Квадратные уравнения с параметрами
статья по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему
Основные алгоритмы решения квадратных уравнений и неравенст с параметрами.
Уранения сводимые к вадратным.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 kvadratnye_uravneniya_i_neravenstva_s_parametrami.docx | 445.14 КБ |
Предварительный просмотр:
Квадратные уравнения с параметрами.
Вспомним некоторые стандартные факты. Выражение , где
называется квадратным трехчленом.
Функция называется квадратичной.
Ее график (парабола) получается параллельным переносом параболы ; вершина параболы при этом сдвигается из начала координат в точку (
).
Найдем эту точку
Так как дискриминант
, то окончательно получаем
Из этого выражения видим, что координаты вершины параболы:
Если
| |
Если
|
Гораздно лучше, не заучивать правила, а делать рисунок для каждой конкретной задачи.
Сейчас постараемся рассмотреть наиболее распространенные варианты задач.
Задача 1
Найдите все возможные значения параметра, про котором корни квадратного уравнения больше числа α
(Сразу отметим, что если в условии оговорено, что корни должны быть различны, то во всех неравенствах соблюдаем условие- дискриминант больше нуля, если такого условия нет, то нам подходят решения и с одним, и с двумя корнями, тогда дискриминант будет больше либо равен нуля)
Случай рассматриваем отдельно, если по условию задачи нас устраивает вариант одного решения.
Рисуем рисунок
По рисунку составляем систему необходимых и достаточных условий для существования двух корней больших числа α
Задача 2
Найдите все возможные значения параметра, про котором корни квадратного уравнения меньше числа α
(Снова отметим, что если в условии оговорено, что корни должны быть различны, то во всех неравенствах соблюдаем условие- дискриминант больше нуля, если такого условия нет, то нам подходят решения и с одним, и с двумя корнями, тогда дискриминант будет больше либо равен нуля)
Случай рассматриваем отдельно, если по условию задачи нас устраивает вариант одного решения.
Рисуем рисунок
Задача 3
Найдите все возможные значения параметра, про котором корни квадратного уравнения больше числа α, но меньше числа β
(Если в условии оговорено, что корни должны быть различны, то во всех неравенствах соблюдаем условие- дискриминант больше нуля, если такого условия нет, то нам подходят решения и с одним, и с двумя корнями, тогда дискриминант будет больше либо равен нуля)
Случай рассматриваем отдельно, если по условию задачи нас устраивает вариант одного решения.
Рисуем рисунок
Задача 4
Найдите все возможные значения параметра, при котором:
Задача 5
Найдите все возможные значения параметра, при котором:
Задача 6
Найдите все возможные значения параметра, при котором:
Задача 7
Найдите все возможные значения параметра, при котором:
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Найдите такие , при которых уравнение имеет корни разных знаков
Область определения функции
- Если
то,
, одна точка пересечения с осью абцисс и уравнение не может иметь корни разных знаков
- Если
, то рассмотрим случай, когда один корень больше нуля, а второй корень меньше нуля (наша задача 6)
, подставляем в уравнение 1 получаем
, то есть
Ответ: Уравнение имеет корни разных знаков, если
Пример 2
Найдите такие , при которых корни уравнения больше 1
Область определения функции
1 , одна точка пересечения с осью абцисс
. У нас имеется один корень больше 1(в условии задачи ничего не сказано про количество корней)
2 , строим рисунок, наша задача 1
Объединяем решения пункта 1 и 2, получаем
Пример 3
Найдите такие , при которых один корень уравнения меньше 2, а другой больше 2.
Область определения функции
Строим рисунок
Пример 4
Найдите такие , при которых корни уравнения по модулю меньше 1.
Область определения функции
1
, то есть уравнение имеет один корень
, что модуль меньше 1.
2
Строим рисунок:
Итого, учитывая пункт 1, получаем
Ответ:
Пример 5
Найдите такие , при которых неравенство
выполнено для любого х из отрезка
Область определения функции
Строим рисунок и используем алгоритм задачи 7:
Ответ:
Пример 6
Найдите такие , при которых уравнение имеет два различных корня
Первым шагом напишем ОДЗ:
Теперь приведем к общему знаменателю:
Воспользуемся правилом (2), но заметим, что по ОДЗ правая часть строго больше нуля, значит в нашей системе первое неравенство из системы (2) будет тоже строго больше нуля.
откуда
Сделаем замену , тогда
Заметим, что
где
Итого:
Ответ:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Мастер-класс !Урок математики в 10 классе по теме «Решение квадратных уравнений с параметром»
Мастер-класс на региональном семинаре учителей математики (февраль 2012 г.) «Развитие ключевых образовательных компетенций на примере урока математики в 10 классе по теме «Решение ква...
Решение квадратных уравнений с параметром в 9 классе
В работе рассмотрены примеры решения квадратных уравнений с параметрами по материалам ЕГЭ прошлых лет....
Решение квадратных уравнений с параметрами в 9 классе
В презентации рассмотрены способы решения квадратных уравнений по материалам, ЕГЭ прошлых лет...
Занятие элективного курса в 10 классе: Решение квадратных уравнений с параметрами
Тема: Решение квадратных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра.Цель: • Формирование умения решать квадратные уравнения с параметрами.• Развивать исследовательскую и поз...
Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами
Методическая разработка по теме: "Решение задач с параметрами в 7 - 8 классах с углубленным изучением математики"...
Презентация к уроку по теме"Решение квадратных уравнений с параметром",8 класс.
Цели урока:развитие логического мышления учащихся,творческих способностей ,умения сопоставлять,сравнивать,проводить аналогию,развитие комуникативной культуры....
