Трёхуровневая система упражнений по теме "Решение показательных уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Трёхуровневая система упражнений по теме

«Решение показательных уравнений».

     Трёхуровневая система упражнений позволяет выбрать индивидуальную траекторию обучения и обеспечить прочное усвоение основ математических знаний всеми учащимися. Первый уровень заданий предполагает минимум знаний, необходимый каждому человеку; второй уровень вырабатывает у учащихся более сложные умения и навыки, которые позволяют успешно продолжить  обучение в старшей школе и ВУЗе; третий уровень – задания повышенной сложности для учащихся, проявляющих профессиональный интерес к математике и сознательно овладевающими логикой рассуждений.

     Показательные уравнения – это уравнения содержащие неизвестное в показателе степени. Решение показательных уравнений основано на следующей теореме равносильности:

Если при то f

Основные методы  решения показательных уравнений:

1. Если левая и правая части уравнения – произведения, положительные на области определения уравнения, то приводим обе части уравнения к одному основанию или логарифмируем обе части уравнения по любому удобному основанию;  если показатели степеней являются модули, то модули возводятся в квадрат.

а).   ;    

б).  

в).  ;  х;

г).  ; т.к. 8   ;   8х=-8;  х=-1.

Упражнения. Решите уравнения:

1).                             6).                         

2).                                   7).        

3).                          8).                                

4).                                 9).      

5).                         10).       

                                              11).                

                                              12).                

                                   13).            

                                   14). 27   

                                   15).                  

2). Если левая или правая части уравнения  –  алгебраическая сумма, слагаемые которой степени с одинаковым основанием, то уравнение решается вынесением степени с неизвестным в показателе за скобки:

           а). ;     ;   ;  ;  х=-1.

           б). ;  ;          х=2.

 Упражнения. Решите уравнения:

4).2                  

5).3         

6).                             

 7)                         

 8)     

 9)                             

 10).                           

Определите , при каких значениях параметра  p  имеет ровно один корень уравнение:   11).                                

                         12).                    

При каждом значении параметра  a определите число корней уравнения: 

                          13).                   

                           14).       

3).  Если левая и правая части уравнения – алгебраическая сумма, то уравнение решается с помощью замены переменной:

а).    Решение:    Пусть  тогда имеем квадратное уравнение относительно  t

или ;     или ;

  или x

б).  Решение:    Пусть  тогда уравнение сводится к уравнению третьей степени    имеющему один положительный корень      ;   х

 в).   Решение:    Пусть     тогда уравнение сводится к уравнению второй степени ,  однородному относительно z и t.

 Делим уравнение на ,   получаем          (  не удовлетворяет, т.к.        логарифмируем по основанию 0,75 и получаем  

   Решение:    Пусть  тогда уравнение сводится к возвратному уравнению     ,  получаем  t       t 

Упражнения. Решите уравнения:

1.                
2.                        
3. 
4.              
5.             
6.               
7. 16   
8.  
9.      
10.    

При каждом значение параметра а  решить уравнения:

Найти все значения параметра a при каждом из которых не имеет корней уравнение:

Решить уравнения при каждом значении параметра a:

4). Если одна часть уравнения является показательной функцией, а другая часть – линейная или любая другая функция, то уравнение можно решить построением графиков двух функций. Координаты точек пересечения графиков будут решением уравнения.

Решить графически уравнение      

Построим графики функций      у    и   у

Графики пересекаются в точке с абсциссой   х         

Упражнения.  Решить графически уравнения:

1.                             8)     
2.                                9)           
3. 
4.                   11)            
5.                   12)         

      6)                                13)                      

      7)                                14)