Методы решения уравнений и неравенств в целых числах
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
7.1. Линейные уравнения Метод прямого перебора Использование неравенств Использование отношения делимости Метод «спуска» Использование формул 7.2. Нелинейные уравнения Метод разложения на множители Вынесение общих множителей за скобку Применение формул сокращенного умножения Использование параметра Метод решения относительно одной переменной выделение целой части Метод «спуска» метод конечного «спуска» Параметризация уравнения Функционально-графический метод 7.3. Неравенства Использование области определения Использование монотонности Использование ограниченности 7.4. Уравнения и неравенства Уравнение с одной неизвестной Показательные уравнения Неравенства Уравнения, содержащие функцию «целая часть числа» [ x ]
Пример 74. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Узнать сколь- ко в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение. Пусть х – количество кроликов , у – количество фазанов, тогда имеем уравнение 4 x + 2y = 18 или 2x + y = 9 Если х =1, то у=7. Если х=2, то у=5. Если х = 3, то у = 3. Если х = 4, то у = 1. При х = 5 получаем 2 ∙ 5 = 10 > 9. Ответ: (1 ;7), (2;5), (3;3), (4;1). 7.1. Линейные уравнения Метод прямого перебора
Использование неравенств Пример 75. Решить в натуральных числах уравнение 5х + 8у = 39 Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства 5х = 39 – 8у ≥ 0 8у = 39 – 5х ≥ 0 у ≤ 4 х ≤ 7 Проведем перебор по неизвестной у. Если у = 1, то х = 6,2 не является натуральным числом. Если у = 2, то х = 4,6 не является натуральным числом. Если у = 3, то х = 3. Если у = 4, то х = 1,4 не является натуральным числом. Ответ: (3; 3)
Использование отношения делимости Пример 76. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Укажите все решения Решение. Обозначим количество контейнеров первого вида через х , второго – через у . Получаем уравнение 130х + 160у = 3000 или 13х + 16у = 300. Далее имеем : 13х + 13у + 3у = 13 ∙ 23 + 1, 3у - 1 = 13 ∙ (23 - х - у). Отсюда следует, что разность 3у - 1 делится на 13. Если 3у - 1 = 0, то у не является натуральным числом. Если 3у - 1 = 13, то у не является натуральным числом. Если 3у - 1 = 26, то у = 9 и х = 12. Если 3у - 1 = 39, то у не является натуральным числом. Если 3у - 1 = 52, то у не является натуральным числом. Если 3у - 1 = 65, то у = 22 но 16 ∙ 22 = 352 > 300. Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг.
Метод «спуска» Пример 79. Решить в целых числах уравнение 5х - 7у = 3. Решение. Выразим из уравнения то не- известное, коэффициент при котором меньше по модулю: Дробь должна быть равна целому числу. где z – целое число. Тогда 2у + 3 = 5 z . Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования: Дробь должна быть целым числом. Обозначим , г де t – целое число . Отсюда z = 2t - 3. Последовательно возвращаемся к неизвестным x и y . y = 3∙(2t - 3) - t = 5t - 9, x = y + z = 5t - 9 + 2t - 3 = 7t - 12. Ответ: x = 7t - 12, y = 5t - 9, где t Z . Положим ,
Использование формул Теорема. Уравнение a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда d │ b , где d = НОД ( a 1, a 2 ,…, a n ). Теорема. Пусть уравнение ax + by= c разрешимо в Z и пара ( x 0 ; y 0 ) является частным решением этого уравнения. Тогда множеством всех решений в Z данного уравнения является множество пар ( x; y ) , где Следствие. Пусть а и b взаимно просты и ( x 0 y 0 ) какое-нибудь решение уравнения ax + by = c (*) Тогда формулы x = x 0 - b ∙ t , y = y 0 + a ∙ t при t є Z дают все решения уравнения (*).
Пример 81. (МГУ, 1969). Остаток от деления некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток от деления n на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления n на 30? Решение. Из условия задачи следует, что существует натуральное число k такое, что n = 6k + 4. 2 k - 5l = 1. (*) Для решения этого уравнения найдем какое-нибудь частное решение в целых (не обязательно неотрицательных) числах. Подбором в качестве такого частного решения можно взять, например, k = -2 , l = -1 . Согласно следствия уравнение (*) имеет решения k = -2 +5t, l = -1 + 2t, где t є Z. Чтобы числа k и l были неотрицательными, параметр t должен принимать натуральные значения. Теперь имеем n = 6 ∙ (5t - 2) +4 = Ответ: 22. Аналогично имеем , n = 15l + 7, где l є N. Исключая из этих двух равенств n , получим уравнение 30t - 8 = 30(t - 1) + 22.
Пример 83. Решить в целых числах уравнение 127 x - 52y + 1 = 0. Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби Правильную дробь заменим равной ей дробью Тогда получим Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью . Повторяя те же рассуждения для дроби , получим
Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби – одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его 127 ∙ 9 - 52 ∙ 22 + 1 = 0. 127 x -52y + 1 = 0 x = 9, y = 22 x = 9 +52t , y = 22 + 127 t , где t є Z . Ответ: x = 9 +52t , y = 22 + 127 t , где t є Z .
7.2. Нелинейные уравнения Метод разложения на множители вынесение общих множителей за скобку Пример 84. Решить в целых числах уравнение 2 x 3 + xy - 7 = 0 . Решение. Приведем данное уравнение к виду x(2x 2 + y) = 7 Так как 7= 1 ∙ 7 = 7 ∙ 1 = -1 ∙ (-7) = -7 ∙ (-1), то рассмотрим четыре системы уравнений: Из каждой системы получаем решения. Ответ: (1; 5); (-1; -9); (7; -97); (-7; -99).
Применение формул сокращенного умножения Пример 85. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения n 2 - k 2 = 55 или (n - k)(n + k) = 55. Так как n + k > 0 , то n - k > 0 , причем n + k > n - k. Поскольку 55 = 1 ∙ 55 = 5 ∙ 11 то возможны два случая Решая эти уравнения, получим два ответа: n = 28, k = 27 и n = 8, k = 3. Ответ: (28; 27); (8; 3).
Использование параметра Пример 88. Решить в целых числах уравнение 2 x 2 - 2yx + 9x + y = 2. Решение. Перепишем уравнение в виде 2 x 2 - x(2y - 9) + y - 2 + a = a и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х . Находим дискриминант D = 4y 2 - 44y + 97 - 8a. Очевидно, если , 97 - 8a = 121 , то дискриминант будет полным квадратом. При этом a = -3 и Отсюда x 1 = 0,5 и x 2 = y - 5 . Уравнение принимает вид (2x - 1)(x - y + 5) = -3 . Рассмотрите самостоятельно решение последнего уравнения. Ответ: (1; 9); (-1; 3); (2; 8); (0; 2).
Метод решения относительно одной переменной выделение целой части Пример 89. (МГУ, 1997). Найти все пары целых чисел x и у, удовлетворяющие уравнению 3xy + 14x + 17y + 71 = 0. Решение. Выразим из данного уравнения у через х: При этом следует отметить, что величина 3x + 17 ≠ 0 (так как x – целое число). Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя): Умножим обе части последнего равенства на 3:
Метод «спуска» метод конечного «спуска» Пример 96. Решить в целых числах уравнение 2x 2 - 5y 2 = 7. Решение. Так как 2x 2 – четное число, а 7 – нечетное, то 5y 2 должно быть нечетным, т.е. у – нечетное. Пусть , y = 2z + 1, где z є Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x 2 - 10z 2 - 10z = 6. Отсюда видно, что x должно быть четным. Пусть , x = 2m , тогда последнее уравнение примет вид 2m 2 - 5z(z + 1) = 3 , что невозможно, так как число z(z + 1) – четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений.
Поскольку числа 3у и 14 – целые, то 3x +17 должно быть делителем числа 25 : 3x + 17 = ±1; ±5; ±25 – всего 6 возможностей. Отсюда для x получаем три возможных значения: –4, –6, –14 (в остальных трех случаях x не является целым). Соответствующие значения у равны –3, –13, –5. Ответ: (-4; -3); (-6; -13); (-14; -5). Замечание. В данном примере суть выделения целой части состоит в избавлении переменной x из числителя (сравните с примером 77). В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при x в знамена- теле. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.
Параметризация уравнения Пример 99. Решить в целых числах уравнение x 3 + y 3 + z 3 = 2 . Решение. Положим x = a + b, y = a - b. Так как x 3 + y 3 = 2a 3 + 6ab 2 , то исходное уравнение принимает вид 2a 3 + 6ab 2 + z 3 = 2. Положив a = 1, получим z 3 = -6b 2 . Считаем теперь b = 6t 2 Отсюда x = 1 + 6t 2 , y = 1 -6t 2 , z = -6t 2 . Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t . Ответ: x = 1 + 6t 2 , y = 1 -6t 2 , z = -6t 2 , где t є Z
Функционально-графический метод Пример 100. (МИОО 2010). Найти все пары натуральных k и n таких, что k < n и ( n ) k = ( k ) n . Решение. 1 . Преобразуем исходное равенство: k ln n = n ln k 2.
откуда следует k = 1 или , k = 2, причем для каждого k может найтись не более одного значения n , удовлетворяющего уравнению в паре с этим значением k . 3. В случае k = 1 из данного уравнения получаем n = 1, ч то не соответствует условию k < n . 4. В случае k = 2 получаем уравнение , n 2 = 2 n , решение которого легко находится подбором: n = 4, причем в силу выше- сказанного это единственное решение n > e . Ответ: k = 2 , n = 4 .
7.3. Неравенства Использование области определения Пример 102. (МГУ, 1973). Найти все целые числа x , удовлетворяющие неравенству Решение. Допустимые значения x определяются системой неравенств Подставляем последовательно найденные значения x в неравенство, предварительно его упростив.
1. x = 1. Тогда 2. х = 2. Тогда 3. х = 3. Тогда Ответ: 2; 3.
Использование монотонности Пример 103. (МГУ, 1976). Найти все целые z , удовлетворяющие неравенству Решение. Допустимые значения z определяются из системы Заметим, что левая часть неравенства увеличивается с ростом z , а правая – уменьшается. Это обстоятельство позволяет упростить перебор. В силу сделанного выше замечания, необходимости в проверке значений z = 3, 4, 5, 6 нет. Эти числа решениями не являются. Ответ: -1, 0, 1.
Использование ограниченности Пример 104. (МГУ, 1996). Найти все целочисленные решения неравенства Решение. Целые решения будем искать из двух ограничений системы Первое неравенство выполняется при x = 3, 4, 5, 6. Но из этих значений исходному неравенству удовлетворяет только x = 3 . При x = 0, 1, 2 первое неравенство не выполняется. При x = -1 выполняется как первое не- равенство, так и исходное неравенство. При x = -2 первое неравенство не выполняется. При остальных значениях x = -3, -4, ... первое неравенство не разрешимо, так как левая часть неравенства x(x 2 - 5) ≥ 3 будет отрицательной. Ответ: -1; 3.
Метод интервалов Пример 105. (МГУ, 1972). Определить, сколько целочисленных решений имеет неравенство Решение. Методом интервалов по 2 n определяем решения (см. рис. 2): Дальше подбором находим n = ± 2, ± 3, ±4 или n = ±8, ±9,±10, ±11, ±12. Ответ: 16 решений.
7.4. Уравнения и неравенства Уравнение с одной неизвестной Пример 107. Может ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23? Первое решение. Рассмотрим уравнение b 2 - 4ac = 23. Так как 23 – нечетное число, а 4 ac – четное, то b 2 и, следовательно, b – нечетное число, т.е . b = 2k - 1, k є Z . Тогда (2k - 1) 2 - 4ac = 23; 4(k 2 - k -ac) = 22. Последнее уравнение не имеет решений, так как 22 не делится на 4. Второе решение. Перепишем уравнение b 2 - 4ac = 23 в виде b 2 - 25 = 4ac - 2 и разложим обе части уравнения на множители: (b - 5)(b + 5) = 2(2ac - 1). (*) Так как в правой части уравнения – число четное, то и в левой – тоже четное, следовательно, b - 5 и b + 5 одновременно четные (докажите), т.е. b - 5 =2m, b - 5 = 2k. Левая часть уравнения (*) делится на 4 , а правая – нет, поэтому уравнение b 2 -4ac = 23 не имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение b 2 -4ac = 23 в виде b 2 = 4ac + 23 или b 2 = 4(ac + 5) + 3. Получили, что квадрат натурального числа при делении на 4 дает остаток 3 , что невозможно (докажите). Ответ: не может.
Показательные уравнения Теорема. Если остаток от деления a 1 на b равен r 1 , а остаток от деления a 2 на b равен r 2 , то остаток от деления a 1 +a 2 на b равен остатку от деления r 1 + r 2 на b . Опорная задача. Докажите, что оста- ток от деления на 3 числа 5 k равен 1 , если k четно, и 2 , если k нечетно.
Неравенства Пример 121. (МИОО 2010). Найти все пары (x; y) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств : Решение. Выделяя полные квадраты, получаем: Из первого и второго неравенства системы: Подставляя x = 12 в систему, получаем: Ответ: (12; -8).
Уравнения, содержащие функцию «целая часть числа» [ x ] Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее х . Свойства целой части числа: 1) Из равенства [y] = n следует, что a) n – целое число; б) y = n + α , где 0 ≤ α < 1; в) 0 ≤ y - n < 1. 2) Если [ u ] = [ v ] то u = m + α , v = m+ β , где 0 ≤ α < 1 и 0 ≤ β <1 , поэтому u - v = α - β и -1 < u - v < 1. 3 ) Если [ x + y ] = x то x – целое число и 0 ≤ y < 1. 4) Если n – целое число, то [ n + x ] = n + [ x ].
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Графический метод решения квадратных неравенств. Алгебра. 8 класс.
Презантация к уроку "Графический метод решения квадратных неравенств" содержит примеры 8 основных типов квадратных неравенств. Анимация, содержащаяся в презентации позволяет преп...
Конспект занятия элективного курса "Методы решения иррациональных неравенств"
Рассмативаются методы решения разных иррациональных неравенств, в том числе с параметрами....
элективный курс.10 класс.«Методы решения уравнений, неравенств и их систем».
Углубление отдельных тем обязательных предметов федерального компонента и обязательных предметов по выбору...
Элективный курс "Методы решения уравнений, неравенств и их систем"
Элективный курс "Методы решения уравнений, неравенств и их систем"...
Нестандартные методы решений уравнений, неравенств и их систем. Использование свойств функции
Нестандартные методы решений уравнений, неравенств и их систем. Использование свойств функции...
Рабочая программа элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и их систем" для 10 класса
Данный элективный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования старшей школы.Программа элективного курса состоит из одного образовательного раздела пр...