Системы уравнений. Элективный курс.
методическая разработка по алгебре на тему

Системы уравнений.

Элективный  курс, объем 8 часов.

Учитель: Посохина Галина Люциевна.,

                                                               Высшая категория,

МБОУ «СОШ с. Тоора-Хем»

ЦЕЛИ  данного  курса:

• закрепить навыки учащихся в решении систем уравнений, полученные ими на уроках алгебры;
• познакомить учащихся с новыми методами решения систем уравнений;
• активизировать познавательную деятельность учащихся;
• развивать творческие способности учащихся.

Теоретический  материал.

         Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными ƒ(х,у)=0 и g(х,у)=0 . Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя неизвестными, то говорят, что надо решить систему уравнений    

                                           ƒ(х,у)=0,

                                           g(х,у)=0.

         Каждая пара значений неизвестных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. В более общем случае решить систему уравнений – значит найти общие решения двух или более уравнений.

         Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

         Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если эти системы имеют одни и те же решения. Но если обе системы не имеют решений, то они также считаются эквивалентными.

         При решении систем уравнений одну из них обычно заменяют другой, более простой, но равносильной первоначальной. При этом нужно следить за тем, чтобы преобразования не привели к потере или появлению лишних корней. В случае появления последних, завершающим этапом должна быть проверка полученных решений.

         Основные равносильные преобразования систем уравнений.

1. Если любое из уравнений системы заменить на это же уравнение, умноженное на произвольное, не равное нулю число, то полученная система будет равносильна первоначальной.
2. Если к любому уравнению системы прибавить любое другое уравнение, умноженное на какое угодно число, то полученная система уравнений будет равносильна первоначальной.
3. Любое уравнение системы можно заменить результатом умножения соответствующих частей этого уравнения на любое другое.

Основные методы решения систем алгебраических уравнений.

1. Метод подстановки заключается в следующем:

а) одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором  у выражено через х (или  х через у);

б) полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение, в результате получают уравнение с одной переменной;

в) находят корни этого уравнения;

г) воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующее значение у (или х).

2. Метод сложения основан на 1 и 2 правилах основных равносильных преобразованиях систем уравнений.

3. Графический метод  решения систем уравнений заключается в следующем:

а) надо построить график каждого уравнения системы;

б) найти (точно или приближенно) координаты точек их пересечения, это и будут решения системы уравнений (точные или приближенные).

Сколько точек пересечения у графиков , столько и решений у системы.

4. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

а) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

б) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

5. Симметрические системы.

Выражение ƒ(х;у) называется симметрическим, если оно при замене переменных х на у, а у на х не изменяется.

      Система, все уравнения которой симметрические, называется симметрической.

      Она решается методом замены переменных, путем выбора в качестве новых переменных основных симметрических многочленов. В случае двух переменных основными симметрическими многочленами считаются х+у и х⋅у. Обозначим  u=х+у  и  v=х⋅у. Тогда все остальные симметрические многочлены выражаются через основные.

6. Методы умножения и деления основаны на утверждении:

         если обе части уравнения  ƒ2(х;у)=g2(х;у)  ни при каких значениях (х;у) одновременно не обращаются в нуль, то системы:

ƒ1(х;у)=g1(x;y)                 ƒ1(x;y)=g1(x;y)                                

ƒ2(x;y)=g2(x;y)                 ƒ1(x;y)⋅ƒ2(x;y)=g1(x;y)⋅g2(x;y)    

    ƒ1(x;y)=g1(x;y)

    ƒ1(x;y)    g1(x;y)   - равносильны.

    ƒ2(x;y)    g2(x;y)

Пример 1.

х + у = 5,

х⋅у = 6.

Решаем систему методом подстановки.

х = 5 – у,

(5 – у)⋅у = 6.

у2 – 5у + 6 = 0

D=  25 – 24 = 1

у1 = (5 – 1)/2 =2         у2 = (5 + 1)/2 = 3

х1 = 5 – 2 = 3              х2 = 5 – 3 = 2

     Ответ: (3;2), (2;3).

Пример 2.

х + у = 6,

х – у = 2.

Решаем систему методом сложения.

Складывая уравнения системы, получаем:

          2х = 8

          х = 4

      у = 6 – х =6 – 4 = 2

Ответ: (4;2).

        Пример 3.

         2х + 3у = 7,

         3х – у = 16.

 Умножим обе части второго уравнения на 3. Получим систему:

         2х + 3у = 7,

         9х – 3у = 48.

 Сложив почленно эти уравнения, находим:

            11х = 55

             х = 5

     Подставив это значение в первое уравнение, получаем  у = − 1.

          Ответ: (5; -1).

        Пример 4.

     у = ⎪х – 2 ⎪ − 2 ,

     (х – 2)2 + у2 = 4.

у = ⎪х – 2 ⎪− 2 – график функции получается из графика функции у = ⎪х⎪ сдвигом на 2 единицы вдоль оси Ох и на  -2 единицы вдоль оси Оу.

у = (х – 2)2 + у2 = 4 – графиком уравнения является окружность с центром в точке (2;0) и радиусом 2 единицы.

                                                                  у

                                                                  2

                                                                  1        

                            1      2      3     4     х

                                                                 -1                        

                                                                 -2        

 Точки пересечения (0;0), (2; -2) и (4;0) являются решениями исходной системы уравнений.

         Ответ: (0;0), (2; -2), (4;0).

         Пример 5.

       х2  - у2 = 200,

       х + у = 20.

Разложим первое уравнение системы на множители.

       (х – у)⋅(х + у) = 200,         ( х – у )⋅20 = 200,              х – у = 10,
       х + у = 20;                          х + у = 20;                        х + у = 20.

Решаем полученную систему методом алгебраического сложения.

               2х = 30

                х = 15

                у = 20 – х = 20 – 15 = 5

      Ответ:  (15; 5).

         Пример 6.

        х2  + у2 = 13,

        х⋅у = 6.

Запишем систему в виде:

        х2 + у2 = 13,

        2ху = 12.

Складывая почленно уравнения системы, получим:

          х2 + 2ху +у2 = 25

          (х + у)2 = 25

     х + у = 5,                 х = 5 – у,                             х = 5 – у,

     х⋅у = 6;                    (5 – у)⋅у = 6;                        у2 – 5у + 6 = 0;

     х + у = -5,                х = -5 – у,                            х = -у – 5,

     х⋅у = 6;                    6 + (5 + у)⋅у = 0;                 у2 + 5у + 6 = 0;

         х = 5 – у,

         у1 = 2,

         у2 = 3;

         х = -5 – у,

         у1 = -2,

         у2 = -3.

Ответ: (3; 2), (2; 3), ( -3; -2), ( -2; -3).

Пример 7.

   х/у + у/х = 13/6,

    х + у = 5.

Положим  х/у = а, тогда  у/х = 1/а и первое уравнение примет вид

      а + 1/а = 13/6

      6а2 – 13а + 6 = 0

      D = 169 – 4⋅36 = 169 – 144 = 25

       а1 = 2/3             а2 = 3/2

     х/у = 2/3,                        или                    х/у = 3/2,

     х + у = 5;                                                  х + у = 5;

     у = 3х/2,                                                    у = 2х/3,

     х + у = 5;                                                   х + у = 5;

     х = 2,                                                          х = 3,

     у = 3.                                                          у = 2.

                Ответ: (2; 3), (3; 2 ).

         Пример 8.

        х + ху + у = -1,

        х -  ху + у = 3.

 Это симметрическая система. Данную систему можно решить методом введения новой переменной.

        х + у = а,               а + в = -1,

        х ⋅у = в;                 а – в = 3;

    Решая полученную систему методом алгебраического сложения, получаем:

                     а = 1,       в = -2.

        х + у = 1,

        х⋅у = -2;         и получаем     х = -1,

                                                       у = 2;

                                                       х = 2,

                                                       у = -1.

             Ответ: (-1; 2), (2; -1).

         Пример 9.

х4/х2 + ху = 72,

у4/х2 + ху = 9.

Данную систему можно решить методом деления уравнений.

   ОДЗ:     х ≠0, у ≠0.

Преобразуем левые части уравнений:

   (х4 + ху3)/у2 = 72,                  х⋅(х3 + у3)/у2 = 72,

   (у4 + х3у)/х2 = 9;                    у⋅(у3 + х3)/х2 = 9.

 Разделим почленно полученные уравнения и получим:

             х3 / у3 = 8

             х/у = 2

             х = 2у

     х = 2у,                                  х = 2у,                  х = 2у,             х = 2у,

     16у4/у2 + 2у2 = 72;               18у2 = 72;             у2 = 4;             у = 2,

                                                                                                        у = -2.

           Ответ: (-4; -2), (4; 2).

ЗАДАНИЯ  для  практических  занятий.

1. х + у = 4,                                    5.     х +у = 7,

х – у = 2.                                             ху = 12.

2. 3х + 5у = 21,                               6.    х – у = 4,

2х – у =1.                                            ху = 5.

3. 2х +5у = 15,                                7.     х2 – у = 14,

3х + 8у = -1.                                        3х + у = 4.

4. 2х +5у = 15,                                8.     х + у = 7,

х – 2у = 3.                                            у = 6/х.

9. у2 + х2 = 17,                               21.     3х + 2у = 1,

у – 3х – 1 = 0.                                       –х + 5у = -6.

10. х2  + у2 = 10,                               22.     у2 – ху = -12,

х – у = 2.                                                х2 – ху = 28.

11. х2  + у2 = 13,                               23.     2х + у + z = 7,

ху = 6.                                                    x + 2y + z = 8,

                                                                              x + y + 2z = 9.

12. х2 + у2 = 34,

ху = 15.                            

                                                                   24.     x + y – z = 0,

                                                                              2x – y + 3z = 9,

13. х3 – у3 = 7,                                              -3x + 4y +2z = 11.

х2 + ху + у2 = 7.

                                                                   25.     xy = 12,

14. х2 + у2 = 10,                                           xz = 15,

ху = -3.                                                   yz = 20.

15. х + у = 3,                                     26.    х + у + ху = 11,

ху = -4.                                                    х + у – ху = 1.

16. √х + √у = 8,                                 27.     х2 + у2 = 100,

            х – у = 16.                                             ху = 48.

17. х – у = 1,                                    28.     х2 – у = 14,

х3 – у3 = 19.                                            3х + у = 4.

18. ху + х + у = 5,                           29.     х2 +у2 = 20,

х2у + ху2 = 6.                                         ху = 8.

19. х + ху +у = 11,                            30.     х + у = 8,

х2у +ху2 = 30.                                         х/у +у/х = 50/7.

20. х2 + у2 = 10,                               31.     2(х + у) – ху = 4,

х + ху + у = 7.                                       3ху + х + у = 23.

32. (х + у)/(х – у) + (х – у)/(х + у) = 13/6,

ху = 5.

33. (х + 3)/(у – 3) + (у – 3)/(х + 3) = 17/4;     ху = 4.

34. 2ху – 3х/у = 15,                           41.    х3 + у3 = 65,

ху + х/у = 15.                                         х2у + ху2 = 20.

35. √х/у - √у/х = 3/2,                         42.    х2 – 5ху + 3у2 = 17,

х + у + ху = 9.                                        2х2 – 7ху + 4у2 = 26.

36. х2 + ху = 15,                                43.     ху – х – у = 1,

у2 + ху = 10.                                            х + у = 5.

37. у2 – ху = 3,                           44.     х2 – у = 7,

х2 – ху = -2.                                            х – у = 1.

38. х(у + 1) = 0,                                 45.    х2 + у = 4,

х + 5ху + у = 4.                                      х + у = 2.

39. (х + у)(х – у) = 0,                   46.    х2 + у2 = 34,

2х – у = 1.                                              ху = 15.

40. х2 + у2 = 25,                          47.    ху – √х2 + у2 = 7,

(х – 3)(у – 5) = 0.                                   ху + √х2 + у2 = 17.

         Задания для практических занятий подобраны в большом количестве и разнообразны. Это позволяет осуществлять индивидуальный подход к слушателям курса. Учащимся, быстрее других справившимся с легкими системами, можно предложить более трудные задания.

         В конце курса проводится зачетная работа, задания для которой можно выбрать из данных, им подобных или оставшихся, т.к. систем много и вряд ли все они будут решены во время практических занятий.

          Используемая литература:

1. Система тренировочных задач и упражнений по математике /А. Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991.
2. Готовимся к экзамену по математике. /Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
3. Громов А. И., Савчин В.М. / Математика. Подготовка к письменному экзамену: Учеб. Пособие. – Минск: Интерпрессервис. – Ростов  н/Д: Феникс, 2002.
4. Замыслова А. И. / Репетитор по математике. – Ростов  н/Д: Феникс. Серия «Единый госэкзамен». 2003.