Развитие вычислительных навыков с помощью приёмов быстрого счёта
методическая разработка по алгебре по теме

Развитие вычислительных навыков

с помощью приёмов

быстрого счета

КРОПОТИНА

 ГАЛИНА НИКОЛАЕВНА,

                                                                           учитель  математики МОАУ СОШ № 11

Белогорск – 2014 г.

ВВЕДЕНИЕ

     Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошие знания математики, и без нее нельзя освоить эти предметы. Может показаться, что на уроках музыки, рисования, физкультуры и труда математика не нужна. Но это неверно. И на этих уроках мы встречаемся с разного рода вычислениями и измерениями.

   В обыденной повседневной жизни мы тоже не можем обойтись без математики, а именно без ее вычислительной составляющей. Так как часто встречаемся с разного рода расчетами, измерениями, просто даже не замечая этого.

    В наш век новых технологий и развития компьютерной техники разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Для того чтобы производить вычисления в уме, надо знать некоторые «хитрые» способы быстрого счета. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.

  Необходимо отметить, что в некоторых частных случаях удобнее отойти от стандартных правил, и воспользоваться способом, более удобным для устного применения, причем в письменном виде этот способ будет, скорее всего, неудобен.

  Правилами сложения и вычитания многие люди пользуются автоматически, т.к. эти правила находятся в подсознании: или мы где-то узнали об этих правилах и заучили наизусть, или сами додумались до них, причем, в последнем случае, как показывает практика, результаты лучше, чем при заучивании. Оттого, что знание “идет от себя самого” и мы не задумываемся над его происхождением. Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес.

.1СПОСОБЫ БЫСТРОГО СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

1.1 Поразрядное сложение двузначных чисел

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.).

76 + 38 + 47 + 86 + 45 = (70 + 30 + 40 + 80 + 40) +(6 + 8 + 7 + 6 + 5) = 260 + 32= 292.

1.2 Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого.

56 + 47 = (56 + 40) + 7 = 96 + 7 = 103;

8375 + 473 = ((8375 + 400) + 70) + 3 = (8775 + 70) + 3 = 8845 + 3 = 8848.

1.3 Сложение путем округления

Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением.

3916+991+1998+2002=(4000+1000+2000+2000)–(84+9+2)+2=9000–95+2=8907.

1.4 Сложение с использованием свойств действий с числами

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа

12 + 63 + 28 = (12 + 28) + 63 = 40 + 63 = 103;

3013 + 74 + 2187 + 126 = (3013 + 2187) + (74 + 126) =5200 + 200 = 5400.

Прибавляют к какому-нибудь числу сумму чисел; можно прибавлять к данному числу каждое слагаемое отдельно

863 + (346 + 137) = 863 + 346 + 137 = 863 +137+ 346 = 1000 + 346 = 1346.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом

549 + 94 = 549 + (100 – 6) = 549 + 100 – 6 = 643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением

298 + 397 = 300 – 2 + 400 – 3 = 700 – 5 = 695;

504 + 497 = 500 + 4 + 500 – 3 = 1001.

1.5 Сложение десятичных  дробей путем поразрядного сложения, начиная с высших разрядов 

Отдельно сложить целые части, десятичные доли, а затем сложить полученные результаты.

8,4 + 6,51 = ((8,4 + 6) + 0,5) + 0,01 = (14,4 + 0,5) + 0,01 = 14,9 + 0,01 = 14,91.

2. СПОСОБЫ БЫСТРОГО ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ

2.1 Поразрядное вычитание

574 - 243 = (500 - 200) + (70 - 40) + (4 - 3) = 300 + 30 + 1= 331.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого.

647 – 256 = (500 - 200) + ( 140 - 50 ) + ( 7 - 6) = 300 + 90 + 1 = 391.

2.2 Вычитание с использованием свойств действий с числами

1358 – (158  + 78) = (1358 – 158) – 78 = 1112;

(973 +747) - 873 = (973 - 873) + 747 = 100 + 747 = 847;

5861 + (1414 – 884) = (5861 + 1414) - 884 = 7275 - 884 = 6391;

1093 - (1494 - 907) = (1093 + 907) = 2000 - 1494 = 506.

2.3 Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

67 - 48 = (67+1) - 48 = (68 - 48) - 1 = 20 - 1 = 19;

453 - 316 = 453 – (313 + 3) = (453 - 313) - 3 = 140 - 3 = 137.

2.4 Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым  числом и дополнением

713 - 65 = (700 + 13) - 65 = (700 - 65) + 13 = 635 + 13 = 648;  

824 - 396 = 800 – (400 - 4) = (824 - 400) + 4 = 424 + 4 = 428;

395 – 98 = (400 – 5) – (100 – 2) = 400 – 100 – 5 + 2 = 297.

3. СПОСОБЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

3.1 Умножение на 4, 8,16 и т.д.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.

213  8 = (213 2) 4= (4262)  2 = 852 2= 1704.

3.2  Умножение на 5; 50; 0,5; 25;  2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2 .

138 5 = (138 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2 .

87 50 =(87100) : 2 = 4350.

Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2 .

3600,5 = 360 : 2 = 180.

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.

34825 = 34800 : 4 = 8700.

Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4.

962,5 = 960 : 4 = 240.

Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4.

1960,25 = 196 : 4 = 49.

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.

32 125 =  32 : 8 1000 =  4000.

Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8.

24 12,5 =  24 : 8 100 =  300.

Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8.

64 1,25 =  64 : 8 10 =  80.

Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.

16,8 0,125 =  16,8 : 8  =  2,1  (см. Приложение I).

Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток  –  на 5, 25 или 125.

53 5 = 26 10 + 1 5 =  265 (53 : 2 = 26  и  1 в остатке) ;

43 25 = 10 100 + 3 5 =  1075 (43 : 4 = 10 и  3 в остатке) ;

66 125 = 8 1000 + 2 125 =  8250 (66 : 8 = 8  и  2 в остатке) .

3.3 Умножение на 1,5 и на 15.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.

1) 24 1,5 = 24 + 12 = 36;                2)129 15 = 1290 + 645 = 1935.

3.4 Умножение на 11.

1 способ.

Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.

24111 = 2410 + 241 = 2651,

2 способ.

Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

34 11 = 374, т.к. 3 + 4 =7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68 11 = 748, т.к. 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

3.5 Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.

1) 57 101 = 5757.           2) 89 10101 = 898989.

3.6 Умножение на 9, 99 и 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель (cм. Приложение I).

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574;                2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.

3.7 Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности

8 318 = 8 (300 + 0+8)= 2400 + 80 + 64 =2544;  

2) 7 196 = 7 (200 - 4) = 1400 – 28 = 1372.

4. СПОСОБЫ БЫСТРОГО ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ

4.1 Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление.

1)720 : 45 = (720 : 9) : 5 =  80 : 5 = 16   или  2) 9324 : 36 = ( 9324 : 3 ) : 12 = 3108 : 12 =  259.

4.2 Деление на 0,5; 5; 50 и 500

Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить  на 1; 10; 100  или 1000 соответственно, и затем результат умножить на  2. 

1) 21600 : 50 = 21600 : 100  2 = 432.     2) 42400 : 5 = 42400 : 10  2 = 8480.  

3) 214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428.   4) 218 : 0,5 = 1218 2= 436.

4.3 Деление на 25; 2,5; 0,25 

Чтобы число разделить на  25, надо это число разделить на 100 и умножить на  4 . Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на  10 и умножить на  4.  Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на  4. 

1) 12100 : 25 =  12100 : 100  4 = 484 .           2) 31 : 0,25 = 31   4 = 124 .   

3) 240 : 2,5 = 240 : 10  4= 24  4 = 96.  

4.4 Деление на 125; 12,5; 1,25; 0,125

 Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно (см. Приложение I).    

1) 4000 : 12,5 = 4000 : 100 8 = 320.    2) 9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.

3) 18 : 1,25 = 144 : 108 = 14,4.        4) 11 : 0,125 = 118 = 88.

5. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЛА, ОКАНЧИАЮЩЕГОСЯ ЦИФРОЙ  5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к его полученному числу приписывают 25 (6 7 = 42. Ответ: 4225).

952 = 9025;   1252 = 15625.

           9*10                           12*13  

Можно предложить  учащимся  самостоятельно разрабатывать схемы быстрого умножения и деления на 0,5; 5; 50;25; 2,5; 0,25; 125;  

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Культура счета аналогична культуре речи. В разговоре стараются употреблять слова, точно выражающие мысль, говорить ясно и кратко, избегать лишних слов, следовать правилам русской грамматики. Вычисления также должны выполняться рационально, аккуратно и без ошибок. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности.

Счет является простым и легким делом только тогда, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений.

Литература

Гольштейн Д.Н. Техника быстрых вычислений. - М., Учпедгиз, 1948.

Перельман Я.И. Быстрый счет. - Л., Союзпечать, 1945.

Сорокин А.С. Техника счета. - М., Знание, 1976.

Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1993.

Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку.– Москва «Просвещение», 1996.