Решение уравнений с модулем и параметром
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

Пирогова Татьяна Николаевна

.  Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей».  «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится,  и в конце  урока мы с вами  станем мудрее.

 

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл занятие элективного курса78.18 КБ

Предварительный просмотр:

 Пирогова Татьяна Николаевна г. Таганрог МОУ СОШ № 10.

 Тема: «Решение уравнений с модулем и параметром»

10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».

План урока.

  1. Мотивация.
  2. Актуализация знаний.
  3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
  4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
  5. Исследовательская работа   по определению зависимости количества корней уравнения

| |х| - а |= в  от значений  а и в.

  1. Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
  2. Рефлексия.

Ход урока.

Мотивация.  Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей».  «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится,  и в конце  урока мы с вами  станем мудрее.

Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле. 

  • Определение модуля. Модулем  действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное  ему число, если оно отрицательно.

                    image1844

  • Геометрический смысл модуля.  Модуль  действительного числа  а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой  а  на числовой прямой.

          –a                   0                   a

               |–a| = |a|              |a|                      x

  •  Геометрический смысл модуля разности величин.  Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,

 т.е. длина отрезка [а в]

          1) Если a < b                                   2) Если a > b

                                                                                                             

                 a              b                                                 b            a

                    S = b  a                                                    S = a  b         

       3) Если  a = b, то   S = a  b =  b  a = 0

  • Основные свойства модуля

                                             

  1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x| ≥ 0 для любого x
  2. Модули противоположных чисел равны, т.е. |x| = |–x|   для любого x
  3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е.|x|2 =x2  для любого x

4.   Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b| = |a| · |b|

5.   Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0

          6.  Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:

| |a| – |b| | ≤  |a + b| ≤  |a| + |b|

| |a| – |b| | ≤  |a – b| ≤  |a| + |b|

  • График модуля  у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
  • Как построить графики функций? у =  |х –4|, у =  |х +3|, у =  |х –3|, у =  |х| + 1,
  •  у =  |х| – 3, у =  |х| – 5, у =  |х – 3| + 3, у =  |х – 3| – 2, у =  |х + 2| – 5. у =  ||х| – а|     

Пример.        Решить уравнение   .

Способ 1.   Метод раскрытия модулей по промежуткам.

 Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля. 

Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.

 Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.

           Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.

                     

Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля

2

х

 5

-1

 2

3

3

 и то, что обе части уравнения неотрицательные.

Способ 5. Графическое решение уравнения .

Обозначим  . Построим графики функций  и :

Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни  

              -2    -1        0    1       2      3

1

              -2    -1        0    1       2      3     4     5

              -2    -1        0    1       2      3

1

              -2    -1        0    1       2      3     4     5

 и .

Самостоятельная работа

 решите уравнения:

 | х – 1| = 3  

 | х – 5| = 3  

 | х  –3| = 3  

 | х + 3| = 3  

 | х + 5| = 3  

(-2; 4)

         (2; 8)

(0; 6)

(-6; 0)

(-8;-2)

А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:

  | |х| – 1| = 3  

  | |х|  –5| = 3

 | |х| – 3| = 3

  | |х| + 3| = 3  

  | |х| + 5| = 3  

()

()

(0)

(нет корней)

Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в?   От чего это зависит?

Исследовательская работа по теме

«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в   от а и в»

Проведем работу по группам, с использованием     аналитического, графического и геометрического способов решения.

Определим, при каких условиях данное уравнение  имеет 1 корень, 2 корня,              3 корня, 4 корня и не имеет корней.

1 группа   (по определению)  

2 группа    (используя геометрический смысл модуля)                              

3 группа   (используя графики функций)

,  а > 0

,  а < 0

1 группа

2 группа

3 группа

Нет корней

в < 0 или   в    0

в + а < 0

в < 0  или   в  ≥  0

а + в < 0

в < 0    или   в  ≥  0

  в < – а

ровно один корень

в > 0   и      в + а = 0

в > 0   и      в + а = 0

в > 0   и      в = – а

ровно два корня

в > 0   и      в + а > 0

                 – в + а < 0

в > 0   и      в + а > 0

                  –в + а < 0

в > 0   и  в > | а |

 

ровно три корня

в > 0   и    – в + а = 0

в > 0   и    – в + а = 0  

в > 0   и      в = а

ровно четыре корня

в > 0   и    – в + а >0

в > 0   и     – в + а >0

в > 0   и      в < а

Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.

Конечно, необязательно эту схему запоминать. Главное в проведенном нами исследовании  было – увидеть эту зависимость, используя  разные методы, и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений  нам будет уже несложно.

Ведь решение задания с параметром  всегда подразумевает некоторое исследование.

Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

1. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – р 3| = 7   имеет ровно один корень.

Решение: | |х| – ( р + 3)| = 7   

 р+3= -7,  р = -10.    Или  геометрически     

р + 37                 р + 3                р + 3+7               р + 3+7=0, р = -10     

                     - 7                  7      по схеме уравнение такого вида имеет ровно один  корень, если в = – а, где в=7, а=р+3               

2. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – р 6| = 11   имеет ровно два корня.

Решение: | |х| – ( р + 6)| = 11        геометрически     

                       р + 611            р + 6           р + 6+11              р + 6-11<0, р < 5,      р + 6+11>0, р > -17

                                         - 11                11                    

по схеме уравнение такого вида имеет ровно два  корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в=11, а=р+6.       -17< р < 5. 

3. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – 4р| = 5р–9   имеет ровно четыре корня.

Решение: по схеме уравнение такого вида имеет ровно четыре  корня, если

0< 5р–9 < 4р,  р > и р < 9,

т.е. 1 < р< 9.

Ответ: 1 < р< 9.    

4.  . Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – 2р| = 5р+2  не имеет   корней.  Решение: 5р+2  <0, или 5р+2  =0 и –2р>0, или 5р+2  >0  и 5р+2  <-2р.

р < –0,4, или р = –0,4, или р> – 0,4 и р < – . Ответ: р < –

5. При каких значениях параметра р уравнение  | |х–4| – 3| + 2р= 0   имеет три корня.  Найти эти корни.

Преобразуем уравнение к виду:

 | |х–4| – 3|= – 2р.

По схеме уравнение такого вида       имеет три корня,

если –2р=3>0,

 т.е. р = –1,5.

||х–4|–3| = 3,

|х–4|=0,  х = 4,

||х–4|=6,  х = –2, х =10.

http://festival.1september.ru/articles/505591/img2.gif

Ответ: при  р= –1,5 уравнение имеет три корня:  х1 = –2,  х2 = 4,  х3 =10.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Скажите, какие бы вы выделили главные слова урока?  ( Модуль, параметр)

Что мы сегодня повторили?  (Определение модуля, геометрический  смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений)

Что  мы сегодня делали?

Что делали?

- повторяли

- решали

- исследовали

-обобщали

-доказывали

- строили

Модуль

параметр

Что повторили?

-определение

- геометрический смысл

- свойства

- графики

-уравнения

- разные методы

Домашнее задание.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С)....

Рабочая программа элективного курса по математике "Решение задач с модулем и параметрами" для 9 класса

Рабочая прогамма элективного курса по математике "Решение задач с модулем и параметрами" для 9 класса составлена в соответствии с федеральным компонентом Государственного образовательного стандарта ос...

Урок по теме "Решение уравнений и неравенств с параметром"

9-й класс. Урок по теме "Решение уравнений и неравенств с параметром"Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв...

Программа элективного курса по теме "Решение уравнений и неравенств с параметрами"

Элективный курс по теме " Решение  уравнений и неравенств с параметрами" позволяет познакомится с методами решения уравнений и неравенств содержащих параметр, способствует повышению уровня логиче...

элективный курс "Решение уравнений и неравенств с параметрами..."10 - 11класс

элективный курс "Решение уравнений и неравенств с параметрами..."10 - 11класс...

Занятие по теме "Решение уравнений с модулем и параметром"

Занятие элективного курса "Модуль. Параметр"  по теме "Решение уравнений с модулем и параметром" проводилось в 7 классе ( инженерной направленности) в рамках районного семинар...

рабочая программа курса по выбору "Решение задач с модулем и параметром""

Содержит характеристику курса и учебно- тематическое планирование...