"Решение уравнений и неравенств с параметрами"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение «Набережночелнинская

школа-интернат "Омет"№ 86 для детей с ограниченными возможностями здоровья»

«Принято»

Медико-педагогическим советом

протокол от                 2017г.  №                 

Введено приказом                  2017г. №         

Директор  школы-интерната «Омет» № 86

__________                _              Ф. Х. Фокина

Подпись                                     Ф.И.О.

Рабочая программа

Элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»

для 9А класса

Составитель: Шахмаева Е. Н

 (учитель математики, первая квалификационная категория)

«Согласовано»

Заместитель директора по УР ___________   _М. В. Лаврова       от _________2017 г

          Подпись                 Ф.И.О.

«Рассмотрено»

На заседании МО, протокол от «          »                            2017 г. №                 

Руководитель МО ____________    Е. Н. Шахмаева  от _________                2017г.

Подпись                 Ф.И.О.

г. Набережные Челны

2017 г.

Пояснительная записка

         Элективный курс для учащихся 9 классов «Решение уравнений и неравенств с параметрами» представляет собой широкое поле для полноценной математической деятельности. Своим содержанием данный курс сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и которым захочется глубже познакомиться с её методами и идеями.

         Познавательный материал элективного курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Данный курс позволит повысить уровень математического и логического мышления, навыки исследовательской деятельности. Задания с параметрами стали неотъемлемой частью ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.

         Решению уравнений и неравенств с параметром в школьном курсе уделяется недостаточно внимания. Навыки в решении заданий с параметрами необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться к успешной сдачи экзаменов, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах.

         Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» поможет учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения.

 Цели:

• помочь овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования;
• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;
• осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

 Задачи:

• научить учащихся решать задания, содержащие параметр;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
• приобрести определенную математическую культуру;
• развитие исследовательских навыков при выполнении заданий с параметрами;
• формировать умения применять полученные знания к решению нестандартных задач с параметрами.

Требования к уровню подготовки учащихся:

• должны уметь решать задачи повышенной сложности;
• точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;
• правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
• применять рациональные приемы тождественных преобразований.

В результате изучения данного курса учащиеся

должны знать:

• понятие параметра;
• прочно усвоить понятие модуль числа;
• алгоритмы решений задач с модулями и параметрами;
• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;
• свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
• свойства функций в задачах с параметрами.

должны уметь:

• уметь решать линейные, квадратные, дробно – рациональные уравнения с параметром;
• уметь решать линейные неравенства с параметром;
• строить графики уравнений, содержащие модули;
• находить корни квадратичной функции;
• знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

Данный элективный курс рассчитан на 18 часов, предполагает изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельные работы, зачет. Учащиеся могут освоить идею решения уравнений и неравенств с параметром, проверить свои знания с помощью самостоятельных работ, которые предлагаются выполнять как на занятиях, так и в качестве домашнего задания.

Содержание образовательной программы элективного курса

Календарно-тематическое планирование

Содержание курса

1. Знакомство с параметром. (1 ч)

 Задачи с параметром, рассматриваемые в школьном курсе. Примеры, запись ответа при решении задач с параметром.

2. Линейные уравнения с параметром. (2 ч)

Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида , решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду . Линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.). Несложные задачи конкурсных экзаменов в ВУЗы, содержащие модуль и параметр.

Пример 1. Решить уравнение: .

1 шаг: приведём уравнение к стандартному виду , .

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) если , то ;

2) если , то стандартное уравнение принимает вид:  - уравнение решений не имеет.

3 шаг: запишем ответ. При записи ответа важно отразить все этапы решения.

Ответ: если , ; если а = 1, то нет решения.

Пример 2. Решить уравнение относительно x: .

1) , при , x = 1

2) а + 1 = 0 , при а = -1, уравнение принимает вид 0x =0 , решением его является любое число.

Ответ: x =1 при ; x - любое при а = -1.

3. Системы линейных уравнений с параметром. (2 ч)

1 этап: повторить методы решения систем линейных уравнений: подстановки, сложения, графические.

При решении системы линейных уравнений возможны три ситуации:

-система имеет единственное решение;

-не имеет решений;

-имеет бесконечное множество решений.

2 этап: предложить схему решения систем линейных уравнений,

содержащих параметр, методом подстановки.

 Схема.

1. Выразить y через x из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо y в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение с параметром относительно x.

4. Найти y , используя результаты третьего и первого шагов.

5. Записать ответ.

4. Квадратные уравнения, содержащие параметр (1 ч)

На этом элективном курсе особое внимание обратим на следующие задачи. Это задачи на расположение корней квадратного уравнения относительно числа а, пары чисел а и b, исследование знаков корней.

Для эффективного решения данных уравнений необходимо дать на этих занятиях теоремы о расположении корней квадратного уравнения.

В зависимости от класса, профиля доказательства могут приводиться или не приводиться.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения x2 + (4a + 5) x + 3 - 2a = 0?

Решение. Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трёхчлена (корни лежат по разные стороны от числа а). Учащимся можно предложить перевести снова условие задачи на графический язык. Для удовлетворения требований задачи следует потребовать выполнения неравенства f(2)< 0, то есть,

 4 + (4a + 5)2 + 3 - 2a < 0, 17 + 6a < 0, откуда получаем .

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

x2 + ax + 36 = 0 больше 1?

Решение. Для того чтобы выполнялось условие x1 > 1, x2>1, составим

систему

.

Ответ: (-38; - 12).

5. Дробно - рациональные уравнения(2 ч)

Подготовительный этап: повторить схему решения дробно - рациональных уравнений. Схему можно дать в следующей формулировке:

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби .

3.Решить уравнение P(x) = 0.

4. Для каждого корня уравнения P(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет он условию Q(x) 0 или нет. Если да, то это - корень уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

 При решении дробно - рациональных уравнений, содержащих параметр, используются алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений, линейных, и квадратных уравнений с параметром.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Левая часть уже представлена в виде дроби. Будем иметь x + 3=0, откуда x = -3.

         Сделаем проверку. Исключим такие значения параметра а, при которых

 x +a = 0, то есть, - 3 +a = 0, откуда a=3. Это значение и следует исключить,

при таком значении параметра а уравнение не будет иметь решения.

 Ответ: x=3 a3; уравнение решений не имеет при а=3.

Пример 2. Решить уравнение с параметром .

 1.Перенесём все члены уравнения в одну часть.

 2.Приведём к виду алгебраической дроби левую часть, получим .

3. Решим уравнение ax +x+1=0 - это линейное уравнение с параметром.

Приведём его к стандартному виду: (a +1)x=-1.

 1) Если a-1, то .

 2) Если a=-1, то стандартное уравнение примет вид 0x=-1,

оно не имеет решения.

4. Сделаем проверку найденных значений по условию x+50, то есть,

x-5. Необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение x равно - 5, эти значения нам надо исключить.

, откуда , это значение нам необходимо исключить.

 Итак, имеем:

 1) если , a-1, то уравнение имеет единственное решение ;

 2) если же , a = -1,то уравнение решений не имеет.

Ответ: если , a-1, то x= -1/(a+1); если , a=-1, то решений нет.

6. Неравенства с параметром (2 ч)

Линейные неравенства с параметрами.

Решение неравенств с параметрами, содержащих модуль, методом интервалов.

При решении неравенств важно помнить, что при делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное - меняется на противоположный.

Пример 1. Решить неравенство  относительно x .

1 шаг: Приведём неравенство к стандартному виду.

2 шаг: Рассмотрим три случая a -2 > 0, a -2 < 0, a - 2 = 0.

1) если a - 2 > 0,то a >2, .

2) если а -2 < 0, то .

3) если а - 2 = 0 , а = 2 , то стандартное неравенство примет вид 0x >4, оно не имеет решений.

3 шаг: записываем ответ

Ответ: при  а > 2, ; при a< 2, ; при а =2 нет решений.

7. Система  неравенств с параметрами (2 ч)

Очень часто уравнения, неравенства, системы с параметром сводятся

к задачам о расположении одного или двух квадратных трёхчленов.

Решить систему неравенств.

 Решение. Поскольку решением первого неравенства является

, то задача сводится (при ) к выяснению расположению корней

квадратного трёхчлена f(x)= ax - 2 (a + 1)x + a - 1 относительно отрезка [1;2].

Имеем D = (a +1)2 -a(a - 1)= 3a + 1, f(1) = - 3, f (2)= a - 5.

Область изменения параметра а оказалась разделённой на 4 части.

1) Если a< - , второе неравенство, а следовательно и данная система не

имеют решения. То же имеет место и при а = - .

2) Если - < а < 0 , то f(1) < 0, f(2) < 0. Для вершины параболы выполняется неравенство x b =< 0. Следовательно, множество решений

второго неравенства не содержит точек отрезка [1;2]. Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0<а <5, то f(1)< 0, f(2)< 0. Значит на всём отрезке [1;2] f(x) <0.

Система вновь не имеет решения.

4) Если , то f(1)< 0, . Решением системы будет , где x2 - больший корень уравнения f(x)=0.

Ответ. Если а< 5, система не имеет решения; если , то .

8. Квадратные неравенства, содержащие параметр(1 ч).

При решении квадратных неравенств, содержащих параметр, также необходимо обратиться к графику квадратного трёхчлена. Подготовительный

Этап состоит в повторении методов решения квадратных неравенств. Разбирая решение неравенств, необходимо каждый раз выяснять знаки дискриминанта, числа а.

При решении неравенств, где требованием является его решение для каждого значения параметра, можно предложить примерную схему:

1. Найти дискриминант исходного квадратного трёхчлена.
2. Выяснить, при каких значениях параметра D0, D< 0.
3. Выяснить знак коэффициента при х2.
4. Для каждого случая построить схематично график исходного квадратного трёхчлена и определить промежутки, на которых выполнимо неравенство.
5. Записать ответ.

9. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, содержащие переменные и параметр под знаком модуля (2 ч)

В этом пункте мы рассмотрим задачи, при решении которых надо использовать наглядно-графические соображения. Подчеркнём два характерных приёма.

Первый приём. На плоскости (x;y) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра а: y = f(x; a). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающим требуемым свойством. При этом часто поступают следующим образом: изучают, как перемещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство.

Второй приём состоит в том, что рассматривается плоскость (x;а), на которой изображается множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству. После этого, проводя прямые, параллельные оси x, находят решение этого уравнения или неравенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, дающая решение, естественным образом определяются построенным множеством.

Пример. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение

х2 + 5(x + 1) + 3|x - a| +a = 0?

Решение. Изобразим на плоскости (x; a) все точки, удовлетворяющие данному уравнению. Если xa ,то a = - (x2 + 8x + 5); если x, то a =- (x2 + 2x + 5).

Следовательно, если - 5< a < - 1, то уравнение имеет два решения.

Если а = -5 или а = -1, решение единственное. Для остальных значений а уравнение не имеет решений.

10. Решение нестандартных заданий из сборников по ЕГЭ (2 ч)

Сначала рассмотрим  задачи с параметром из открытого сегмента заданий, которые были включены в ч. 2 вариантов КИМ. Так как эти примеры  не требуют приведения развернутой записи решения, то ограничимся достаточно кратким объяснением. Далее рассмотрим задания высокого уровня сложности.

Пример 1. При каком натуральном значении а уравнение  имеет ровно два корня?

Пример 2. При каком натуральном значении b уравнение

Пример 3. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

Пример 4. Даны два уравнения:

   и    

Значение параметра р1 выбирается так, что число разных корней первого уравнения равно произведению числа 0,5(р+3) и числа различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

11. Контрольная работа (1 ч)

Приложение к рабочей программе элективного курса

Контрольная работа

Вариант 1

1. Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения больше ?
2. При каких m, любое решение уравнения  удовлетворяет условию ?
3.  При каких т один из корней уравнения

меньше m, а другой больше m?

4. Определить все значения параметра а, при котором система уравнений        имеет единственное решение?
5.  Решить уравнение относительно x: .
6. Решить неравенства  относительно x:

а) ;    б)(a -1)x +2 >a + 1;    в) (x + 2a) + (x - a)<3a.

7. Решить уравнения с параметром:

а) ;       б) .

8.    Решить уравнение | x - a | + | x + a + 1| = 3.    

Вариант 2

1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

6-3а+14х=12х+3а имеет корень, меньший 1.

2. При каких значениях а уравнение 5(x - 1) - 3(a - 2) = 5 имеет корень,  принадлежащий промежутку 1< x <6?
3.  Указать, при каких значениях параметра а уравнение 0,5(5x-1)=4,5-2a(x - 2) имеет бесконечное множество решений?
4. Определить все значения параметра а, при котором система уравнений        имеет бесконечно много решение?
5. Найти значения параметра а, при которых уравнение x2 +4x + a = 0 имеет два различных отрицательных корня.
6. Решить неравенства  относительно x: 

а) c2x -2 >4x + c;     б) (x + 2a) +(x - a)< 3a;     в) b2x - b > 25x + 5.

7. Решить уравнения с параметром:

а) ;       б) .

8.    Решить уравнение |x2 - 1|+|a(x -1)|=0.

Литература

1. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Под ред. Дорофеева Г.В. 3адачи с параметрами. – М.: Илекса , 2004.
2. Денищева Л. О., Рязановский А. Р., Семенов П. В. ЕГЭ 2008. Математика. Сборник экзаменационных заданий. – М.: Эксмо, 2008.
3.  Мордкович А.Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра. 9 кл. Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
4.  Мордкович А.Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Задачник для общеобразовательных учреждений. Ч. 2. – М.: Мнемозина, 2003.

6.   Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 2003.

7. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы 8-9 кл. – М.: «ГИД «Русское слово - РС», 2003.