разработка урока по теме: "Решение логарифмических уравнений различными методами"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

 Валентина Овчинникова

Разработка урока по теме "Решение логарифмических уравнений различными способами"

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл reshenie_logarifmicheskih_uravneniy_razlichnymi_metodami.docx50.66 КБ

Предварительный просмотр:


РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

Цели: выделить основные методы решения логарифмических уравнений;  формирование  умения  решать  логарифмические  уравнения  методами подстановки, логарифмирования и функционально-графическим методом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решить уравнение.

а) log 5 x = 2;                                        б) log 0,4 x = –1;

в) log 9 x = –;                                        г) lg x = 2;

д) log 2 x = log 2 3 + log 2 5;                        е) log 3 (x2 + 1) = 0.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

Решите уравнение.

1. log 2 (4x + 5) = log 2 (9 – 2x).

2. log 3 (x2 – 5x – 23) = 0.

3. lg (x + 2) + lg (x – 2) = lg (5x + 10).

Вариант 2

Решите уравнение.

1. log 5 (3x – 4) = log 5 (12 – 5x).

2. log 3 (x2 + 3x – 7) = 1.

3. lg (x – 1) + lg (x + 1) = lg (9x + 9).

Вариант 3

Решите уравнение.

1. lg (5x – 4) = lg (1 – x).

2. (x2 + 3x – 9) = –2.

3. 1 + log 2 (x + 1) = log 2 (7x + 2) – log 2 (x – 1).

Вариант 4

Решите уравнение.

1. lg (3x – 10) = lg (7 – 2x).

2. log 0,5 (x2 – 4x + 20) = –5.

3. 1 + log 3 (x – 2) = log 3 16x – log 3 (x + 2).

IV. Объяснение нового материала.

1. При выполнении устной и проверочной работы учащиеся использовали метод потенцирования для решения логарифмических уравнений. Проговариваем последовательность шагов, реализующих этот метод.

2. Рассматриваем пример 3 со с. 264 учебника. Замечаем, что, введя новую переменную y = lg x, мы получаем дробное рациональное уравнение относительно переменной y (y  1). Решая его, получаем корень у = 2 и делаем обратную подстановку: lg x = 2, значит, х = 100.

Методом подстановки можно решать логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональным, иррациональным и другим видам уравнений.

3. Решаем уравнение: log 2 x = 1 – x2.

Данное уравнение решается функционально-графическим методом. Учащиеся должны «видеть» такие уравнения. Если в обеих частях уравнения стоят функции «разного» характера (логарифмическая и квадратичная), то решать потенцированием мы не сможем. Строим в одной координатной плоскости графики функций y = log 2 x и y = 1 – x2 и находим абсциссы точек пересечения графиков.

Графики функции пересекаются (в силу характера монотонности обеих функций) в единственной точке с абсциссой равной 1. Значит, уравнение имеет единственное решение х = 1.

4. Рассматриваем пример 4 со с. 265 учебника. Вспоминаем, что действием обратным потенцированию является логарифмирование обеих частей уравнения. Замечаем, что для применения этого метода необходимо соблюдение двух условий:

а) обе части уравнения должны принимать только положительные значения;

б) выбор основания логарифма зависит от исходного выражения, мы должны получить в итоге логарифмическое уравнение, которое можем решить методом подстановки.

5. На основании систематизированного материала формулируем и выносим на доску следующую запись.

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1. Функционально-графический метод.

2. Метод потенцирования.

3. Метод введения новой переменной.

4*. Метод логарифмирования, как метод сведения уравнения к логарифмическому.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на формирование умения решать логарифмические уравнения методом подстановки (1 группа); функционально-графическим методом (2 группа) и методом логарифмирования (3 группа). Решению уравнений методом потенцирования были посвящены прошлый урок и проверочная работа.

Решение:

1 группа

№ 44.6, № 44.12, № 44.13 (а; б), № 44.14 (а).

№ 44.6.

а)  – 4 log 4 x + 3 = 0.

Пусть y = log 2 x, тогда        y2 – 4y + 3 = 0;

                                        у1 = 3;   у2 = 1.

Проведем обратную подстановку.

log 2 x = 3        или                log 2 x = 1;

х = 23;                                х = 21;

х = 8.                                х = 2.

б)  – log 4 x – 2 = 0.

Пусть y = log 4 x, тогда        y2 – y – 2 = 0;

                                        у1 = –1;   у2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 4 x = –1        или                log 4 x = 2;

х = 4–1;                                х = 42;

х = 0,25.                                х = 16.

в) x + 2 = 0.

Пусть y = x, тогда        y2 + 3y + 2 = 0;

                                        у1 = –2;   у2 = –1.

Проведем обратную подстановку.

x = –2        или                x = –1;

х = ;                        х = ;

х = 4.                                х = 2.

г)  + log 0,2 x – 6 = 0.

Пусть y = log 0,2 x, тогда        y2 + y – 6 = 0;

                                        у1 = –3;   у2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 0,2 x = –3        или                log 0,2 x = 2;

х = (0,2)–3;                        х = 0,22;

х = 125.                                х = 0,04.

Ответ: а) 2; 8; б) 0,25; 16; в) 2; 4; г) 0,04; 125.

№ 44.12.

а) log x (2х2 + х – 2) = 3.

По определению 2х2 + х – 2 = х3,   где

х3 – 2х2 – х + 2 = 0;

х2 (х – 2) – (х – 2) = 0;

(х – 2)(х2 – 1) = 0;

(х – 2)(х – 1)(х + 1) = 0;

х1 = 2      или      х2 = 1      или      х3 = –1.

ОДЗ удовлетворяет только корень х = 2.

б) log x – 1 (12х – х2 – 19) = 3.

По определению 12х – х2 – 19 = (х – 1)3,   где

12х – х2 – 19 = х3 – 3х2 + 3х – 1;

х3 – 2х2 – 9х + 18 = 0;

х2(х – 2) – 9(х – 2) = 0;

(х – 2)(х2 – 9) = 0;

(х – 2)(х – 3)(х + 3) = 0;

х1 = 2      или      х2 = 3      или      х3 = –3.

ОДЗ удовлетворяет только корень х = 3.

Ответ: а) 2; б) 3.

№ 44.13 (а).

lg2 x – lg x + 1 = ;

lg2 x – lg x + 1 = .

Пусть y = lg x, тогда  y2 – y + 1 =    
     
          y = 2.

Проведем обратную подстановку.

lg x = 2;   x = 100.

Ответ: а) 100.

№ 44.14 (а).

lg 100x · lg x = –1;

(2 + lg x) · lg x + 1 = 0;

2 lg x + lg2 x + 1 = 0;

lg2 x + 2 lg x + 1 = 0.

Пусть y = lg x, тогда  y2 + 2y + 1 = 0;

                                 у = –1.

Проведем обратную подстановку.

lg x = –1;

х = 0,1.

2 группа

Задание. Решить графически уравнения.

а) log 3 x = 4 – x;                        б) log 0,5 x = x – 3;

в) ;                        г) 10 log 4 x + x2 = .

3 группа

№ 44.16 (а).

= 81.

Прологарифмируем обе части уравнения (основание логарифма равно 3).

log 3= log 3 81;

log 3 x · log 3 x = 4;

 = 4;

log 3 x = 2        или                log 3 x = –2;

х = 9.                                х = .

Ответ: а) ;  9.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какие основные методы решения логарифмических уравнений существуют?

– В чем сущность функционально-графического метода? Назовите основные этапы решения логарифмических уравнений этим методом.

– Какие логарифмические уравнения можно решить методом подстановки?

– В чем сущность метода логарифмирования? Каким образом определяем основание логарифма?

Домашнее задание:  № 44.7,  № 44.13  (в; г),  № 44.14  (б),  № 44.15, № 44.17.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме "Решение дробных рациональных уравнений"

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых дей...

Разработка урока по теме: «Решение неполных квадратных уравнений»

Цель урока:систематизация знаний по данной теме;контроль усвоения знаний.Задачи:образовательные:научить учащихся решать неполные квадратные уравнения, создавать условия для воспроизведения в памяти уч...

Разработка бинарного урока на тему: «Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера»

Достижения профессиональной компетентности обучающегося ГАОУ СПО «Нижнекамский политехнический колледж им.Е.Н.Королева» обеспечивается интеграцией двух групп компетенций: профессиональных и общи...

Разработка урока по теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений, применяя метод подобия. ( первый урок по теме)» (8 класс)

На уроке показано, как для решения задачи можно применять подобие треугольников.Данная разработка урока содержит технологическую карту....

Разработка урока по теме "Решение систем линейных уравнений"

Данная  разработка поможет  учителям  математики  в  интересной  форме  провести урок....