Самостоятельная работа на уроках математики.
статья по алгебре на тему

Содержание

1. Вступление.

2. Различные методы организации самостоятельной

деятельности учащихся.

1. Наблюдение – изучение.
2. Опыт эксперимент.
3. Сравнение.
4. Обобщение абстрагирование.
5. Работа с книгой.
6. Проблемное обучение.
7. Математический диктант.
8. Устная контрольная работа.
9. Домашняя работа.
10. Вариативные самостоятельные работы.
11. Анализ самостоятельной работы.

 Каждый учитель в своей работе сталкивается с проблемой обозначенной в теме реферата. Я работаю в гимназии №34, преподаю математику по базисному плану и считаю, что увеличение количества самостоятельной деятельности учащихся над вопросами предмета, во многом определяет качество усвоения  его, а значит и развивает мышление, и готовит к активной самостоятельной жизни.

   На любом этапе развития общества школа стремится  к подготовке всесторонне развитых людей. От работника требуются не только фундаментальные и специальные знания, но и способность трудится творчески, способность к самообразованию и к самообучению. Эта задача может быть решена, только лишь при условии одновременного решения другой  задачи – научить школьников самостоятельно овладевать знаниями.

   Работая более 20 лет в школе учителем математики, я пришла к убеждению, что хорошие знания по предмету может получить тот ученик, самостоятельная творческая работа которого занимает достаточное время на уроках. Она учит ребят самим добывать знания, анализировать их, применять в любых ситуации. Роль учителя в организации этой работы очень значима.

  Приступая к работе над этой темой, я рассчитывала на более узкий круг вопросов, касающийся только письменных работ. Изучив  литературу  на данную тему, я поняла, что успех таких работ закладывается учителем и учеником на всех этапах урока, в различных формах работы учителя с учащимися.

Формирование умений самостоятельной работы

Каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельной работы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельно пополнять свои знания-— это сложный и длительный процесс, требующий специально организованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и в любой другой работе, выделяются определенные этапы.

Самостоятельность, проявляемая учащимися в учебной деятельности, имеет разный характер и разные уровни. Различают преобразующий и воспроизводящий характер самостоятельности. Так, преобразующий характер самостоятельности проявляется в творческой инициативе, творческом подходе к решению проблем, самостоятельности в познавательной деятельности. Но существует и другой уровень: умение учащегося самостоятельно, без помощи учителя решить типовую задачу, способ решения которой разбирался в классе и служил специальным объектом изучения. Понятно, что два этих уровня далеки друг от друга и не каждый ученик в процессе обучения может достигнуть творческого уровня развития. Однако оба эти уровня имеют общую основу: ни тот, ни другой невозможен без овладения учеником определенной совокупностью умений и навыков. Никакая творческая самостоятельность, никакая инициатива учащихся не может увенчаться успехом, если у ученика отсутствует база элементарных знаний и умений. «Наше владение каким-либо предметом складывается из накопленных знаний и приобретенных навыков»,— говорит (и неоднократно подчеркивает эту мысль) известный педагог-математик Д. Пойа.

Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально. Ведь даже если рассматривать низшую, по определению Л. С. Выготского, ступень самостоятельности, а именно этап совместного действия ученика и учителя, когда деятельность ученика протекает в непосредственном сотрудничестве с учителем, то необходимо признать, что для осознанного восприятия материала ученик уже должен уметь выполнять определенные действия самостоятельно.

Наблюдение - изучение.

   Чтобы создать условия, обеспечивающие вдумчивую, осмысленную работу учеников, нужно поставить их положение первооткрывателей математических истин. Методы математического  исследования  использую как методы учебной работы учащихся.

   Наблюдение-изучение, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, ив естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

  Приведу пример. Процесс формирования понятия смежные углы. Ознакомление с понятием, выделение существенных свойств (одна сторона общая, две другие дополнительные лучи), с помощью упражнений научить  выделять свойства смежных углов и их распознавать, далее  уже выполняются упражнения:  на усвоение определения понятия, формирование  умения выделять смежные углы на сложных рисунках и использование определения для установления различных зависимостей, на выявление связей с ранее изученными понятиями. Задания ,предлагаемые на этапе наблюдения  математического объекта смежные углы:

1.Какие из углов обладают общими свойствами?

2.Какие из углов  являются смежными?

3.Углы АОВ и АОD смежные? Что из этого следует?

4.Известно, что у двух углов общая сторона. Будут ли они смежными? Если нет, то измените условие так, чтобы из него вытекало, что данные углы смежные.

5.Верно ли, что сумма смежных углов равна 180º ?

6.Сумма углов равна 180º . Можно ли утверждать, что эти углы смежные?

7.Всегда ли два угла, составляющие развернутый угол, можно назвать смежными?

Опыт (эксперимент)

Опыт (эксперимент)- метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.

Соединим изучаемые углы с другими углами, понятиями и перейдем к другому методу.

8.Нарисуйте смежные углы.

9.Какие из углов изображенных на рисунке , являются смежными?

В данном задании предполагается переосмысление элементов чертежа с точки зрения других понятий. Стороны треугольника ОС и ОА мыслятся как дополнительные лучи, сторона треугольника становится стороной угла.

   Планируя наблюдение, как самостоятельную работу на уроке, учитель должен предварительно расчленить его на взаимосвязанные части, а так же предусмотреть эффективные способы самоконтроля для выяснения результатов выполнения учащимися этих частей и получения обратной информации.

Сравнение.

   Сравнение - мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Принципы сравнения:

1.Сравнивать можно объекты имеющие определенную связь друг с другом. Например, мы можем говорить о сравнении свойств двух функции.

2.Сравнение должно проходить по плану, т.е. нужно четко выделить те свойства по которым нужно проводить сравнение.

3.Сравнение должно быть полным, доведенным до конца.

Например. 1.Сравнить свойства функций у=x2 и y=x3 по плану: область определения; множество значений функции; промежутки возрастания и убывания; промежутки знакопостоянства; прохождение графика через начало координат. 2.Найти их общие свойства.

   Самостоятельная работа такого характера стимулирует у учащихся внимание, поскольку при ее выполнении школьники сосредоточиваются на сравнении свойств объектов и отвлекаются от других раздражителей. Чем занимательнее основной вопрос задания, тем более концентрируется внимание.

   Сравнительный анализ сильнее, чем наблюдение стимулирует чувственное познание и ведет школьников к отвлеченному понятийному мышлению. Быстрее и результативнее  развивается наблюдательность. Учащийся знакомиться с исследовательским подходом к изучаемым объектам.

Анализ и синтез.

   Методы научного исследования - анализ и синтез в математических исследованиях, в обучении математики играют большую роль. Они выступают в самых разнообразных формах: методы решения задач, доказательства теорем, изучения свойств математических понятий и т.д.

В первоначальном понимании анализ рассматривается как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому. Анализ и синтез неотделимы друг от друга. Так, например, при помощи анализа сложная задача разбивается на ряд простых, а затем посредством синтеза происходит соединение решений этих простых задач единое целое.

   Примером применения анализа и синтеза может служить арифметический и алгебраический методы решения текстовой задачи; первый из них иллюстрирует синтез, а второй – анализ ( Маше и Тане вместе 12 лет. Тане- 5 лет. Сколько лет Маше? 1)12-5=7;2)х+5=12х=12-5х=7).

   Исходя из своего опыта работы, в моменты решения задач учащиеся больше догадываются что следует из данных задачи, чем как все это связать с ответом на вопрос. Т.е. у них лучше развита аналитическая сторона мышления. Следовательно, на уроках необходимо создавать условия  обеспечивающие развитие синтетического мышления. Синтез – это путь к обоснованию. Я использую методику Шаталова. Например, решая задачу (например, текстовую или геометрическую) со школьниками, сначала разбираем решение вместе устно, затем предлагаю самостоятельно записать ход его решения, дать обоснования своим действиям. Если в классе много слабых детей или задача сложная, тогда ее решение можно не только разобрать устно, но и оформить решение на доске. Учащиеся в это время не пишут, но знают, что после того как  решение будет стерто, задача должна быть решена в тетради. Продолжая это направление формирования математического мышления, имеет смысл предоставить возможность решить аналогичную задачу, но уже самостоятельно.

   Есть еще один прием. Я чаще его использую на уроках геометрии в старших классах. После решения задачи со сложным рисунком в несколько шагов, я предлагаю учащимся выйти к доске и по рисунку повторить все этапы решения и повторить теоретические обоснования построения чертежа.

Конечно, это легче, чем самому решить задачу. Но это требует от учащегося сосредоточенной работы на уроке, развивает произвольное внимание, способствует формированию учащихся обобщенных видов познавательной деятельности и успешно самостоятельно синтезировать и анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.

Обобщение и абстрагирование.

   Обобщение и абстрагирование. При обобщении пройденного материала мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино. Так, например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения  множества натуральных чисел к множеству дробных положительных чисел.

К обобщению может привести замена некоторой постоянной объекта переменной (треугольникмногоугольник).

Абсрагирование- это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств. Простое равенство 5.3=15 способно ярко проиллюстрировать природу абстракции. Задав вопрос в классе, что может означать это равенство, учитель может получить  от учащихся разные ответы: стоимость трех карандашей, путь, пройденный пешеходом за три часа, площадь прямоугольника и т. д. Важно обращать внимание школьников на этот факт.

  Знакомство учащихся с обобщением и абстрагированием в процессе обучения математики готовят их к выполнению исследовательских заданий. Т.е к. самостоятельным работам более сложного уровня. Примеры. 1. Для какого вида чисел справедливо равенство а+b=b+a. 2. Как применить формулу (a+b)2 для вычислений? 3. Найдите  все значения  а, при которых уравнение вида ах2+3х+2=0, где а≠0 : 1) имеет два различных корня; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень .4. Покажите графически, при каких значениях а уравнение х2=а имеет 1) два решении ; 2) одно решение; 3) не имеет решений.

   Следует отметить, что обобщение, абстрагирование, анализ, синтез, сравнение, наблюдение, опыт в процессе научного исследования (а так же преподавания и обучения) сливаются воедино, взаимодействуя друг с другом и взаимопроникая друг в друга в процессе мышления.

                          Работа с учебником.

Работа с учебной книгой является одним из важнейших умений, которым нужно владеть учащимся. И. П. Павлов в своих работах о высшей нервной деятельности писал:»образование временных связей, т.е. ассоциации есть понимание, это и есть знание, это и есть приобретение новых знаний. Когда образуется связь т.е. то, что мы называем «ассоциацией»,это и есть несомненно, знание дела, знание определенных отношений внешнего мира, а когда вы в следующий раз пользуетесь ими, то это называется «пониманием», т.е. пользование знаниями, приобретенными связями – это понимание.»

   Учебник  является необходимым условием  для того, чтобы у учащихся образовывались новые устойчивые временные связи, чтобы учащиеся прочно усвоили, объясненный учителем материал. Учебник создает для ребят возможность возвращаться к данному материалу для того, чтобы лучше его продумать и закрепить этот материал или его части.

   Работа по формированию у учащихся умений и. навыков работы с учебником должна вестись учителем на всех этапах обучения: при сообщении нового материала, при осмысливании  закреплении знаний, при проверке домашнего задания.

   За время обучения в школе учащиеся должны овладеть следующими умениями и навыками в работе с учебником: уметь выделять главное в тексте, устанавливать логическую связь и зависимость между сведениями, изложенными в пункте учебника; делать обобщения и выводы по тексту учебника; сравнивать изучаемые объекты; делать анализ содержания рисунков; самостоятельно изучать отдельную тему; составлять план по тексту учебника; уметь составлять задачи, используя текст учебника, работать с книгой, готовя доклад по предложенной учителем теме.

   Прививая учащимся навыки самостоятельной работы с учебником, учитель должен исходить из того, что всякой самостоятельной работе с учебником должна предшествовать подготовка; учащиеся должны овладеть сначала простыми навыками и умениями работы, а потом сложными; у них должна выработаться устойчивый навык пользования учебником.

   Работа по привитию умений и навыков работы с учебником должна проводиться из урока в урок с различной дидактической целью и на различных этапах урока.

   В процессе разбора нового материала наиболее распространенной является

работа с рисунками. Рисунки составляют неотъемлемую часть учебника. Задача учителя заключается в том, чтобы помочь учащимся правильно пользоваться рисунками, приучить ребят к тому, чтобы при чтении текста учебника не оставляли без внимания ни одного рисунка внимательно рассматривали его и анализировали.

   Опыт показывает, что важным этапом в работе с рисунком учебника является правильная постановка вопросов в процессе рассматривания рисунка, направляющих внимание  учащихся на главное в его содержании. Иногда работа по рассмотрению рисунка проходит так, что я излагаю содержание предлагаемого рисунка, включая его в свой рассказ.

  Например, рассказывая о выводе формулы (а – b)2 на уроке алгебры, предлагаю семиклассникам раскрыть учебник, где на рисунке показан ее геометрический смысл. Обращаю их внимание на то, что фигура разделена на части и линейные размеры ее частей несложно определить из указанных данных. С помощью вопросов и ответов разбираем какие размеры имеет каждая часть и какую площадь. Вспоминаем свойство измерения площадей:  если фигура разбита на части, то ее площадь равна сумме площадей этих частей. Записав сумму, а потом равенство площадей, получаем формулу квадрата разности двучлена.

  Проиллюстрирую на примере отдельных уроков работу над текстом учебника.

  Урок математики (6 класс) по теме «Сложение отрицательных чисел». После изложения учителем основного материала урока учащимся предлагается открыть учебник и приготовиться для составления плана. После чтения и разбора прочитанного, рассмотрения и анализа рисунка с термометрами учитель просит учащихся озаглавить части пункта. Ребята вычленяют основные мысли в тексте: сложение отрицательных чисел можно рассматривать поиск результата понижения данной отрицательной температуры на градуснике, формулировка правила сложения означенных чисел, примеры. Школьники записывают план. На дом учитель предлагает прочитать пункт и подготовить рассказ по плану, составленному в классе.

  Весьма ценным видом самостоятельных работ, развивающих не только память, но и логическое мышление учащихся, является выполнение заданий на сравнение изучаемых объектов. Пример1. Урок алгебры 7 класс по теме «Функция у =х3 ». После изложения основного материала по данной теме учащимся предлагается, рассмотрев рисунок функции у=х3 сравнить с изученной функцией у=х2  и найти общие из основных свойств изложенных в учебнике.

 Пример2. Урок обобщения, геометрия 11класс по теме «Объемы многогранников». Заполнить таблицу с помощью учебника:

Я считаю, что в формировании умения работать с учебной литературой имеет  использование контрольных вопросов учебника. Самостоятельную работу по этим вопросам можно организовать и в течение части урока, и занять всего несколько минут, и подготовить ответы на них дома.

  Школьники должны научиться:

уметь пользоваться оглавлением, предметным указателем, справочным материалом, помещенным в учебнике математики;

уметь найти в учебнике нужный пункт, параграф;

уметь отделить в тексте учебника формулировки определений, правил от объяснений и примеров;

уметь найти в тексте ответы на контрольные вопросы (или вопросы поставленные учителем);

уметь разбить на отдельные смысловые единицы текст (часть пункта), предложенного учителем;

уметь составить простой план прочитанного.

Проблемное обучение.

Для успешного развития личности обучение должно включать проблемные ситуации, в условиях которых учащиеся самостоятельно или с помощью учителя решают возникшую проблему. В дидактике проблемным называют такое обучение, при котором усвоение знаний и формирование интеллектуальных умений происходит в процессе относительно самостоятельного решения учащимися системы задач-проблем под общим руководством учителя. При таком обучении в структуре познавательной деятельности должна лежать важная психологическая закономерность- проблемный характер мышления. Закономерности в развитии мыслительной деятельности образуют психологическую основу познавательного поиска в учении.

   Особенность мыслительного процесса состоит в том, что он направлен на решении какой-либо задачи. Противоречивость, необычность- основа затруднения к поиску. Первым этапом поиска является воспроизведения имеющихся знаний. При этом происходит реконструкция старого опыта, перестройка его под углом зрения решения новых задач. Но задача проблемного характера не может быть решена только на основе  имеющихся знаний. Необходимо искать новые связи, новые представления , которые позволили добиться нового решения.

   Второй этап поиска - накопление фактов, доказательств, установление новых связей  закономерностей, которые позволяют дать исчерпывающие объяснения изучаемому объекту и разрешить возникающее противоречие. Важно чтобы ученик самостоятельно убедился в недостаточности знаний для решения возникшей задачи и загорелся желанием добыть эти недостающие знания.

   Роль учителя заключается в том, чтобы помочь учащимся добиться наилучших результатов в познавательной деятельности. Учащиеся должны получить от учителя точнее указания, где они могут найти дополнительные сведения, что с чем следует сопоставить. Организуя поиск учащимися дополнительных сведений, учитель должен ясно себе представлять, с какими трудностями в усвоении нового материала встретится слабый, средний и сильный ученик, и оказать им дифференцированную помощь в преодолении этих трудностей.

   Наблюдения показывают, что наиболее сильные учащиеся активно включаются в поиск дополнительного материала для решения поставленной задачи, намечают и применяют различные пути подхода к разрешению вопроса. Они иногда могут быть недовольны подсказками учителя, стремятся проявить как можно больше самостоятельности.

   Учащиеся со средней успеваемостью способны включится в познавательный поиск по проблеме в целом. В отличие от сильных учеников они нуждаются в большей помощи со стороны учителя. Главная трудность для них - правильно определить этапы действий по проблеме, последовательно и логии чески стройно  раскрыть содержание важнейшей задачи. В поисковой деятельности ребята могут пропустить отдельные важные звенья в доказательстве, привести простой перечень выводов без указания причин, обусловивших эти выводы или сделать выводы, не вытекающие из данного материала. Помощь учителя должна быть направлена на предупреждение этих ошибок. Главное довести до учащихся, что является основой строгой логической последовательности в рассуждении и доказательстве, что является причиной, а что следствием.

   И наконец, слабые учащиеся, как показывают наблюдения, на первых порах сразу теряются и часто отказываются от самостоятельного поиска, ждут помощи учителя. Для них предоставляет большую трудность охватить мысленным взором ход процесса поиска по проблеме в целом, расчленить проблему и наметить пути раскрытия этих вопросов. На возникший вопрос они формулируют ответ па материале, который имеет очень отдаленное отношение к существу вопроса, и быстро прекращают поиск, полагая, что проблема решена. Естественно, руководство со стороны учителя познавательным поиском слабых учащихся должно быть особо продуманным и находиться все время в поле его зрения. Т.о., для слабых учащихся процесс поиска должен быть программирован с точным указанием хода действий и источников, к которым нужно обращаться. Важно научить таких ребят контролировать ход самостоятельного поиска, сверяя его с конечным результатом.

   Третий этап поиска- система действий по подбору аргументов, выделение ведущей идеи, формулировка обобщений и выводов. Здесь проявляется  и совершенствуется уровень аналитико-синтетической деятельности учащихся, их способность к сосредоточенному вниманию, проявлению  волевых качеств и желание самостоятельно раскрыть и понять неизвестное.

   Завершающей частью является проверка правильности решения проблемы и закрепление материала в памяти учащихся.

Для примера обратимся к одному из уроков темы «Вписанные четырехугольники».

1)Перед учащимися ставится задача: где расположить штаб игры «Зарница», чтобы он находился на равных расстояниях от заданных мест расположения отрядов? (Предполагается соответствующий рисунок, где А, В, С и D обозначены расположения отрядов, а точка О– предполагаемое место расположения штаба.)

2)В процессе обсуждения этой проблемной ситуации устанавливается, что множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки этой плоскости на данном расстоянии, есть окружность, а потому в соответствии с условием задачи точки А, В, С и D принадлежат окружности, положение центра которой (точки О) неизвестно.

3)Из данной проблемной ситуации возникает познавательная ( и вместе с тем мыслительная) задача о возможности проведения окружности через 4 данные точки.

4)Приступив к решению этой задачи, учащиеся (с помощью учителя) устанавливают следующие известные им факты, связанные с данной задачей: а)через одну точку А можно провести любое число окружностей с центрами в любых ( произвольно выбранных) точках; б) через две данные точки А и В можно провести бесконечное множество окружностей с центрами на серединном перпендикуляре  отрезка АВ); в) для трех точек, не лежащих не одной прямой, существует единственная окружность, проходящая через эти точки ( теорема о вписанном треугольнике).

   Решение задачи сводится к отысканию условий, которым должны удовлетворять четыре точки, чтобы через них можно было провести окружность.

   Соединив четыре данные точки отрезками прямых, школьники получают четырехугольник АВСD , который должен быть вписанным в окружность.

   Далее рассматриваем свойства этого четырехугольника. В ходе проводимого исследования обращается внимание на величины внутренних углов четырехугольника. Устанавливается, что величина угла А, как вписанного в окружность, измеряется половиной дуги ВСD;

Величина угла С, как вписанного, измеряется

половиной дуги ВАD. Следовательно, сумма

величин углов А и С измеряется суммой

половин дуг ВСD и ВАD или половиной

суммы этих дуг. Т.е.

  Сумма величин дуг ВСD и ВАD равна угловой величине окружности(т.е.360), следовательно, сумма величин углов А и С равна 180 . Аналогично усматривается, что сумма величин углов В и D равна 180. Выявляется ,углы А и С , В и D являются в четырехугольнике АВСD противоположными.

5) В ходе обсуждения результата решения этой задачи появляется новое свойство вписанного четырехугольника: «Сумма величин противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 ».Учитель отмечает, что данное утверждение является теоремой, доказательство которой уже проведено в результате решения задачи.

6) Возвращаясь к поставленной конкретной задаче, учитель указывает на то, что остался нерешенным вопрос о нахождении центра этой окружности. Учащиеся вспоминают, как находится центр окружности, проходящей через три заданные точки, и исследует вопрос , применим ли тот же способ для нахождения центра окружности, проходящей через четыре заданные точки

(будет ли четвертая точка D принадлежать окружности, центр которой нашли, используя только три точки  А, В, С). Учащимся предлагается исследовать

вопрос о возможных положениях точки  D относительно окружности.

7) Учащимся предлагается установить, имеющие место для частных видов четырехугольников) можно усмотреть из этих теорем. Сформулировать их.

  Предлагается самостоятельно придумать задачу, где применяется изученная теория и объяснить ее решение.

8) В качестве закрепления изученного Учащимся предлагается самостоятельная работа следующего содержания:

1. Какая окружность называется описанной около данного четырехугольника?

2. Можно ли описать окружность около четырехугольника, величины углов которого, взятые  в последовательном порядке, равны: 90°,90°,60°,120°. (ответ обосновать.)

3. Найти неизвестные величины углов вписанного в окружность четырехугольника, если известно, что величины двух его углов равны соответственно 32° и 105°.

Математический диктант.

  На уроках в качестве самостоятельной работы я использую математические диктанты. Например, дополните определение: квадрат- это… или четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны называется… Эта работа может быть предложена с целью проверки усвоения определений. Если перед ее проведением все определения фронтально повторить с учащимися, то кроме вышеизложенной цели, она может проверить внимание слабого учащегося на уроке и помочь ему в устранении пробелов в знаниях.

Устная контрольная работа.

  Исходя из анализа письменных работ по предмету, приходишь к выводу, что вычислительные умения учащихся нужно постоянно тренировать т. к. В связи с появлением легко доступной вычислительной техники многие учащиеся дома стремятся ее использовать и вычислительные навыки постепенно утрачиваются. Я стараюсь на уроках найти время для устного счета устных контрольных работ, которые представляют собой задания изучаемой темы с несложными вычислениями.

Например. Тема  «Решение уравнений» .

1. (у+6)·(у­4)=0;
2. х·(х-3) ·(х+4)=0;
3. (3х+1) ·(0,4х – 1)=0;
4. а2+12а=0
5. (у – 6)2+8(у - 6)=0;
6. У2 - 20у=0;
7. (х+4)2 - 5(х+4)=0;
8. 4х2 - 1=0;
9. (2х -1)(2х+1)=0;

     10)(2х+1)2=0;

11)4х2+4х+1=0;

12)(5- х)2=0;

13)25- 10х+х2=0;

14)=0;

15)=0.

Домашняя  работа.

  Большая часть самостоятельной работы учащегося по предмету приходится на домашнее задание. Проверка домашнего задания письменно у доски, в то время как учитель проводит другую работу с классом, по моему мнению, не всегда целесообразна. Я стараюсь проверять ее устно. Ученик даже может отвечать с места. Он не зачитывает свои записи, а объясняет, КАК он выполнял задание, какими правилами он руководствовался на каждом этапе решения и какие промежуточные результаты получал. Все учащиеся следят за рассуждениями отвечающего и должны быть готовы исправить неправильный ответ или продолжить ответ в случае обнаружения ошибочного решения на промежуточном этапе.

Перед выполнением домашнего задания ученику необходимо самостоятельно выполнить ряд действий:

точно определить, какую работу он должен сделать (что-то запомнить, выполнить письменно, найти ответы на вопросы и пр.);

просмотреть записи в тетради и вспомнить, как и какие задания выполнялись  на уроке;

прочитать теоретический материал (правила, теоремы, формулы);

рассмотреть решенные в тексте примеры, иллюстрации, графики.

  Письменную самостоятельную работу можно предложить учащимся и при проверке домашнего задания. Я считаю, что не всегда эффективно тратить время проверки домашнего задания 3-4 учеников класса. Во время  их ответов часть одноклассников не работает. Я стараюсь в этом случае задание классу для самостоятельной работы, а в это время опрашиваю 3-4 учащихся из числа слабоуспевающих.   Они отвечают спокойнее и смелее.

   Следует помнить, что при всем многообразии видов самостоятельных работ школьников успех обуславливается определенными дидактическими условиями:

1)наличие у учащихся знаний, позволяющих понять цель задания, его содержания и последовательность выполнения;

2)присутствие в содержании задания нового материала, придающего заданию исследовательское направление, вызывающего познавательный интерес учащихся и требующего самостоятельного решения;

3)необходимость фиксации результатов работы в записях, рисунках;

4)работа с учебником должна сочетаться с другими видами самостоятельной работы на уроке;

5)самостоятельная работа должна соответственно оцениваться – это стимул для проявления школьниками старательности при выполнении заданий.

ВАРИАТИВНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Известно, что самостоятельная работа является эффективным средством организации учебно-познавательной деятельности школьников и контроля за ней. В практике обучения математике хорошо зарекомендовали себя самостоятельные работы, для выполнения которых требуется 10—12 минут. В течение этого времени учитель проверяет усвоение изучаемого материала, что помогает вовремя ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся. Чаще предлагают самостоятельные работы (два варианта) лишь к некоторым разделам темы, хотя целесообразно использование самостоятельных работ при изучении всех разделов и даже на каждом уроке. Дело в том, что разные школьники способны усваивать в единицу времени различное количество информации, причем «разброс степеней усвоения» значителен. Это объясняется тем, что усвоение математического материала требует очень интенсивной мыслительной деятельности. В классе обычно существует не более пяти-шести «однородных» групп учащихся. Следовательно, вариантов самостоятельных работ для класса должно быть пять-шесть. Каждой группе учащихся примерно с одним «показателем» усвоения материала предъявляется свой вариант. Но в таком случае возникают трудности с проверкой самостоятельных работ, выражающиеся в том, что для проверки пяти-шести вариантов самостоятельной работы, если они различны, требуется много времени, да и обсуждение результатов выполнения каждого варианта интересно лишь для соответствующей группы школьников, остальные учащиеся класса не могут принять участия в обсуждении, так как они не знакомы с заданиями и не выполняли их.

Поэтому мы считаем, что более эффективны самостоятельные работы с единой основой, которая в зависимости от уровня подготовки учащихся корректируется с помощью наборов указаний к выполнению предложенного упражнения. При подборе упражнений мы исходим из трех уровней усвоения знаний, умений и навыков: первый состоит в осознании восприятия информации и ее запоминаний; второй представляет собой усвоение способов применения знаний по образцу, включая легко опознаваемые вариации этого образца, применение знаний в знакомой ситуации; третий заключается в готовности обучающегося творчески применить усвоенную информацию в новой, незнакомой ему ситуации. Эти уровни усвоения знаний, которых необходимо добиться при изучении того или иного материала на определенном этапе, должны определять подбор упражнений для самостоятельных работ. Приведем примеры.

Признаки равенства треугольников

Вариант I

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Докажите равенство треугольников AOD  и ВОС.

Вариант II

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Докажите равенство отрезков AD и СВ.

Вариант III

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Выделите соответственно равные элементы в треугольниках AOD и ВОС.

Вариант IV

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О, Пусть М и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что OM = ON.

Вариант V

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть М и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что OM = ON.

Указания. 1. Докажите равенство треугольников AOD и ВОС.

2. Докажите равенство треугольников СОМ и DON.

Вариант VI

Отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть М и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что ОМ —ON.

Указания.   1. Отметьте на рисунке равные элементы.

2. Докажите равенство углов AOD и СОВ; равенство треугольников AOD и ВОС; равенство отрезков СМ и DN; равенство углов OAD и ОВС\ равенство треугольников AON и ВОМ.

Варианты I—VI реализуются с помощью карточек. Все карточки вариантов V—VI имеют указания, а в карточках вариантов I—III их нет.

Упражнения вариантов I—III имеют одно и то же условие. Для их выполнения нужен примерно один и тот же круг знаний, умений и навыков. Но требования этих упражнений неодинаковы: для вариантов I, II это часть требования упражнений варианта III. В связи с этим увеличивается количество логических шагов, приводящих к выполнению упражнения, меняется степень актуализации знаний, используемых при его выполнении. В задачах вариантов IV—VI изменено условие (добавлены данные: середины отрезков) по сравнению с условиями задач вариантов I—III, их требования, по существу, включают в себя требования задач вариантов I—III. Упражнения вариантов I—III можно использовать для проверки знаний на первом и втором этапах их усвоения. При этом метод доказательства, основной круг понятий, необходимых для выполнения упражнения, остаются неизменными, последовательность рассуждений варьируется (удлиняется).

Проверке знаний, соответствующих третьему уровню усвоения, способствуют упражнения вариантов IV—VI, выполнение которых требует от учащихся глубокого осознания изучаемых понятий и методов решения, свободного оперирования полученными знаниями, умения применять их в новой ситуации, более высокой степени актуализации знаний. Проверка знаний и умений, соответствующая наиболее высокому уровню усвоения, может быть осуществлена только для наиболее успевающих учащихся (вариант IV).

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Вариант I

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AB2=AP·AQ.

Вариант II

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AP:AB=AB:AQ.

Вариант III

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AB2=AP·AQ.

Указание.  Докажите, что  АВР    AQB.

Вариант IV

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AB2=AP·AQ.

Указание.  Докажите, что: a)   .ABP=  AQB; б)   АВР     AQB.

Вариант V

Через точку А проведены касательная А В (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AB2=AP·AQ.

Указание.   1. Докажите, что: a)   .ABP=  .AQB; б)  АВР    AQB.

2. Выделите соответственные стороны треугольников АВР и AQB и запишите их отношения.

Вариант VI

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q.

Докажите, что AB2=AP·AQ .

Указание. 1.  .ABP =   AQB.

2.  АВР     AQB.

3.=        

Преобразование тригонометрических выражений

1. Упростите выражение

2.        Докажите тождество

cos 4 + 1 =   sin 4а (ctg —tg ).

Учет индивидуальных возможностей ученика может быть осуществлен посредством указаний к его действиям.

Приведем несколько вариантов рекомендаций по выполнению первого упражнения.

Вариант 1

1. Преобразуйте по формулам приведения множители произведения, находящегося в числителе дроби.
2. Разложите числитель дроби на множители.

3. Разложите знаменатель дроби на множители.
4. Выполните сокращение дроби.

130524384. Выполните преобразование суммы функций, находящейся в знаменателе дроби, в произведение.

Вариант 2

1. Разложите числитель дроби на множители, используя формулы приведения.
2. Разложите знаменатель на множители и выполните сокращение дроби.
3. Выполните преобразование суммы функций в произведение.

Вариант 3

1. Разложите числитель и знаменатель на множители и выполните сокращение дроби.

130524048. Выполните преобразование суммы функций в произведение.

Приведем несколько вариантов рекомендаций по выполнению упражнения 2 самостоятельной работы.

Вариант 1

1. Представьте cos 4 и sin 4  через cos 2  и sin 2.
2. Преобразуйте ctg   — tg   через sin   и cos .
3. Воспользуйтесь   основным   тригонометрическим   тождеством.

Вариант 2

1. Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного аргумента, преобразуйте левую часть равенства.
2. Используя определение синуса и косинуса и формулу синуса двойного угла, преобразуйте правую часть равенства.

Вариант 3

Используя основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента, приведите левую и правую части равенства к виду 2 cos2 2.

Вариант 4 Заполните пропуски и выполните дальнейшие преобразования:

cos2 2  —... + sin2 2  + ...= •2 sin 2 -...•

Аналогично можно преобразовать и следующий вариант рассматриваемой самостоятельной работы. Совокупность полученных при этом новых вариантов вполне обеспечит индивидуализацию выполнения учащимися данной самостоятельной работы и коллективное обсуждение ее результата.

Подготовка учащихся к самостоятельной

деятельности  на уроках математики

  Как известно, урок  имеет основные этапы: ознакомление с новым теоретическим материалом, показ приемов решения задач, организация усвоения  теоретических сведений и овладение приемами решения задач посредством выполнения тренировочных заданий. Одной из форм изучения теоретического материала – самостоятельное чтение  текста учебника. Вообще говоря. Текст учебника, предназначенный для чтения после объяснения учителя и текст, который рассчитан на самостоятельное прочтение учащимися, должен различаться. В первом случае текст должен быть компактным, лаконичным, резюмирующим уже полученную информацию, во втором случае он должен быть более обширным, содержать подводящие примеры, дополнительные объяснения и т. п.

 Следует помнить, что самостоятельное чтение математического текста - это сложная задача в силу того, что этот текст обычно насыщен информацией, приводимые в нем ссылки могут ускользнуть из поля зрения учащихся, отдельные замечания могут показаться излишними. Поэтому при организации самостоятельного чтения, особенно в среднем звене общеобразовательной школы, учителю необходимо: сформулировать наводящие вопросы, разбить текст на части, дать некоторые указания и т.п. После прочтения текста необходима беседа, в ходе которой проверяется понимание прочитанного. Такая беседа позволяет выяснить моменты, которые ими были не поняты или не замеченными.

   Непременным условием усвоения новых теоретических сведений  овладения новыми приемами решения задач является выполнение учащимися тренировочных упражнений, в ходе которого приобретенные знания становятся полным достоянием учащегося. Существуют две формы организации тренировочной работы – фронтальная работа и самостоятельная работа учащихся. Я считаю, что фронтальная работа является важным этапом при подготовке учащихся к самостоятельной работе на уроках математики.

  В плане развития мышления и речи учащихся фронтальная работа на уроке имеет ряд положительных сторон. Если при самостоятельном выполнении заданий ученик оставшись «один на один» с задачей, может мобилизовать тот запас способов решений, которыми он вооружен, то во время фронтальной работы он овладевает новыми приемами, усваивает новые аспекты известного приема. В ходе фронтальной работы учащиеся получают образцы рассуждений, образцы оформления записей. Они имеют возможность быстро и своевременно исправлять допущенные  ошибки. Коллективная работа в классе стимулирует поиск наиболее рационального пути решения задачи, поощряет инициативу и изобретательность. Исключительное значение имеет фронтальная работа для развития речи учащихся. Учащиеся слышат обоснование проводимых действий, поправки к обоснованию, вносимые учителем, получают образцы правильных и грамотных рассуждений. Решая конкретные задачи, они овладевают умением приводить  полные и убедительные аргументы, формулировать утверждения, на которых обосновано то или иное действие. Контрольные вопросы и замечания, которые делает учитель по ходу фронтальной работы, позволяют учащимся еще раз осмыслить то, что было услышано ими в при объяснении нового материала.

Например. При изучении всех видов функций построение графика  полезно проводить по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся его непременного соблюдения: прежде всего  по формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т.д.) ; вспомнить что является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т.д.); выяснить исходя из формулы некоторые особенности этого графика (так как k>0, то угол наклона прямой  к оси ОХ острый; т.к.  а <0, то ветви параболы направлены вниз; и т. д.); и только после этого приступать к построению графика на доске, надо непременно требовать от отвечающего ученика вслух комментировать ход решения, выделяя каждый из этих этапов, не пропуская не одного из них. Такая планомерная работа приводит к тому, что соблюдение плана становиться привычным для каждого учащегося, когда он самостоятельно обращается к построению графика.

  Подобная  подготовка дает возможность учащимся выполнить  самостоятельно задания. В противном случае время, данное на самостоятельную работу, для ученика может пройти зря. Исправление ошибок , допущенных при выполнении работы, происходит в ходе проверки по окончании всей работы. Поэтому, выполняя упражнения самостоятельно, ученик, не усвоивший материал, может повторять одну и ту же ошибку от примера к примеру и тем самым закрепить неправильный алгоритм.

Анализ самостоятельной работы

  Эффективность самостоятельных работ, формирование навыков самостоятельной деятельности во многом зависит от своевременного анализа  результатов работы, когда у ученика еще не окончен процесс корректировки собственных знаний, когда, образно говоря , он не успел еще послать , может быть, ошибочную информацию на хранение в память. Анализ самостоятельных работ должен носить обучающий характер, т.е. не просто констатировать количество ошибок. А производить их разбор, с тем, чтобы учащиеся смогли до конца понять вопрос, в котором сделаны ошибки.

  Анализ полезно начинать с общим замечаний: как в общем выполнена работа, сколько отличных и плохих работ (без указания фамилий, т.к. самостоятельная работа не наказание, а есть своеобразная помощь в усвоении знаний). Затем отмечаются задачи с которыми класс справился хорошо, и задачи, в которых сделаны наиболее типичные ошибки.

Литература

С а р а н ц е в Г.И.  Упражнения в обучении математики.

 Выбор методов обучения в средней школе / Под ред. Ю. К. Ба-банского.— М.: Педагогика. 1981.

Груденов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике.— М.: Педагогика, 1987.

Дидактика средней школы: Некоторые пробл. соврем, дидактики / Под ред. М. Н. Скаткина.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1982.

К о л я г и н Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I и II.— М.: Просвещение, 1977.

Леонтьева М. Р., Суворова СБ. Упражнения в обучении алгебре.— М.: Просвещение, 1985.

Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте.— М.: Просвещение, 1983.

Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении.— М.:  Педагогика,   1980.

П о и а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ.—2-е изд., перераб.—М.: Наука, 1975.

.

Формирование учебной деятельности школьников / Под ред. В. В. Давыдова, И. Ломпшера, А. А. Марковой.— М.: Педагогика, 1982.

Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.— М.: Просвещение, 1983.

Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I.— М.: Просвещение, 1982.

Шапоринский С. А. Обучение и научное познание.— М.: Педагогика, 1981.

Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьников.— М., 1959.

Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников.— М.: Педагогика, 1980.