Урок математики в 9 классе по теме"Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии"
план-конспект урока по математике (9 класс)

Урок математики в 9 классе.

Учитель Мусина Ксения Абдулхадиевна

 Тема: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Цель: ввести понятие арифметической прогрессии, как числовой последовательности особого вида; вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии

Задачи:

Образовательные: Ввести понятие арифметической прогрессии, вывести формулы n-го члена,

Развивающие: развивать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; развивать способности решать практико-ориентированные задачи на использование формулы n-го члена арифметической прогрессии, вычислительные навыки.

Воспитательные: формировать учебно-коммуникативные умения, воспитывать математическую культуру, внимательность, позитивное отношение к учебе, умение работать в коллективе.

Ход урока

Организационный момент. (рассаживаю детей на 3 группы по 4 чел.)

Добрый день ребята, сегодня урок математики буду вести у вас я, учитель гимназии г.Сызрань Мусина Ксения Абдулхадиевна, занимайте пожалуйста свои места. Обратите внимание, у каждого из вас есть рабочий лист, на котором вы будете работать во время урока.

Самоопределение к деятельности

На предыдущих уроках вы изучали числовые последовательности, какие примеры последовательностей вы можете привести?

Часто ли в жизни нам встречаются последовательности? (порядок нумерации домов и квартир, деление клетки, летоисчисление, время)

1. Определение цели урока

Михаил и Ольга задумали следующий новый год встретить у теплого моря и решили с января откладывать деньги два раза в месяц. В первый раз они положили в копилку 400 рублей и поняли, что если будут откладывать всегда по 400, то в итоге получится небольшая сумма. Тогда Михаил решил усложнить задачу, увеличивая каждый вклад на 150 рублей от предыдущего. Первые 4 месяца он смог просчитать без проблем каждый вклад, но задумался каков будет его последний вклад.  Давайте разберемся и поможем.

У него получилась последовательность : 400; 550; 700; 850;1000; 1150; 1300; 1450  ;…(просчитать с детьми) 

Что у нас получилось? (последовательность)

А последний член этой последовательности каким будет по счету?(24)

Можете ли вы так же быстро и легко его найти?

Неужели придется находить все предыдущие значения?! Нет, ребята. «Дорогу осилит идущий, а математику  - мыслящий!»

Внимательно посмотрите на эту последовательность!!!

- На сколько отличается 4 и 5 члены последовательности, а 1 и 2?

- Как вы это определили?

- какую закономерность вы здесь увидели? 

(Каждый следующий отличается от предыдущего на 150, или каждое следующее число больше предыдущего на 150.)

Такая последовательность называется Арифметической прогрессией. Попробуйте дать ей определение. (Учащиеся пытаются сформулировать определение, учитель им помогает) Арифметическая прогрессия – это последовательность… Совершенно верно. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

А как найти это число? (разностью соседних членов) верно! Различие между двумя соседними членами, называется разность прогрессии, и обозначается d, так как на английском difference – означает разность.

Так чем же мы сегодня на уроке будем заниматься?

Тема урока…..

2. Задание на распознавание. 

На основе полученных сведений, мы с вами сейчас выведем специальную формулу, которая позволит нам находить любой член арифметической прогрессии по первому члену и разности. 

a2=a1+d

a3=а2+d= a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d= a1+2d+d=a1+3d

какую закономерность можно здесь заметить?

(множитель у разности на 1 меньше порядкового номера последовательности)

так как порядковый номер последовательности всегда число натуральное, значит, мы можем вместо порядкового номера в формулу подставить «n», и если множитель у разности на 1 меньше порядкового номера последовательности, значит можно множитель, заменить на выражение «(n-1)».

Все выше сказанное теперь мы можем преобразовать в формулу:

an= a1+ (n-1)*d

С помощью этой формулы можно найти не только аn, но и n, a1, и d, решая как уравнение.

Знания об арифметической прогрессии, вы можете применять в практической жизни. Например, дома на улицах, квартиры в подъездах, размер одежды, все это арифметические прогрессии.

А теперь сможете ли вы помочь Михаилу?

Исторический экскурс:

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Термин «прогрессия» (от лат. рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.

Карл Гаус, еще будучи учеником начальных классов смог быстро найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, увидев некоторую числовую закономерность. 1 и 100 в сумме дают 101, 2 и 99=101, и т.д.

Эту закономерность вы можете увидеть на слайде.

3. Решение практико-ориентированной задачи.

Зная о закономерностях арифметической прогрессии, найдите разность арифметических прогрессий представленных на слайде.

А) 4, 10, 16, 22, …

Б) 2, 1, 0, -1, …

В) 1, 1, 1, 1, …

Решение:

А) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 4, разность равна 6, возрастающая арифметическая прогрессия

Б) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 2, разность равна -1, убывающая арифметическая прогрессия

Г) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 2, разность равна 0, постоянная арифметическая прогрессия

4. Закрепление нового материала:

Вам ребята весной предстоит сдавать Обязательный Государственный Экзамен, и наверняка многие из вас уже давно начали подготовку. А вы знаете, что в Контрольно измерительных материалах ОГЭ по математике есть задание №14  на арифметическую прогрессию.  

Вот и герой нашей задачи, тоже готовится к экзамену.

При подготовке к ОГЭ по математике, Андрей поставил себе цель, каждый месяц решать на 25 заданий больше, чем в предыдущий месяц. Готовиться он начал в начале учебного года, и в первый месяц решил 140 заданий. Сколько заданий Андрей решит в марте?

5. Психологическая разгрузка.

В рабочих листах №2 записан ряд цифр от 1 до 9. Раскрасьте эти цифры  красными и синими цветами в любом порядке. Как это сделала я на слайде. А пока вы выполняете задание, я расскажу вам про замечательного математика по имени Френк Пламптон Рамсей. Он жил в начале 20 века, им была создана теория доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Когда мы смотрим на звезды, то кажется, что расположены они в самом случайном порядке. Но еще в древности люди увидели созвездия. А теперь посмотрим на ваши цифры раскрашенные в случайном порядке, хотя бы три каких-либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессию. Этот факт и был доказан Рамсеем.

6. Работа в группах – проверка

Теперь вы знаете, что в мире нет абсолютного хаоса, значит во многих сферах жизни можно применить арифметическую прогрессию. Рассмотрим некоторые примеры. Каждой группе дано задание, оно расположено на оборотной стороне ваших рабочих листов, на его выполнение у вас есть 3 минуты.

1 группа: АП в физике

Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду – на 9,8 м больше, чем в предыдущую. На сколько большее расстояние пролетит капля дождя за 9ю секунду, чем за 1ю?

2 группа: АП в медицине

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 5 капель, а в каждый следующий день на одно и тоже количество капель больше чем в предыдущий, в последний день приема доза должна достигнуть 40 капель. На сколько капель больному нужно увеличивать дневную дозу лекарства, если лечение длится 6 дней.

3 группа: АП в предпринимательской деятельности

В 2015 году была создана фирма «СтройТон». В связи с увеличением заказов, было принято решение каждый год число сотрудников увеличивать на 250 человек. В конце 2021 года в фирме работало  7750 человек. Сколько сотрудников было при создании фирмы?

(На решение задач учащимся дается 3 минут, после чего проверяем решение групп, если необходимо учитель вносит коррективы, на слайде появляется правильное решение)

Время для решения задач подошло к концу, отложите ручки, проверим что у вас получилось. Слово предоставляется 1-ой, 2-ой, 3-ей группе.

Как вы пришли к этому результату, расскажите решение.

Мы сегодня говорили о прогрессии, которая называется Арифметической, пополнили свои знания, применили эти знания в решении практических задач.

7. Рефлексия.

-Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

-В чём заключается наш прогресс?

- А  зачем  нужно изучать прогрессию?

Подошел к концу урок

Приобрели мы знания,

Безделью, лени – вышел срок,

Лишь труд – прогресс познания

Я желаю, чтобы арифметические прогрессии и вообще математика вели по жизни вас только вперёд! Я благодарю всех за работу! Мне было приятно с вами общаться! До свидания!