Параметр в уравнениях с модулем.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Параметр в уравнениях с модулем.

1. Найдите все значения а, при которых уравнение   имеет единственное решение.

Решение:

1. Найдите все значения а, при которых уравнение   имеет единственное решение.

Решение:    (1)

• Заметим, что если х = х0 – корень данного уравнения, то х = - х0 также является корнем этого уравнения. Поэтому наше уравнение может иметь единственное решение лишь в том случае, если это решение х = 0.
• Подставим х = 0 в исходное уравнение, получим:   

Таким образом, все искомые значения а (при которых наше уравнение имеет ровно один корень) содержатся среди значений а = 3, а = - 1, а = 7. 

• При а = 3 уравнение (1) имеет вид:   

х = 0, х = -4, х = 4. Так как число корней больше одного, то а = 3 не входит в число искомых.

• При а = - 1 и а = 7 наше уравнение примет вид: . Покажем, что это уравнение действительно имеет один корень х = 0.Данное уравнение равносильно совокупности

х=0 .

Первая и вторая системы в совокупности не имеют решения, т.к. дискриминант отрицательный.

Итак, при а = - 1 и а = 7 наше уравнение действительно имеет ровно 1 корень, т.е. эти значения а являются искомыми.

Ответ: а = - 1, а = 7.

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Решение:

Пусть

Тогда n – m = 2a-3, значит исходное уравнение примет вид:

Так как левая часть не отрицательна, следовательно, и правая часть неотрицательна, т.е.   n – m  0 .

Значит .

Получаем:  (умножим на – 1 )

                 (прибавим х )

Уравнение не будет иметь корней на интервале (4; 19), если

а [1,5 ; 3]

Ответ: [1,5 ; 3]

3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.

Решение: перепишем данное уравнение в виде:

 .

Пусть f(x)= .

При х-1 имеем:

f(x)= ,  

f(x)= .

Заметим, что при любом раскрытие модулей выражение  является выражением вида kx + b, где k5-(2+1).

Следовательно, при х-1 функция f(x) определена выражением вида f(x)= kx + b, где k>0.

Поэтому f(x) возрастает при х-1.

Аналогично получаем, что при х  функция f(x)  неограниченно убывает, т.к.           f(x)=  при любом раскрытие модулей f(x)= kx + b, где k-15+(2+1),    k-12.

Так как функция f(x) непрерывна и ограниченно возрастает при х-1, а при х  неограниченно убывает, то уравнение f(x)=0 имеет корень при выполнении условия          f(-1) 0.  (В самом деле, если  f(-1) < 0, то  корни уравнения f(x)=0 существуют в силу непрерывности и неограниченного возрастания f(x) при х-1.

Выше показано, что искомыми значениями а являются те, при которых f(-1) 0.Решим это неравенство

, т.е. ,  

Ответ:

Домашнее задание:

1. Найдите все значения а, при которых уравнение  имеет ровно три решения.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет  хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
3. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполнено хотя бы для одного целого значения х.

Ответы :

1. а = 5.
2. [ 4; 7]
3. [-18; -1]