Открытый урок по алгебре в 9 классе Формула суммы арифметической прогрессии
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Тема урока:  «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Цель: вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Задачи:

• Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей их жизни.
• Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры.
• Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки, продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Эпиграф урока:

Математика есть единая симфония бесконечного.

 Д. Гильберт

Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943) – немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910 – 1920-е годы был признанным мировым лидером математиков. Его называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение. Термин «progression» был введен римским философом и математиком Боэцием (VI в.). Как вы думаете, что означает это слово?

 - «движение вперед», «успех» (на экране-«движение вперед», «успех»)

 Не будем останавливаться и мы, а пойдем вперед в направлении изучения прогрессий.

Чтобы идти вперед, чаще оглядывайтесь назад, ибо вы забудете, откуда вы вышли и куда вам нужно идти. Давайте оглянемся, что на данный момент мы знаем о прогрессиях.

-Как называется прогрессия, которую мы изучаем?

Что мы о ней знаем, выясним в ходе устной работы

II. ЭТАП АКТУАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ.

Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности чисел:

    3, 7, 12, … (нет)                28, 31,34…  (да)                    

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите это определение с помощью формулы   на доске и в тетради.

(an+1 = an + d. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом)

Как называется каждый компонент этой формулы? 

Как найти разность арифметической прогрессии? ( d = an+1 - an )

Скажите, а какой еще формулой можно задать арифметическую прогрессию? Запишите эту формулу. (  an = kn + b. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an = kn + b, где k и b – некоторые числа)

Какие из формул задают арифметическую прогрессию: an = 5n + 7, an = 3n2+1,  an = 4 – n3   , an = 3 – 4n  ?

Найти 5-ый член числовой последовательности заданной формулой  an = 5n + 7   (32)

Найти 4-ый член числовой последовательности заданной формулой   an = 3 – 4n    (-13)

Чему  равна  разность арифметической  прогрессии:      1; 4; 7; … (3)

Чему  равна  разность арифметической  прогрессии:          3; 0; -3; -6; … (-3)

Продолжите  арифметическую прогрессию: 28, 31,34… Ответ:  37,40,43…

Найдите  пятый  член арифметической прогрессии:  3; 7; 11; … (19)

Всегда ли удобен такой способ нахождения неизвестных членов прогрессии?

Чем удобнее воспользоваться?

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. (an =a1 + (n – 1)∙d)

Что означает буква n?

Найдите  шестой  член арифметической прогрессии, если  a1 = 5, d = 3. (20)

Найти 10-ый член арифметической прогрессии, если a9 =34, a11 =58. (46)

Найти 5-ый член арифметической прогрессии, если a4 =-18, a6 =-24. (-21)

Какой формулой при этом пользовались? (an =                            .

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов)

Найти разность арифметической прогрессии, если a5 = 13, a9 =37. (6)

III. ЭТАП ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА И ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ В СТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Скажите, сколько времени вам понадобится для того, чтобы сложить, к примеру, все натуральные числа от 1 до 100?

Совершенно не сомневаюсь в ваших способностях.

Истории математики известны случаи очень раннего проявления математических способностей. С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

 Когда Карлу было 9 лет, учитель задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно». Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил... – и сдал работу, в которой была записана формула и верный ответ. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Юный Гаусс сам того, не подозревая, вывел формулу суммы первых 100 членов арифметической прогрессии.

На этом уроке, подобно Гауссу, мы выведем в общем виде формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

Задача эта не проста,

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок рассмотри,

Найдёшь к решению ключи.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

S = 1 + 2 + 3+ …+98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98+ …+3 +2 +1,

2S = 101∙100, S =  =5050.

Сумму п первых членов арифметической прогрессии принято обозначать как Sn.. Вывод формулы проведем в ходе решения задачи «Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если известны ее первый и n-ый члены.» 

(аn) – арифметическая прогрессия.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an,
Sn = an + an-1 + an-2 + …+ a3 + a2 + a1.
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an,
a3 + an-2 = (a1 + 2d) + (an – 2d) = a1 + an,
a4 + an-3 = (a1 + 3d) + (an – 3d) = a1 + an и т.д.
2Sn = (a1 + an)∙n. 

Используя формулу решите № 603(а) стр.151

S60 =  = 60 ∙ 30 = 1800.

 Решите №605(а) стр.151. Удобно ли применить формулу, применительно к данной задаче? Что из условия известно? Ваши предложения по решению?

Выведем в общем виде вторую формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, если известны a1  и d.  (ученик выводит формулу на доске)

Если учесть, что                               ,  то получим:

№605(а)

S9 =  ∙9 =  ∙ 9 =  ∙ 9 = 7 ∙ 9 = 63.

IV МИНУТКА ОТДЫХА.

Ученик объясняет условие: На экране записано 20 чисел: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58.

Я не буду на них смотреть. Назовите номер числа, и я мгновенно назову это число. (2-3 числа) Можете объяснить, как мне это удается? (выслушивает версии) Прогрессия здесь задана формулой an=3n-2. Мне остается подставить в формулу номер и посчитать.

V ЭТАП ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ В НЕСТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Рассмотрим некоторое применение формул к практическим задачам.

Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков.

Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число.

Треугольное число - это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 6 бревен?

S =  ∙ 6 = 7 ∙ 3 = 21.

Витрина магазина: яблоки (15), конфеты (78) и груши (28). Задачу решают по рядам.

Следующая задача связана с физикой. № 614 стр. 152(один человек у доски)

Прочитайте условие задачи и переведите его на язык математики. (an) – арифм. прогрессия, a1 = 5, d = 10, n = 5. S5 = ∙ 5 =  ∙ 5 = 25 ∙ 5 = 125 (м)

Ответ125м

VI ЭТАП. ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ

Как видим, арифметическая прогрессия вокруг нас. Есть она и в заданиях государственной итоговой аттестации. А значит, эти формулы нужно знать и уметь применять. Чтобы определить, как вы разобрались в применении формул, предлагаю вам решить следующие задания из открытого банка заданий.

№1.  Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 3; 1;
5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

а1 = -3, d = 4, Sn = ( -6 + 59 ∙ 4) ∙ 30 =6900

№2. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 0,6, a1 = 6,2. Найдите сумму первых 13 её членов.

Sn = (12,4 + 12 ∙ 0,6) ∙ 13: 2= 127,4

VII Практические задания на арифметическую прогрессию.

№1. Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м больше, чем в предыдущий. Сколько м уложат студенты за 15 дней?

S15 = (6 + 14 ∙ 2) ∙ 15: 2 = 255(м)

№2. В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 10 - ти рядах?

S10 = (14 + 18) ∙ 5 = 160(мест)

 VIII ЭТАП ОБЪЯСНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. .  Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, ….

Возрастающая прогрессия символизирует прогресс, движение вперед. Если же вернуться к истокам, то можно узнать, что первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Древнейшая задача на прогрессии – задача о делении хлеба. «Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил бы больше второго, четвертый больше третьего, пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?»    

Приготовить решение этой задачи к следующему уроку предлагается учащимся, проявляющим интерес к математике, ученику, интересующемуся историей в Интернете или энциклопедиях найти историческую справку об этом папирусе.

 Для остальных домашнее задание: п.26 выучить формулы № 604, №607, на повторение № 619

ИТОГ УРОКА, выставление, комментирование оценок за работу на уроке.

А урок закончу словами Карла Гаусса: «Математика – царица наук, а арифметика – царица математики». Любите математику, учите математику, и тогда вам любая наука будет по плечу. Знайте: ничто не дисциплинирует человека, так, как математика, ничто не развивает его способности, так как математика, и  ничто не ведет вперед к успеху так, как математика.  Успеха и постоянного движения вперед! Урок закончен.

Рефлексия.

Я запомнил, что…

 Я понял, что…

Мне на уроке …

Думаю, что …

Творческое задание:

1. Корни уравнения х2 – х – 6 = 0 являются первым и вторым членами убывающей арифметической прогрессии (ап).

Найдите произведение а3 · а4. 

2. Значения неизвестных системы уравнений     являются первым и вторым членом возрастающей арифметической прогрессии  (ап).  Найдите сумму  п  первых членов, если п =  .