разработка урока по теме: "Решение логарифмических уравнений различными методами"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

Цели: выделить основные методы решения логарифмических уравнений;  формирование  умения  решать  логарифмические  уравнения  методами подстановки, логарифмирования и функционально-графическим методом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решить уравнение.

а) log 5 x = 2;                                        б) log 0,4 x = –1;

в) log 9 x = –;                                        г) lg x = 2;

д) log 2 x = log 2 3 + log 2 5;                        е) log 3 (x2 + 1) = 0.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

Решите уравнение.

1. log 2 (4x + 5) = log 2 (9 – 2x).

2. log 3 (x2 – 5x – 23) = 0.

3. lg (x + 2) + lg (x – 2) = lg (5x + 10).

Вариант 2

Решите уравнение.

1. log 5 (3x – 4) = log 5 (12 – 5x).

2. log 3 (x2 + 3x – 7) = 1.

3. lg (x – 1) + lg (x + 1) = lg (9x + 9).

Вариант 3

Решите уравнение.

1. lg (5x – 4) = lg (1 – x).

2. (x2 + 3x – 9) = –2.

3. 1 + log 2 (x + 1) = log 2 (7x + 2) – log 2 (x – 1).

Вариант 4

Решите уравнение.

1. lg (3x – 10) = lg (7 – 2x).

2. log 0,5 (x2 – 4x + 20) = –5.

3. 1 + log 3 (x – 2) = log 3 16x – log 3 (x + 2).

IV. Объяснение нового материала.

1. При выполнении устной и проверочной работы учащиеся использовали метод потенцирования для решения логарифмических уравнений. Проговариваем последовательность шагов, реализующих этот метод.

2. Рассматриваем пример 3 со с. 264 учебника. Замечаем, что, введя новую переменную y = lg x, мы получаем дробное рациональное уравнение относительно переменной y (y ≠ 1). Решая его, получаем корень у = 2 и делаем обратную подстановку: lg x = 2, значит, х = 100.

Методом подстановки можно решать логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональным, иррациональным и другим видам уравнений.

3. Решаем уравнение: log 2 x = 1 – x2.

Данное уравнение решается функционально-графическим методом. Учащиеся должны «видеть» такие уравнения. Если в обеих частях уравнения стоят функции «разного» характера (логарифмическая и квадратичная), то решать потенцированием мы не сможем. Строим в одной координатной плоскости графики функций y = log 2 x и y = 1 – x2 и находим абсциссы точек пересечения графиков.

Графики функции пересекаются (в силу характера монотонности обеих функций) в единственной точке с абсциссой равной 1. Значит, уравнение имеет единственное решение х = 1.

4. Рассматриваем пример 4 со с. 265 учебника. Вспоминаем, что действием обратным потенцированию является логарифмирование обеих частей уравнения. Замечаем, что для применения этого метода необходимо соблюдение двух условий:

а) обе части уравнения должны принимать только положительные значения;

б) выбор основания логарифма зависит от исходного выражения, мы должны получить в итоге логарифмическое уравнение, которое можем решить методом подстановки.

5. На основании систематизированного материала формулируем и выносим на доску следующую запись.

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1. Функционально-графический метод.

2. Метод потенцирования.

3. Метод введения новой переменной.

4*. Метод логарифмирования, как метод сведения уравнения к логарифмическому.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на формирование умения решать логарифмические уравнения методом подстановки (1 группа); функционально-графическим методом (2 группа) и методом логарифмирования (3 группа). Решению уравнений методом потенцирования были посвящены прошлый урок и проверочная работа.

Решение:

1 группа

№ 44.6, № 44.12, № 44.13 (а; б), № 44.14 (а).

№ 44.6.

а)  – 4 log 4 x + 3 = 0.

Пусть y = log 2 x, тогда        y2 – 4y + 3 = 0;

                                        у1 = 3;   у2 = 1.

Проведем обратную подстановку.

log 2 x = 3        или                log 2 x = 1;

х = 23;                                х = 21;

х = 8.                                х = 2.

б)  – log 4 x – 2 = 0.

Пусть y = log 4 x, тогда        y2 – y – 2 = 0;

                                        у1 = –1;   у2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 4 x = –1        или                log 4 x = 2;

х = 4–1;                                х = 42;

х = 0,25.                                х = 16.

в) x + 2 = 0.

Пусть y = x, тогда        y2 + 3y + 2 = 0;

                                        у1 = –2;   у2 = –1.

Проведем обратную подстановку.

x = –2        или                x = –1;

х = ;                        х = ;

х = 4.                                х = 2.

г)  + log 0,2 x – 6 = 0.

Пусть y = log 0,2 x, тогда        y2 + y – 6 = 0;

                                        у1 = –3;   у2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 0,2 x = –3        или                log 0,2 x = 2;

х = (0,2)–3;                        х = 0,22;

х = 125.                                х = 0,04.

Ответ: а) 2; 8; б) 0,25; 16; в) 2; 4; г) 0,04; 125.

№ 44.12.

а) log x (2х2 + х – 2) = 3.

По определению 2х2 + х – 2 = х3,   где

х3 – 2х2 – х + 2 = 0;

х2 (х – 2) – (х – 2) = 0;

(х – 2)(х2 – 1) = 0;

(х – 2)(х – 1)(х + 1) = 0;

х1 = 2      или      х2 = 1      или      х3 = –1.

ОДЗ удовлетворяет только корень х = 2.

б) log x – 1 (12х – х2 – 19) = 3.

По определению 12х – х2 – 19 = (х – 1)3,   где

12х – х2 – 19 = х3 – 3х2 + 3х – 1;

х3 – 2х2 – 9х + 18 = 0;

х2(х – 2) – 9(х – 2) = 0;

(х – 2)(х2 – 9) = 0;

(х – 2)(х – 3)(х + 3) = 0;

х1 = 2      или      х2 = 3      или      х3 = –3.

ОДЗ удовлетворяет только корень х = 3.

Ответ: а) 2; б) 3.

№ 44.13 (а).

lg2 x – lg x + 1 = ;

lg2 x – lg x + 1 = .

Пусть y = lg x, тогда  y2 – y + 1 =    ⇔
⇔     ⇔
⇔      ⇔    y = 2.

Проведем обратную подстановку.

lg x = 2;   x = 100.

Ответ: а) 100.

№ 44.14 (а).

lg 100x · lg x = –1;

(2 + lg x) · lg x + 1 = 0;

2 lg x + lg2 x + 1 = 0;

lg2 x + 2 lg x + 1 = 0.

Пусть y = lg x, тогда  y2 + 2y + 1 = 0;

                                 у = –1.

Проведем обратную подстановку.

lg x = –1;

х = 0,1.

2 группа

Задание. Решить графически уравнения.

а) log 3 x = 4 – x;                        б) log 0,5 x = x – 3;

в) ;                        г) 10 log 4 x + x2 = .

3 группа

№ 44.16 (а).

= 81.

Прологарифмируем обе части уравнения (основание логарифма равно 3).

log 3= log 3 81;

log 3 x · log 3 x = 4;

 = 4;

log 3 x = 2        или                log 3 x = –2;

х = 9.                                х = .

Ответ: а) ;  9.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какие основные методы решения логарифмических уравнений существуют?

– В чем сущность функционально-графического метода? Назовите основные этапы решения логарифмических уравнений этим методом.

– Какие логарифмические уравнения можно решить методом подстановки?

– В чем сущность метода логарифмирования? Каким образом определяем основание логарифма?

Домашнее задание:  № 44.7,  № 44.13  (в; г),  № 44.14  (б),  № 44.15, № 44.17.