ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

 ГРАФИКИ  ФУНКЦИЙ

(Подготовка к ОГЭ)

Гильманова Разиля Гусмановна, учитель математики высшей квалификационной категории

Содержание:

Введение……………………………………………………………............3 стр.

 I. Основная часть……………………………………………………… .... 6 стр.

1.1Историческая справка……………………………………………….. …6 стр.

2.Основные определения и свойства функций…………………….. .......7 стр.

2.1 Основные проверяемые требования к математической подготовке при выполнении задания 23……………………………………………………7 стр.

 2.2. Виды заданий №23…………………………………………………...7 стр.

3. Задания с параметром…………………………………………………..7 стр.

 3.1 Некоторые типы заданий  с параметрами …………………………..7 стр.

 3.2. Решение задач………………………………………………………   7 стр.

3.3 Дробно-рациональная функция………………………………..….....10 стр.

3.4  Примеры…………………………………………………………….....11 стр.

3.5 Построение кусочно-заданных функций .Понятие о кусочных функци-ях……………………………………………………………………………..13 стр.

 3.6 Решение задач…..………………………………………………………15стр.

 3.7 Задания для самостоятельной работы ………………………………..18 стр 3.8. Построение графиков функций с модулем…………………………...19 стр

4.Некоторые полезные советы учащимся для успешной подготовки к  ОГЭ по математике…………………………………………………………………29 стр

II. Заключение………………………………………………………….......30 стр.

 III. Список литературы и источников …………………………………...32 стр.  

Введение.        

 Целью  данной работы является оказание  практической помощи выпускникам 9 класса  в приобретении, освоении и закреплении знаний как теоретического, так и практического характера по теме «Функция» на ОГЭ  и ГВЭ, а так же с целью повышения уровня самоподготовки к ОГЭ по математике.

Тема "Функции, их свойства и графики" является одной из важных тем курса алгебры основной школы. Она отражена в заданиях   1-й  (базового уровня) и 2-й  (повышенного и  высокого уровня) частях  экзаменационной  работы.

Готовясь к итоговому экзамену  учащимся необходимо ориентироваться на задания и более высокой сложности и тогда можно рассчитывать на положительный результат. Учащиеся выпускного класса должны иметь более высокий  уровень теоретических знаний и умений правильно  применять их.

        По моему опыту,  тема «Функции  и графики» очень важная и серьезная, но которой дети не уделяют достойного внимания. В своей работе я даю рекомендацию по выполнению заданий по этой теме.   Так же  надеюсь, что пособие  поможет не только экзаменуемым, но и учителям, которые будут повторять эту тему при подготовке к ОГЭ.

Построение графиков функций - одна их интереснейших тем в школьной математике. Крупнейший математик нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано у =х2 , то вы сразу видите параболу; если у = x2-4, вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же у =-(x2—4),то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».        

 Азы решения уравнений с модулями были получены в 6-ом – 7-ом классах. Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

 Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.

 Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля,  является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак.

Цель работы:  рассмотреть построение графика линейной, квадратичной  и дробно – рациональной функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:  

1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины линейной,  квадратичной и дробно- рациональной  функций.

2) Исследовать изменения графиков  функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

3) Научиться стоить графики уравнений.

Объект исследования: графики линейной, квадратичной и дробно – рациональных функций.

 Предмет исследования: изменения графика линейной, квадратичной  и дробно – рациональной функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины.

Практическая значимость моей работы заключается:

 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;  

 2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

 Актуальность: Задания на построение графиков традиционно - это одна из самых трудных тем математики. Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА и ЕГЭ.  

Проблема исследования: построение графиков функций, содержащих знак модуля, из второй части ГИА.

 Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих способов построения графиков функций, содержащих знак модуля, методики решения заданий второй части ГИА позволит учащимся решать эти задания   на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решении и успешнее сдать ГИА.

Методы исследования, используемые в работе:  

1.Анализ математической литературы и ресурсов сети Интернет по данной теме.  

2.Репродуктивное воспроизведение изученного материала.  

3.Познавательно- поисковая деятельность.  

4.Анализ и сравнение данных в поиске решения задач.  

5.Постановка гипотез и их поверка.  

6.Сравнение и обобщение математических фактов.  

7. Анализ полученных результатов. При написании данной работы использовались следующие источники: Интернет ресурсы, тесты ОГЭ, математическая литература.

I. Основная часть

1.1 Историческая справка.          

В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.          Термин "функция" (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.             Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и  т.п.Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.      

 2.Основные определения и свойства функций

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.

 Способы задания функции:

 1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);

2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);

 3) описательный способ (функция задается словесным описанием);

4) графический способ (функция задается с помощью графика). Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.  

2.1 Основные проверяемые требования к математической подготовке при выполнении задания 23.

Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы,  строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели

Основным условием получения положительной оценки за решение этого задания является верное построение графика. А верное построение графика включает в себя следующее: правильно подобранный и отображенный на рисунке масштаб, содержательную таблицу значений или объяснение построения, выколотую точку (точки), обозначенную в соответствии с ее координатами.

2.2. Виды заданий №23

1. Требуется построить  график и затем найти значение параметра.

2. Требуется найти значение параметра и затем построить график.

3. Построить график дробно-рациональной функции.

4. Построить график кусочно-заданной функции.

5. Построить график функции, содержащей модуль.  

3. Задания с параметром.

Некоторые типы заданий  с параметрами .

• 1.Решить уравнение, неравенство или систему с параметром;                                                   2.Определить количество корней уравнения при различных значениях параметра;
• 3.Найти все  значения параметра, при которых уравнение

     ( неравенство, система) имеет единственное решение, ровно два решения, не имеет решений, выполняется при всех х и т.д.;

• 4. Найти все значения параметра, при которых данные уравнения или неравенства равносильны, одно является следствием другого, имеют хотя бы один общий корень и т.д.
• 5. Найти все значения параметра, при которых корни квадратного уравнения удовлетворяют поставленным условиям ( один корень меньше данного числа а, оба корня больше а и т. д .)

Что значит решить   уравнение с параметром?

• Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром  - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства, системы)  или доказать, что их нет.

Задача №1.  Решить уравнение:

Решение:

При а=-3 уравнение не имеет решений

При а=4 уравнение не имеет решений

При а≠-3, а≠4уравнение имеет корень равный х=а.

Ответ: нет решений при а=-3 и а=4

х=а, при а≠-3, а≠4.

Задача №2. При каких значениях а следующее уравнение имеет хотя бы одно решение: |x-1|+|2x-3|=a

Решение:

Построим график функции .

Раскрывая модули, получаем

Задача  №3. При каких значениях параметра k уравнение ⎜x2-6⎜x⎜+8⎪=k имеет 4 корня?

Решение:

Построим график функции y=⎜x2-6⎜x⎜+8⎪.

Правая часть данного уравнения может быть только неотрицательной, т.е. k≥0

Ответ: если k=0, то уравнение (1) имеет 4 корня (-4;-2;2;4);

                 если 1, то уравнение (1) имеет 4 корня.

3.3 Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция — это функция вида , где f(x) и g(x) — некоторые функции.
•График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
•Функция имеет две асимптоты — вертикальную и горизонтальную.

Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
•x=a уравнение вертикальной асимптоты
•y=b уравнение горизонтальной асимптоты
•y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

•Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
•Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
•Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.

№1 Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная

№2 Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x - нечетная

Пример 1. Построим график функции.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.
y=2 горизонтальная асимптота
x=1 вертикальная асимптота, т.к. D(y)=(-∞;0)∪(0;∞)
Точки пересечения графика с осями координат: при x=0 , точка (0;3)
при y=0 , точка (1,5;0)
Получаем график:

Пример 2. Построить график функции .
Чтобы раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая:
1)x>0, тогда модуль раскроется со знаком "+" =
2)x<0, модуль раскроется со знаком "-" = 

Построим график для первого случая.

Отбросим часть графика, где x<0.

Построим график для второго случая и аналогично отбросим часть, где x>0, в итоге получим.

Соединим два графика и получим окончательный.

Пример 3. Построить график функции .
Построим сначала график функции .Для этого удобно выделить целую часть, получим . Строя по таблице значений, получаем график.

Применим операцию модуль (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX). Получаем окончательный график

 3.5 Построение кусочно-заданных функций

Понятие о кусочных функциях.

На различных участках  числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например: y=f(x), где

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

  Такие функции назовём кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовём составляющими область определения, а их объединение,  является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называется  входящими функциями.

    Наличие таких свойств как чётность, нечётность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учётом особенностей  составляющих области определения и входящих функций.

       Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

             Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики входящих функций,
2. Провести прямые x=a, x=a, x=a, где a-граничные точки,
3. На каждой составляющей области определения (a, a), где i=1…n выбрать тот график, который соответствует входящей функции  на этой составляющей.
4. Выяснить значение функции в граничных точках.

Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть её кусочно-линейной функцией.

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

Построение:

1. у=х2
2.  -3х-2
3. Выделить часть графика 1.
4. У=2х+8
5. -20
6. Выделить часть графика 2.

№1 Постройте график функции у=f(x), где

              х2-1, если х0                                                    

f(x)=     (x-1)2 ,если х>0

 При каких значениях х выполняется неравенство у0            

1)Первым графиком является парабола. Построим её часть (х0) путем сдвига вниз на 1 графика у= х2.

Вторым графиком является тоже парабола. Построим её часть (х>0)путем сдвига вдоль оси  ох вправо на 1 графика у= х2.

Ответ: при у>0, x<-1,01

№2 Постройте график функции y=f(x), где  

                 2-2x2, если 2

   f(x)=       x-1, если x>1

                -x-1, если x<-1

Укажите промежутки возрастания  функции.

Первым графиком функции является парабола, ветви направлены вниз. Построим график функции на отрезке [-2;2]

Второй график у= х-1 –прямая.

Третий график тоже прямая у=-х-1

Ответ: Функция возрастает на промежутках[-1;0] и [1;)  

3.7. Задания для самостоятельной работы:

1)Постройте график функции y=f(x), где

                                  x-1, если х < -2

                       f(x)= -1/2x+3, если x ≥ -2.

Укажите промежуток, на котором функция убывает.

2)Постройте график функции у=f(x), где

                                          1/4х2-1, если -2≤ х ≤ 2

                           f(x)=      2-х, если х > 2

                                            х+2, если х < -2.

Укажите промежутки возрастания функции.

3)Постройте график функции у=f(x), где

        -х2, если -2≤ х ≤ 2        

                             f(x)=       3х-10, если х > 2

-3x-10, если х < -2.

При каких значениях х значения функции у= f(x) неотрицательны?

4)Постройте  график функции у= f(x),где

(х+1)2, если х < 0

                                f(x)=           1-х2, если х ≥0.

При каких значениях х выполняется неравенство у > 0?

5)Постройте график функции  у= f(x),где

х2-4х-1, если х ≥ 4

                               f(x)=           -х2+4х-1, если х < 4

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки?

6)Постройте график функции у= f(x),где

   4/х, если х ≤ -2

                                  f(x)=           х, если -2 < х ≤ 1

              х2-4х+4, если х > 1.

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

3.8 Построение графиков функций с модулем

Построение графиков, содержащих модуль, осуществляется двумя способами:

1. На основании определения модуля

Построение графика функции

Приведем пример построения графика функции

Построение графика функции

Приведем пример построения графика функции

2. На основании правил геометрического преобразования графиков функций.

Какие геометрические преобразования, можно использовать при построении графиков функций? (параллельный перенос вдоль осей ОХ и ОУ, симметричное отображение относительно осей или точки)

Построение графика  .

 Чтобы построить график функции, если известен график функции, нужно оставить на месте ту его часть, где , и симметрично отобразить относительно оси Х другую его часть, где .

Алгоритм построения графика:

1. Построить график функции ,

2. Часть графика  , лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

        Построение графика.        

 Чтобы построить график функции, если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где , а при  отобразить построенную часть симметрично относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика:

Построить график функции,

При  график сохраняется, а при  отображается построенная часть симметрично относительно оси ОУ.

• Приведем пример построения графика функции 

В “основе” его лежит график функции, он выглядит так :

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

• Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:

При х>2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию ,

а в другой (левее) – график функции

• Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) - график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая - вправо, левая - влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше - видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) - второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единице по оси у:

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2:

4.Некоторые полезные советы учащимся для успешной подготовки к  ОГЭ по математике

1. Не секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто в полном объеме владеет материалом, хорошо знаком с процедурой проведения экзамена, психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.
2. Хорошо знать  документы, регламентирующие  проведение экзамена по математике:

•  «Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике»
• «Кодификатор элементов содержания для проведения  основного государственного экзамена по математике»;
• «Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
• «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
• Литературу для подготовки  к  ОГЭ.
• Список сайтов, содержащих демоверсии и позволяющие онлайн-тестироваться.

3. На основании школьного плана подготовки к экзамену, составить личный план, включив в него  консультации, которые проводит учитель, расписание «пробных»  ОГЭ.
4. Тщательно анализировать  пробные ОГЭ. По итогам пробных ОГЭ   корректировать  самостоятельную подготовку  к экзамену.
5. Собирать свой портфолио-папку со всеми выполненными пробниками.  Вести мониторинг выполнения всех заданий пробных экзаменов.
6. Серьезное внимание  уделять устному счету, который проводит учитель на уроках. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность, требуют осознанного усвоения учебного материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Устные упражнения  позволяют корректировать знания, умения и навыки учащихся, а также автоматизировать навыки простейших вычислений и преобразований.
7. Научиться «читать» условие задачи до начала решения и после ее решения для того, чтобы верно ответить на поставленный вопрос (что нужно было найти?).

II.Заключение.

Математика – это набор инструментов, который необходим в познании окружающего мира. И этим инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать, развивать и изменять нашу жизнь.

Все изученные в школе функции относятся к классу элементарных функций, и строить графики этих функций интересно и просто. А график является портретом функции, поэтому выполнять задания следует после того, как изучен весь теоретический материал по теме.

«Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».  А.Н. Колмогоров. Данные задачи представляют большой интерес для учащихся девятых классов, так как они очень часто встречаются в тестах ОГЭ. Умение строить данные графики функций позволит более успешно сдать экзамен. французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки «Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».  А.Н. Колмогоров. Данные задачи представляют большой интерес для учащихся девятых классов, так как они очень часто встречаются в тестах ОГЭ. Умение строить данные графики функций позволит более успешно сдать экзамен. французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

В своей работе я обобщила знания о функции, о их графиках  и свойствах. Изучила и систематизировала прототипы заданий ОГЭ, привела алгоритмы их решения. В  процессе этой работы наглядно видно, что задания по теме «Функции», представленные в разных вариантах, имеют не одинаковый уровень сложности.

В 9 ом классе в учебной программе имеется курс по выбору по математике. Я несколько лет работаю по теме «Функции и графики». Результат моей работы положительный. Выпускники школы сдают экзамены на хорошие оценки. Это подтверждает и протоколы экзаменов.

III. Используемая литература

1. 3000 задач с ответами  по математике. Задачник.ч.1._Ященко_2017 - 480с
2. Учебное пособие "ОГЭ 2017. Математика. 9 класс. Основной государственный экзамен. Тематические тестовые задания: Три модуля: алгебра, геометрия, реальная математика" Минаевой С.С. 
3. ОГЭ-2017. Математика. Новый  сборник  заданий. Лаппо, Попов, 2017 -160 с
4. https://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-dlya-podgotovki-k-oge-po-teme-funkcii-i-grafiki-funkciy-1142155.html
5. http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/04/07/funktsii-i-grafiki-na-oge-po-matematike
6. http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=3a79f6089541e311b960001fc68344c9&proj_guid=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B
7. https://math-oge.sdamgia.ru/test?id=6473675&nt=True&pub=False
8. http://spadilo.ru/oge-po-matematike/
9. https://www.youtube.com/watch?v=p9hegRGXD-4
10. http://www.uchportal.ru/video/vic/ogeh_gia_po_matematike/zadacha_5