение относительно у ; решив его, найдем значения у . Найдя значение у , найдем соответствующие значения х . Ответ: { (- 2; 4), (8; - 1) } . Система 3). Если из первого уравнения системы выразим х через у и подставим во второе уравнение, то получим дробно-рациональное уравнение относительно у ; решив его, найдем значения у . Найдя значение у , найдем соответствующие значения х . Ответ: { (3; 1), (- 1; - 3) } . Далее ознакомьтесь с графическим способом решения систем

Слайд 9

Графический способ решения системы 1). Ответ: { (2; - 5), (5; - 2) }

Слайд 10

Графический способ решения системы 2). Ответ: { (- 2; 4), (8; - 1) }

Слайд 11

Ответ: { (3; 1), (- 1; - 3) } Графический способ решения системы 3).