Здравствуйте, друзья! Я недавно приобрела новую книжечку для подготовки к ОГЭ (страшно люблю книжки покупать), и там попались мне на глаза задания С3, которые показались интересными для разбора. Поэтому сегодня я предлагаю их вашему вниманию. Задачи на построение сложных графиков функций вы найдете также в статье “С3 ГИА – построение графиков функций”

Пример 1. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 6, задача 23.

Постройте график функции . Найдите все значения а, при которых прямая  не имеет с графиком данной функции общих точек.

Сначала займемся областью определения данной функции: , так как на ноль делить нельзя, и  , то есть ,так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

Выделим целую часть:

Теперь картина стала совсем ясной: имеем обычную гиперболу с коэффициентом 6  , которую сместили влево на 2 единицы  , а потом сместили на одну единицу вниз:  . Причем существует эта наша гипербола, согласно области определения, только до точки 4, а в точке (-2) имеет вертикальную асимптоту. Строим:

К задаче 1

Видно, что прямая   не будет иметь с графиком общих точек, так как является горизонтальной асимптотой. Также все прямые, лежащие выше нее, до прямой  , также не будут иметь общих точек с данной функцией, а сама прямая  – будет уже иметь точку пересечения с гиперболой, так как неравенство области определения – нестрогое.

Ответ:  )

Пример 2. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 7, задача 23.

Постройте график функции . Найдите все значения а, при которых прямая  не имеет с графиком данной функции общих точек.

Область определения данной функции: , так как на ноль делить нельзя, и  , то есть  (,так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

Имеем прямую, параллельную биссектрисе 1 и 3 квадрантов, смещенную вниз по оси ординат на 2 единицы, и не существующую на отрезке (-2; 2]. Строим:

К задаче 2

По графику видно, что любая прямая, параллельная оси х и проходящая через точки оси y с координатами (0;4] не будет иметь общих точек с графиком функции.

Ответ:  (.

Пример 3. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Вариант 18, задача 23.

Постройте график функции . Найдите все значения p, при которых прямая   имеет с графиком данной функции 2 общие точки.

Кстати, здесь можно найти статью о том, как строить графики функций с модулями.

Область определения 

Раскрываем модуль. В положительной полуплоскости (правой)  , в отрицательной полуплоскости (левой)  . Тогда в правой полуплоскости имеем  , в левой полуплоскости .

Функция   представляет собой прямую  , которую можно двигать вверх-вниз на p единиц. Построим график заданной функции и подвигаем по нему прямую :

К задаче 3

Видим, что между двумя крайними положениями прямой  , показанными синим цветом,  то есть при   и  , когда имеем только одну общую точку, располагаются прямые, имеющие с графиком функции две общие точки. Тогда две общие точки будем иметь при  .

Ответ:  .

Пример 4. Задача из пособия “Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В.” Контрольный вариант, задача 23.

Постройте график функции . Найдите все значения а, при которых прямая  имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точек (-2) и (3), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Теперь упростим выражение, задающее график функции:

 Разложим числитель на множители: , где  .

, .

.

.

Имеем: 

Получили параболу. Точки пересечения с осью x – (-3) и (2) – это корни уравнения . Вершина параболы:  в точке (-0.5; -6.25). Не забудем о двух выколотых точках! Строим:

К задаче 4

Таким образом, если прямая  пройдет через эти выколотые точки, то она неминуемо пересечет только одну ветвь параболы. Тогда необходимо определить ординаты выколотых точек, для этого подставим их абсциссы в уравнение, задающее функцию. Получим две точки: (-2; -4) и (3; 6).

Однако надо учесть еще и то, что парабола всегда “растет” быстрее прямой, поэтому, если прямая пройдет через вершину параболы и через начало координат, то она уже не будет пересекаться с параболой вверху, просто “не догонит”. Поэтому еще один вариант ответа – .

Ответ: с=-4 и с=6.

Ну и напоследок, как всегда, самое вкусное! Задачу принес ученик, она попалась ему на пробном ОГЭ 13 марта.

Пример 5. Постройте график функции  и определите по графику, сколько общих точек будет иметь график этой функции с прямой   при различных значениях параметра с.

Трудно себе представить вот так, сразу, без подготовки, что называется, “на вскидку”, как будет выглядеть график этой функции. Но мы видим модуль – это часто делает функцию кусочной. То есть на одном интервале она задается одним выражением, а на другом интервале – другим. Поэтому прежде всего нужно определить, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Для этого приведем оба слагаемых подмодульного выражения к одному знаменателю:. Теперь приравняем к нулю числитель и знаменатель полученного выражения:

 , 

, 

Нарисуем строго друг под другом числовые прямые и покажем на них динамику смены знака числителем и знаменателем, тогда можно будет определить, где и как меняет знак все подмодульное выражение.

Раскрываем модуль

На луче (  раскроем модуль с отрицательным знаком, на интервале (-2;0) – с положительным, на полуинтервале (0;2] вновь с отрицательным, и, наконец, на луче  – также с положительным. Тогда:

На первом и третьем:  

На втором и четвертом: 

Строим функцию по интервалам:

К задаче 5

Тогда становится видно, что при с=-1 и с=1 имеем одну точку пересечения, при  и  – два, а при ) – ни одного.

С3 ГИА – построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент ). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции: 

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: Откуда  и . Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой:  и решить это уравнение:   Тогда касание произойдет в точке   и симметричной ей точке .

Задача 2. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком три или более общие точки.

График, который подвергнется преобразованиям

Преобразованный график

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график , затем – график функции , и, наконец, искомый – : Парабола с ветвями, направленными вверх, стандартной формы, координаты вершины (2;-1) Теперь построим график . Поскольку модуль берется от всего выражения, то, чтобы получить этот график, нужно отразить вверх симметрично относительно оси х все точки, имеющие отрицательную ординату. И, наконец, поставив минус, мы “перевернем” весь график вверх тормашками:

“Опрокидываем” преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая   – а это прямая, параллельная оси абсцисс –  будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если , то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при  точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: [-1;0)

Задача 3. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним три и более общие точки.

Исходный график

Окончательный вид

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх:   Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики  и   будут иметь при (0;9]

Задача 4. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них – прямая, второй – парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй – правее этой точки. Нарисуем эти графики:

Кусочная функция

Координаты вершины параболы:  ;  

Красным показаны прямые   и   – именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ:  ,  .

 Задача 5. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: . Теперь попробуем упростить данное выражение:

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции  , не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент  меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти, каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти : , откуда . Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения:  , и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций:   Откуда  и  Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой:  и решить это уравнение:   Тогда касание произойдет в точке   и симметричной ей точке . Ответ: ,   и  .

Задача 6. Построить график функции  и определить, при каких значениях  он не имеет общих точек с  графиком функции .

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: ,  . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение:   – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка  – выколотая точка. В точке  гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая   пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем : для этого определим ординату выколотой точки:  : Ответ:  .

Задача 7. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком 1 общую точку.

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: ,  . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение:   – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка  – выколота. В точке гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая   пройдет через выколотую точку, графики  будут иметь одну общую точку. Найдем : для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и  ординату выколотой точки:  ,  : Ответ: 

Задача 8. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним 2 общие точки.

Построение функции с модулем

Эта функция – функция типа , и чтобы построить график данной функции, необходимо отразить всю часть графика, расположенную справа от оси х, налево: Тогда, если , то график  коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть  – один из ответов. Также, если   пересечет обе ветви параболы, то есть все  нас устраивают. Ответ: ,.

Задача 9. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  не имеет с ним общих точек.

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: . Теперь можно упростить выражение: .

График представлен на рисунке. Не забудем про выколотую точку – это точка с координатами (2;4). Поэтому, если прямая  пройдет именно через эту точку, она не  будет иметь  общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак:   и   Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1.  2.  3. Тогда наша функция – кусочно-линейная: .

Она выглядит так:

Кусочно-линейная функция

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой  . При таком расположении прямой , и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция  будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: ).

Задача 11. При каких  вершины парабол  и  расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй – положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая – нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого – отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

.

Или же наоборот: . Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

Тогда имеем систему неравенств:

 – решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

 – в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – , , 

Мы рассмотрели один способ решения – с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания – с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. 

2. 

Ординаты вершин должны иметь один знак по условию, тогда имеем систему неравенств:

 – вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

Решение этого неравенства и есть ответ задачи: 

До встречи в новых постах, удачи на экзаменах!