Уроки гармонии
проект по алгебре (11 класс) на тему

Занятие кружка или курса по выбору.

Тема: «Уроки гармонии»

Занятие  «Приложения производной и интеграла».

Занятие  «Приложения производной и интеграла».

         Презентация  сопровождает рассказ учителя.

Причины появления математического анализа.

Общее направление развития науки, в конечном  счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Это верно для любой науки, это остаётся справедливым и для математики.

Существование других государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчётов.

В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъём технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, несвязанные с мускульным усилием человека или животных. В XI-XII столетии в Европе распространяются ветряные и водяные мельницы. В XIII веке сила падающей воды используется для создания тяги при выплавке металла.

В XIV столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV столетия - печатаный станок. Ускоренное развитие производства в рассматриваемый период во многом стимулировало интенсивные астрономические и физические исследования. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов.

Описательному, естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей.

 В итоге, к концу XVII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа.

Что же такое «математический анализ»? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?

                               Происхождение понятия производной.

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности- Евклидом и Архимедом .   Архимед разработал способ проведения касательных к спиралям. Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной - возникло В XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Займемся первой из них.

Путь S, пройденный прямолинейной и неравномерно движущейся точкой, есть функция от времени t. Пусть это движение выражается некоторым законом

                                                                   у = f(t) (1)

и требуется найти скорость движения в момент t1. Если t1 и t2 являются двумя различными значениями аргумента 1, а S1и S2 соответствующими им значениями функции S, то «средняя» скорость Vcp движения за промежуток времени t2-tI выразится так:

                                                                (2)

Чем ближе будет t2 к t1, т. е. чем короче промежуток времени t2- t1, тем точнее эта формула определит скорость в мгновение t1. Поэтому естественно принять за мгновенную скорость V движущейся точки в момент t1 предел, к которому стремится средняя скорость Vcp точки, когда промежуток времени t2-t1 стремится к нулю, или, что то же самое, когда t2 стремится к t1. Итак,

Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал фЛЮЭНТОЙ, т. е. текущей величиной (от латинского f1uere- течь). Производные от флюэнт по времени он обозначал последними буквами латинского алфавита с точкой над ними                      

Терминология Ньютона (флюэнты, флюксии) и его обозначение производной  не утвердилось в математике. Лишь в физике и механике в некоторых случаях обозначение точкой встречается.

Путь к производной через касательную к кривой.

Математиков XV-XVII вв. долго волновал вопрос о нахождении общего метода для построения касательной в любой точке кривой. Задача эта была связана также с изучением движений тел и с отысканием экстремумов наибольших и наименьших значений разных функций.

Некоторые частные случаи решения задач были даны еще в древности. Так, в «Началах» Евклида дан способ построения касательной к окружности, Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя, Аполлоний - к эллипсу, гиперболе и параболе. Однако древнегреческие ученые не решили задачу до конца, т. е. не нашли общего метода, пригодного для построения касательной к любой плоской кривой в произвольной ее точке.  С самого начала XVII в. немало ученых, в том числе Торричелли, Вивиани, Роберваль, Барроу, пыталось найти решение вопроса, прибегая к кинематическим соображениям. Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в «Геометрии» Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу, о которой идет речь, создав соответствующий алгоритм нахождения tg  т.е углового коэффициента касательно. Итак, если в «Методе флюксий» Ньютона в качестве первоначального понятия фигурирует скорость, то методе Лейбница таким понятием является касательная.

Обозначение для производной ввел Лагранж, а сам термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста в его книге «Вычисление производных», опубликованной в Париже в 1800 г. И Ньютон,  и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов. Первый систематический прием для отыскания экстремумов ( лат. еxtremym означает «крайнее») изложил

П. Ферма, который использовал его уже в 1629 г. Эйлер в своих работах (1755г.)для исследования функции на максимум и минимум пользуется не только первой производной, но и производными более высоких порядков. Учение о максимумах и минимумах находит многочисленные и важнейшие практические применения в наше время, когда вопросы повышения производительности труда, связанные с рациональным использованием времени, сырья и т.д занимают первостепенное значение в экономике и жизни современного общества.

Процедура, позволяющая находить мгновенную скорость движения, используя зависимость пути от времени, называется дифференцированием, а функция, которая получается в результате дифференцирования,- производной. Итак, мгновенная скорость тела в данный момент есть производная пути по времени в данный момент.

Приложение «Геометрия пчелиных сот».

 «Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел,- пишет известный математик Герман Вейль- не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности».  «Далее этой ступени совершенства в архитектуре,- отмечает Ч. Дарвин,- естественный отбор не мог вести, потому что соты пчелы, насколько мы в состоянии судить, абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска». Пчелиные соты  представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками.

 Задача 1

Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

  Решение. Предложим, что плоскость замощена правильными  n-угольниками, причём каждая вершина является общей для x таких многоугольников. Тогда имеем . Находим, что  учитывая, что x-целое получаем n = 3,4,6. Итак, плоскость можно замостить правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками. Почему же пчелы выбрали шестиугольник?

    Пусть даны правильные треугольник, четырёхугольник и шестиугольник одинаковой площади. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?

   Решение. Легко показать, что площадь Sn правильного n-угольника через его сторону аn выражается по формуле Отсюда имеем: Так как у нас   то из последних равенств получаем:

    Поскольку периметр правильного –угольника  Pn=, то из полученных соотношений находим:

 В силу того что функция  при x >0 возрастающая, заключаем , что наименьший периметр у шестиугольника.

   Итак, профиль пчелиной ячейки – правильный шестиугольник, а он из всех возможных многоугольников с данной площадью имеет наименьший периметр.

Задача 2 (материал в ресурсе «ЖМ»).

Из двух многогранников с равными объемами (правильная шестигранная призма и пчелиная ячейка) выбрать тот, у которого меньше площадь поверхности.

Решение. По рис.  легко установить, что каждому положению точки S на оси ОО1 соответствует свой многогранник SABCDEFF1MB1LD1K. Пусть АВ = а, ВВ1 = Ь и S01 = х, причем   0 < х < . Найдем то значение переменной х, при котором площадь поверхности многогранника-ячейки будет наименьшей.

Введем функцию Q(x) площади поверхности многогранника -ячейки (без нижнего основания, надо же куда-то влетать пчеле). Нетрудно определить, что. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, т.е.  Площадь одной из трапеций, входящих в боковую поверхность многогранника, равна 0,5a(2b-х).

Площадь полной поверхности ячейки состоит  из шести равных трапеций и трех равных ромбов, т.е. Q(x) = 1,5a- +3а(2b - х).

Чтобы ответить на вопрос задачи о наименьшей площади поверхности, надо найти минимум функции Q(x), заданной на множестве положительных чисел.

Найдем критические точки функции Q(X):                                В точке х  функция  принимает свое наименьшее значение . Но площадь поверхности правильной шестиугольной призмы без нижнего основания равна .                                                                                                                            Таким образом, имея тот же объем, что и правильная шестиугольная призма, пчелиная ячейка обладает поверхностью, которая меньше поверхности правильной шестиугольной призмы на величину . Благодаря такой "математической" работе расчетливые пчелы экономят около 2% воска. Количество воска, сэкономленное при постройке 54 ячеек, может быть использовано еще для одной такой же.

Интеграл.

Из истории интегрального исчисления.

Процедура, позволяющая определять пройденный путь, используя зависимость скорости от времени, называется интегрированием, а число, которое получается в результате интегрирования, определенным интегралом. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена гораздо в больше мере, чем идея дифференциального исчисления.

Термин «интеграл» от латинского integer – целый, т.е. целая, был предложен в 1690г. Иоганном Бернулли и одобрен хотя и неохотно, Лейбницем, который до этого пользовался выражением «сумма всех ydx». К понятию определённого интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых требуется найти предел так называемой интегральной суммы.

Архимед в некоторых своих работах  вычислял площади фигур и объёмы тел, вписывая и описывая около них ступенчатые фигуры и вводя по существу понятие верхних и нижних интегральных сумм. Однако Архимед ещё не выделял и ясно не применял  общие понятия предела и интеграла, уже не говоря о том, что он решал каждую задачу отдельно, не владея общим алгоритмом, созданным лишь 2000 лет спустя. Для дальнейшего развития зачаточных интеграционных методов Архимеда необходимо было предварительно создать и развить новую алгебру с её символикой, ввести понятия переменных, функций и т.д.

Одним из первых видных учёных XVII в., стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов Архимеда, был Иоганн Кеплер.

1612г. был для жителей австрийского города Линца, в котором жил тогда Кеплер, и его окрестностей исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготавливали винные бочки и хотели знать, как практически определять их объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615г. Кеплер вычислял площади плоских фигур и поверхностей и объёмы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объём который ему известен.

Как, например, вычислить объем лимона? Задача кажется неразрешимой. А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее решению, готовя лимон к ,употреблению, нарезая его на дольки. С того же начал бы и знаток интегрального исчисления, готовясь вычислить объем этого эллипсоида вращения из рода ЦИТРУСОВЫХ. Объем лимона равен сумме объемов долек; для каждой из них он приближенно выражается произведением высоты на площадь основания – либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и любую промежуточную величину.

В этом· нетрудно усмотреть ту же схему интегрирования, по которой мы вычисляли площади криволинейных фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога до поставленной цели; сначала определить функцию, по которой сечение лимона меняется вдоль его оси, для этой функции найти первообразную и, наконец, воспользоваться формулой Ньютона-Лей6ница. Так, в чисто статические на первый взгляд задачи входят движение, переменные величины, а вместе с ними - методы дифференциального и интегрального исчисления. И задачи, не разрешимые в рамках элементарной математики, элементарно решаются благодаря новому подходу, суть которого составляют переменные величины. Недаром вся созданная на их основе математика, обеспечившая становление и развитие классической физики.

Приложение

          Полет ракеты.

    Задача о запуске ракеты. Определить работу W, необходимую для запуска ракеты            

 массой mp с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h. (Сопротивление воздуха не   учитывать.)

Решение. Ось Ох направим вертикально вверх, её начало считаем центром Земли. Далее, обозначим через F величину силы притяжения ракеты Землёй. Пусть mз – масса Земли. Согласно закону Ньютона

,  где х – расстояние от ракеты до центра Земли, k>0 – коэффициент         пропорциональности, одинаковый для всех тел в природе, называемый постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной

(k=6,67 · 10 -11 Н · м2/кг2).

 Пологая kmpmз=γ, получим ; R≤x≤h+R, R – радиус Земли. При х=R сила

 равна весу Р ракеты, поэтому γ=PR2 и F(x)=.

 Значит,.

Источники информации:

 1. А.И. Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. М.: «Школа-Пресс», 1998.

2. И.И. Баврин Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. М.: Просвещение, 2000.

3. А.В. Волошинов «Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000.           4. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10-й класс – М.: Просвещение. – 1983.

5. Колмогоров А, И. О профессии математика, 3-е изд, М.:  Изд-во МГУ, 1960.

http://www.fisnyak.ru/_nw/16/s39582679.jpg

http://odigitrya.at.ua/_nw/6/61381813.jpg

http://www.pomeshhik.ru/foto/1235727190.jpg

http://www.trabzon-caglayan.bel.tr/foto/duyuru/ar%C4%B1.jpg

http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/009/001/236710633.jpg

http://canegor.urc.ac.ru/uchis_primenyat/images/93.png

http://canegor.urc.ac.ru/uchis_primenyat/images/102.png

http://www.kostar.ru/pros/s379.jpg

http://www.bochkavpechatleniy.com/data/photo/31536/3ea84fe708c7ccd5e4b82f9e77798397.jpg

http://s46.radikal.ru/i114/0911/f9/94f0656c7a29.jpg

http://www.tapety.co.pl/budowlane/wiatraki/tapety/big/3.jpg