Способы умножения чисел
план-конспект занятия по алгебре (5 класс) на тему

«Способы умножения

 натуральных чисел».

«Математика - это      

    удивление, а через

    удивление познается мир»

Содержание.

1.Введение………………………………………………………………………..3

2.Основная часть. …………………………………………………………………                                                          

  2.1Умножение на пальцах……………………………………………………….4

  2.2 Китайский способ умножения (линейный)………………………………7

  2.3 Умножение методом Ферроля………………………………………………8

  2.4 Итальянский способ умножения (“Сеткой”)……………………………….9

  2.5 Русский крестьянский способ умножения…………………………… …..10

3.Заключение……………………………………………………………………   14

4.Литература………………………………………………………………………14

Введение.

В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Я решила выяснить, является ли данный способ умножения единственным или существуют другие. 

Гипотеза – используемые в школьном курсе  алгоритмы умножения натуральных чисел - не единственные.

Цель: рассмотреть нестандартные приёмы  умножения, не рассматриваемые в школьном курсе математики и показать, что их применение делает процесс вычисления интересным.

Задачи:

• изучить соответствующую литературу,
• описать нестандартные способы умножения,
• продемонстрировать преимущество и недостатки нестандартных способов умножения.
• сделать сравнительные выводы о достоинствах и недостатках указанных способов со  школьными общепринятыми.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей.

Объект исследования:

Изучение способов умножения натуральных чисел

Метод исследования:

        Теоретический (изучение и анализ), системно-поисковый, практический.

Основная часть.

 Я долго думала, что же мне показать на мастер-классе? чему я могу научить и удивить взрослых, состоявшихся людей?

 Математика очень многогранная наука и охватить все в ней просто невозможно.

Давным-давно один восточный владыка, просвещенный и мудрый, пожелал узнать все о математике всех времен и народов. Вызвал он приближенных и объявил им свою волю.

- Повелеваю,- молвил он,- написать мне все о математике. Как она возникла, какой была раньше, какой стала теперь, какой будет в будущем. Собрать мне все математические знания, что есть в мире, А самое главное ответьте на вопрос  – что это… математика.

И дал на это пять лет сроку.

         Со всего царства были собраны мудрейшие из мудрецов, и им объявили желание владыки.

Миновало пять лет, и явились приближенные во дворец.

- О, великий господин, срок названный тобой ничтожно мал. Мы не успели

собрать даже тысячной доли тех знаний, о которых ты говорил, и мы не успели дать ответ на твой главный вопрос.

Рассердился владыка, но выглянув в окно увидел, что перед дворцом выстроился караван верблюдов такой длинный, что конец его терялся где-то за горизонтом. И на каждом верблюде нагружено по два громадных тюка. А в каждом тюке было по десять толстенных томов.

- Вы смеетесь надо мной! - рассердился владыка. - Да ведь я до конца своей жизни не успею прочесть и десятой доли того, что они собрали! Нет, пусть напишут мне краткую историю математики.

- Пусть напишут мне самое-самое главное. Сколько времени нужно на это?

- Завтра, о владыка. Ты получишь то, что желаешь!

- Завтра? - удивился правитель.- Хорошо.

... Едва солнце взошло на лазурном небе, как владыка потребовал к себе мудреца. Мудрец вошел, неся в руках маленький ларец из сандалового дерева;

- Ты найдешь в нем, о владыка, самое главное в математике всех времен и народов, - произнес мудрец.

Но прежде, чем откроем ларец и прочитаем, что там написано, я предлагаю вам несколько задач, которые могут вызвать удивление. Кто знает может быть и они были записаны мудрецами в тех толстенных томах

И согласитесь, что охватить все математические знания невозможно.

Но мы перед собой такую цель не ставим…

_________________________________________________________________

Музыка

_________________________________________________________________

Давайте окунемся в атмосферу востока… наполните чашки чаем и ответьте на вопрос: с чем ассоциируется у вас слово «господин», «владыка», «чай», «математика»

Слайд 4

_________________________________________________________________

Конечно с Китаем.  На востоке, за чашкой чая ведут не только светские беседы, но и переговоры. А китайских школах чай можно пить практически в любое время (даже на уроке). А ведь и чайные пакетики придумали в Китае.

Китайцы считают математику высшей наукой – ее основы должен знать каждый… там нет разделения на сильных и слабых учеников – есть способные и не очень… а научить должны всех (как и мы!!!!)

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

1) Умножение на пальцах.

Не все хорошо помнят таблицу умножения. Иногда удобно знать способ умножения на пальцах.

• умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2),  затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ 27. 

• Умножение на 6,7 и 8

 Каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определённое число: мизинцу-6,безымянному-7,среднему-8,большому-10. В начале освоения метода эти числа можно нарисовать на кончиках пальцев. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе.

Пример 1: Умножим 7 на 8.

 Развернем руки ладонями к себе и коснемся безымянным пальцем (7) левой руки среднего пальца (8) правой

Обратим внимание на пальцы рук, оказавшиеся выше соприкоснувшихся пальцев 7 и 8. На левой руке выше 7 оказались три пальца (средний, указательный и большой), на правой выше 8 - два пальца (указательный и большой).
Будем называть эти пальцы (три на левой руке и два на правой) верхними. Остальные пальцы (мизинец и безымянный на левой руке и мизинец, безымянный и средний на правой) назовем нижними. В этом случае (7 х 8) получается 5 верхних пальцев и 5 нижних.
Теперь  найдем произведение 7 х 8.Для этого:
1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 5 х 10 = 50;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 3 х 2 = 6;
3) сложим эти два числа. Получим окончательный ответ: 50 + 6 = 56.
       Мы получили, что 7 х 8 = 56.

Пример 2: Умножим 6 на 6.

 Развернем руки ладонями к себе и коснемся мизинцем (6) левой руки мизинца (6) . Теперь на левой и правой руках по 4 верхних пальца. Найдем произведение 6 х 6:
1) умножим количество нижних пальцев на 10: 2 х 10 = 20;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 4 х 4 = 16;
3) сложим эти два числа: 20 + 16 = 36.
       Мы получили, что 6 х 6 = 36.

Вывод: способ интересен и помогает запомнить таблицу умножения, но ограничен, так как позволяет умножать только однозначные числа, и не исключает знание таблицы умножения до 5.

2) Китайский способ умножения (линейный)

При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 12 на 13. В первом множителе 1 десяток и 2единицы, значит строим 1 параллельную  прямую и поодаль 2 прямых.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть      

12 х 13 = 156

Допустим, нам надо умножить 412 на 123. 

412∙ 123=50676

Вывод: трудоемкость построения точек пересечения и дальнейших

вычислений, если множители  будут содержать цифру 9 или  8

3) Умножение методом Ферроля. 

Для получения единиц перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки.

Например: 13х12=156

а) 3х2=6, пишем 6

б) 1х2+3х1=5, пишем 5

в) 1х1=1, пишем 1.

Пример 2:Умножим 37 и 54

1)7х4=28,пишем 8 (2 запоминаем)

2)3х4+7х5=47,47+2=49,пишем 9(4 запоминаем )

3)3х5=15,15+4=19

37х54=1998

Вывод: Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.С большими цифрами трудоемко.

4) Итальянский способ умножения (ревность)

Использование приема:
Например, умножим 4857 на 297.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 1442529

  Вывод: Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости  построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения  интересен  и заполнение таблицы напоминает игру. Способ не исключает знание таблицы умножения.

 5)  Русский крестьянский способ умножения.
Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа такова: “На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число.

Вывод: исследование показало: этот способ можно использовать при умножении любых чисел, однако, трудность заключается в громоздкости вычислений, особенно для больших чисел.

Заключение.

Итак, в своей работе я рассмотрела 5наиболее понравившихся нестандартных способов умножения и рассказали о них вам.

Конечно это не все способы. Но и этих в полнее достаточно, чтобы все дети в классе начали умножать правильно.

Сегодня я постаралась доказать, что познание начинается с удивления. И может быть кто-то из вас посмотрит на математику совсем по-другому…

Еще много разных задач было у мудрецов в том караване, но что, же самое главное поместили они в ларец?

_________________________________________________________________

Слайд 13

_________________________________________________________________

Правитель открыл крышку ларца. На бархатной подушке лежал маленький клочок пергамента. Там была написана всего лишь одна фраза: «Математика - это удивление, а через удивление познается мир».

Результат:  изучены  нестандартные способы умножения, не применяемые в школьном курсе. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.  
2. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин  “За страницами учебника математики”.
3. Интернет-ресурсы.