Трансцендентные уравнения
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

МБОУ «Гимназия № 1» г. Новосибирска

Арчибасова Елена Михайловна, учитель математики

Методическое сопровождение учебного фильма

«Комплекс уроков «Трансцендентные уравнения»

11 класс

Пояснительная записка

Данный комплекс уроков для сети специализированных классов математического направления Новосибирской области вплотную примыкает к основному курсу, развивает систему ранее приобретённых программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы.

Особенности комплекса для учеников

• Даёт возможность развивать такие качества, как сообразительность, интуиция, логическая культура.
• Позволяет набраться опыта в решении уравнений нестандартными методами.

• Призван помочь психологически настроиться на то, что задания могут быть предъявлены в необычной форме.

Задачи комплекса

Ученики, проработавшие его, будут

1) уметь анализировать компоненты уравнения с функциональной точки зрения;

2) уметь применять свойства функций для решения  уравнений;

3) иметь представление о том, как конструируют уравнения;

4) иметь представление о внешне стандартных уравнениях, решение которых требует особых методов.

Содержание

Для учителей комплекс может быть полезен тем, что в него включено достаточное число (59) уравнений, это обеспечивает как отбор материала для объяснения, так и для составления самостоятельных и проверочных работ по своему усмотрению и вкусу.

P.S.

Уравненья, в которых скопом
Корни, степень и функций бездна.
Суть, замкнувшаяся по скобкам,
И – до дьявола неизвестных.

                Ирина Снегова  (неточная цитата)

Неточность в одном слове, у поэта вместо «и функций» написано «неравенств». Правда, можно заметить несовпадение по существу дела, так как неизвестных в предложенном комплексе не более трёх, да и функции по пальцам пересчитываются. Но ведь менее интересными от этого уравнения не становятся, поэтому гиперболизация только подчёркивает их значимость.

 Обращусь к математическим авторитетам. Вот точная цитата.

Эти своеобразные, «нестандартные», задачи требуют и определённой сообразительности, и свободного владения различными разделами математики, и высокой логической культуры. А помимо этого – и психологической подготовленности. Сколько раз бывает, что задача, по существу совсем не сложная, но сформулированная несколько необычным образом, вызывает непреодолимые трудности! А её решение и требует-то всего нескольких слов.

Конечно, нет и не может быть никакой возможности указать все методы решения «нестандартных» задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и – последнее по счёту, но первое по важности – логику, логику, логику! Особо подчеркнём, что эти «нестандартные» задачи и «нестандартные» методы их решения ни в коей мере не выходят за рамки программы для поступления в вузы. Их «нестандартность» состоит скорее не в сложности, а в непривычности. (…)

Заметим сразу же, что сами по себе эти решения несложны, их вовсе нетрудно понять, гораздо сложнее найти эти решения самостоятельно. Поэтому мы рекомендуем вам каждую из разбираемых ниже задач попытаться решить до того, как вы прочтёте её решение. (…)

В ряде разбираемых ниже примеров мы приводим и «черновое» и «чистовое» решение. Однако в большинстве случаев мы ограничиваемся лишь «черновым» решением, предоставляя читателям возможность проделать чрезвычайно полезное упражнение по переработке этих решений в «чистовые».

Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Пособие по математике для  поступающих в вузы. – М.: «Наука», 1968.

ЛИТЕРАТУРА

Что есть лучшего? –

Сравнив прошедшее,

свести его с настоящим.

Козьма Прутков

1. Алгебра и начала анализа 11 класс. Ч.2. Задачник (профильный уровень)//А.Г. Мордкович и др. М.: Мнемозина, 2010.
2. П.И. Горнштейн и др. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, 2004.
3. Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Пособие по математике для  поступающих в вузы. – М.: «Наука», 1968.
4. А.Егоров, Ж.Раббот. Монотонные функции в конкурсных задачах. Квант №6 – 2002 год.
5. А.Ж. Жафяров. Профильное обучение математике старшеклассников. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2003.
6. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. –СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,2004.
7. Ивлев Б.М. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 классов. – М.: Просвещение, 1978.
8. Литвиненко В.Н. Задачник-практикум по математике. – М.: ООО Изд. дом «Оникс 21 век», 2005.
9. Материалы вступительных экзаменов. Квант №1 – 2002 г, №1 – 2005 г, №1 – 2007 г, №1 – 2008 г
10. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. «Столетие», 1995.
11. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и  анализу. – М.: МЦНМО, 2011.
12. В.И. Рыжик. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу для 10-11 классов. – М.: Просвещение, 1997.
13. Саакян С.М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Просвещение, 1990.
14. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2007.

Листок № 1

–  О! Задачка!        

–  Да. И к тому же трудная.

    А вы, я знаю, трудностей  не боитесь. 

              А. Кристи.  Загадка Эндхауса.

     3.    

     5.     

Ответы.       1. 1. 2. 0. 3. 2. 4. – 4. 5. 3; 9.

Листок № 2

–  Пуаро, –  сказал я. – Я только что   думал…

–  Очаровательное занятие, мой друг.

    Не гнушайтесь им и впредь.

                          А. Кристи. Загадка Эндхауза.

+

3.

       4.  

             Ответы.    1. 1.  2. 1; 0.  3. 5/4; 3/2.  4. 2.

Листок № 3

–  То, что изобретено одним человеком,

         может быть понято другим, – сказал Холмс.

                     А. Конан Дойл. Пляшущие человечки.

         Ответы.      1. (1; – 3/2; – 3);( – 1; 3/2; 3). 2. (4; 1; ±arccos1/5 – arctg4/3 + 2πn), n – целое.

Листок № 4

Мозг должен яростно работать,

 а не прозябать в спячке.

Что может  быть приятнее,  

чем загружать работой извилины?

 А. Кристи. Тринадцать             сотрапезников.

1.

2.    

      Ответы.      1. (√17 – 7)/8.                 2. – 2/3.

Листок №5

Нет ничего лучше таких дел, где всё

           словно сговорилось против тебя.

Тогда-то и начинаешь входить в азарт.

            А. Конан Дойл. Собака Баскервилей.

         1.

         2.  

         3.  

Ответы.       1.  π + πn, n – целое число. 2.  1 ± √(11 + 4√3).  3. R.  

Листок №6

Все можно сделать простым, если

 аккуратно расположить факты.

  А. Кристи. Убийство Роджера Экройда.

     4.

     5.       

Ответы. 1. (3/π; π/2+ 2πn – 3/π), (– 3/π; π/2+ 2πn + 3/π), n – целое.

  2. 1. 3. (1; ±1/4 + n), n – целое. 4. (πn; 1), n – целое.

  5. (2; – 2 + πn); (– 2; 2 + πn), n – целое. 6. – 1/2. 7. 0.

Листок №7

Самое простое объяснение

чаще всего и бывает самым верным.

          А. Кристи. Загадка Эндхауза.

2.  

3.  

Ответы.    1. ¼; 2.  2. 4; ¼.  3. (πn; πn – 1), n – целое.  

4. π + 2πn, n – целое.  5. π/2+πn, n – целое.  6. 3; 9.  

7.  (π/4 + 2πn; – arctg√2 + πk), (5π/4 + 2πn; arctg√2 + πk), n, k – целые.

Листок  № 8

В необычности почти всегда

         ключ  разгадке тайны.

А. Конан Дойл. Тайна Боскомской долины.

1.                                 

2.                  

3.                                                         

4.      

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     5.                                 

6.                                 

7. Найти целочисленные корни:                

8. Найти целочисленные корни:      

9.

10.      

11.      

12.     

13.             

14.                         

15.      

16.        

17.                                     

18.    

19.                

20.            

21.                                

22.                          

23.      

24.    

25.      

26.        

27.        

28.  

29.          

30.    

31.      

32.          

Ответы.  1. 2. 2. ± 1. 3. 2. 4. 7. 5. – 2. 6. – 2. 7. 5. 8. 3. 9. 0; ± 1. 10. 0; 1. 11. Ø. 12. (1; 1 + π/2 + πn) , n – целое. 13. 2. 14. 0. 15. (3; ± π/6 + 3/2 + πn), n – целое. 16. 1. 17. 1/4, 1/2. 18. π/4 + πn, n – целое. 19. (0; 0). 20. π + 2πn, n – целое. 21. Ø. 22. 3π/2. 23. (1; 0). 24. 2. 25. (– 1; 2); (– 1; – 2). 26. ± 1. 27. 1. 28. (-2√3/3; 1;1); (-2√3/3; 7; -9). 29. – 2. 30. ± 1. 31. 2±√(14+4√3). 32. π/6+2πn, n – целое.