Обобщающий урок по теме "Формулы сокращенного умножения"
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Этап урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД*

1.

Организационный момент.

Создать благоприятный  психологический настрой на  работу

Рассказывает о своем интересе к совместной деятельности

ХОЧУ: 

    хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний

МОГУ: 

   сообщаю, что на уроке можно смело высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач,  консультироваться с товарищами,  и даже сомневаться, и ошибаться в чем – то

УМЕЮ: 

    вы научитесь выполнять преобразования выражений при помощи формул сокращенного умножения

ДЕЛАЮ: 

   делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», и все вместе сегодня мы движемся только вперед

Проецируют действия «хочу», «могу», «умею» и «делаю» на свои ожидания от урока. Высказывают  свои прогнозы на урок, характеризуют личностные ожидания.

Л:самоопределение.

Р:прогнозирование.

К:планирование совместной деятельности с учителем и одноклассниками.

2.

Устная работа.

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Предъявляет учащимся задания (на слайдах); контролирует и оценивает  ответы.

1.Найти квадраты выражений b; -3a; 15xy;0,4cb. 

2.Как можно назвать эти выражения? (Одночлены.)

3.Найти произведение одночленов  m и 2; x2 u 3y; 2a и 5y .

4.Найти удвоенное произведение одночленов  m и 2; x2 u 3y; 2a и 5y.

5.Прочитать выражение: a) a+b (сумма a и b)                                     б) (x+y)2 (квадрат суммы x и y)                                      в) m2+n2 (сумма квадратов m и n)                                     г) 2ab (удвоенное произведение a и b)                                         д) (x-y)2 (квадрат разности x и y).

6.Записать по описанию алгебраические выражения:

а) сумма квадратов чисел m и n;                         б) квадрат разности чисел а и в;
в) разность квадратов чисел z и v;
г) квадрат суммы чисел p и d;

д) удвоенное произведение u и h.

Отвечают на вопросы (устно, письменно); участвуют в  обсуждении и оценке ответов.

Л:самооценка  психологических возможностей.

К:конкретизация планов взаимодействия с учителем и одноклассниками.

Р:самоорганизация, готовность к самоуправлению.

П:логический анализ объектов с целью выявления существенных признаков.

3.

Формулировка гипотезы и доказательство формул.

Обеспечить участие всех учащихся в выработке гипотезы и  ее доказательстве.

Рассказывает, координирует деятельность учащихся,  оценивает результаты.

При изучении темы “Умножения многочлена на многочлен” необходимо постоянно следить за правильностью выполнения умножения многочлена на многочлен, приводить подобные слагаемые. Как видно по результатам контрольной работы не всем это удается выполнять без ошибок и возникает вопрос “А нельзя ли хотя бы в каких-то случаях упростить данное действие?” Есть ли какой либо другой более удобный способ выполнить умножение  двучленов? Оказывается, такой вопрос существовал около 4 тыс. лет тому назад. Давайте и мы постараемся ответить на него.

Предъявляет задания:

Задание 1.

Перемножьте пары двучленов, приведённых в 1 столбце, а ответ запишите в 3 столбец, в упрощённом виде.

Задание 2.

Выполните умножение. Ученики выполняют задание в группах.

           1.        (а + 3)(а + 3)

           2.        (а – 3)(а – 3)

     3.        (3 – а)(3 – а)

     4.        (-а – 3)(-а – 3)

     5.        (2 - х)(2 - х)

     6.        (х - 2)(х - 2)

        Давайте сравним полученные результаты и выдвинем гипотезы (предположение).

        Есть ли нечто общее в условиях и в ответах предложенных упражнений и можно ли выражение, стоящее в левом столбце, записать короче? Как это сделать?

        Прочитайте выражение, стоящее в среднем столбце. Читает 1 группа, потом 2-я, потом 3-я, потом 4-я. Давайте сравним полученные результаты и выдвинем гипотезы (предположение).

Итак, на уроке мы сформулировали и доказали четыре формулы.

 1. (а – в)2 = а2 – 2ав + в2;

2.(а + в)2 = а2 + 2ав + в2;

3.(а – в)2 = (в – а)2;

4.(а + в)2 = (-а – в)2.

           Эти формулы относятся к формулам сокращенного умножения, которые были известны еще около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно и геометрически.

           У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ав”, а “прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в”.Например, тождество (а + в)2 = а2 + 2ав + в2 во второй книге “Начал” Евклида (3 век до н.э. формулировалось так: “Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками”. Доказательство опиралось на геометрические соображения. Выполните рисунок.        

          Итак, тема нашего урока "Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений". Запишем её в тетради.

Выполняют задания:

Задание 1.

Перемножьте пары двучленов, приведённых в 1 столбце, а ответ запишите в 3 столбец, в упрощённом виде.

Задание 2.

Выполните умножение. Ученики выполняют задание в группах. (слайд №12)

           1.        (а + 3)(а + 3)

           2.        (а – 3)(а – 3)

     3.        (3 – а)(3 – а)

     4.        (-а – 3)(-а – 3)

     5.        (2 - х)(2 - х)

     6.        (х - 2)(х - 2)

Записывают гипотезы:

 1. (а – в)2 = а2 – 2ав + в2;

2.(а + в)2 = а2 + 2ав + в2;

3.(а – в)2 = (в – а)2;

4.(а + в)2 = (-а – в)2.

Выполняют рисунок и  осуществляют доказательство гипотезы (формул) геометрическим методом.

Формулируют тему урока (совместно с учителем и соглдасно гипотезе)

Л:психологический комфорт.

Р:актуализация опыта самообразования в форме проектной деятельности.

П:постановка и формулирование проблемы; ознакомление с  формулами  сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности».

К:участие в совместной проектной деятельности (выдвижение и доказательство гипотезы) с классом и учителем.

4.

Первичное закрепление изученного материала.

Обеспечить мотивацию учащихся к практическому применению теории посредством разнообразных упражнений и использования творческих заданий в ходе фронтальной и групповой работы.

Предлагает задания творческого характера, организует тренинг учащихся по доказанным формулам. Организует  взаимодействие учащихся с учителем и в парах.

Задание 3. Придумайте по одному примеру на применение этих формул.

     Чтобы знания можно было эффективно применить, нужно, чтобы они были прочно усвоены.

Древняя китайская мудрость гласит: “Я слышу - я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю”.

- Вернемся к высказыванию китайских мудрецов, справедливо ли оно?

Откройте тетради. Решаем №799(а, в, ж). . Выполняйте:

а) (х+у)2 =  x2+2ху+у2,

в) (в+3)2 =  в2+6в+9,

ж) (а+12)2 = а2+24а+144.

Поменяйтесь тетрадями, проверьте все ли правильно у вашего соседа по парте.

Задание 4.  Вам предстоит правильно поставить знаки “+” или “-” в следующих формулах (записать только ответы):

Задание 5. В древности были известны только пять планет видимые невооружённым глазом. Замените заданные выражения многочленами стандартного вида. Используя найденные ответы и данные таблицы, узнайте, какие это были планеты.

• (х + а)2 
• ( а - 2х)2
• (х + 2а)2
• (2х - 3а)2
• (а2 - х)2

Остальные три планеты _________, _________, и _________ - были открыты за последние 200 лет.

Задание 6. На этих формулах основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

          Как найти 712? (возможные варианты ответов: перемножить, по таблице квадратов).Перемножить долго, а таблицы квадратов нет. Как быть?

Образец. 712= (70 + 1)2= 702 + 270 + 12= 4900 + 140 + 1=5401.

Закончите решение. 

       692= (70 - 1)2= :

                                                                 1022 = ( 100 + 2)2= :

Выполняют задания, участвуют во взаимооценке работы (взаимооценка в парах).

Задание 3. Придумайте по одному примеру на применение этих формул.

Решают № 799(а, в, ж) по учебнику.  Выполняют задания:

а) (х+у)2 =  x2+2ху+у2,

в) (в+3)2 =  в2+6в+9,

ж) (а+12)2 = а2+24а+144.

Меняются  тетрадями, и проверяют работу соседа по парте.

Задание 4.  Расставить знаки “+” или “-” в следующих формулах (записать только ответы):

Задание 5. В древности были известны только пять планет видимые невооружённым глазом. Замените заданные выражения многочленами стандартного вида. Используя найденные ответы и данные таблицы, узнайте, какие это были планеты.

• (х + а)2 
• ( а - 2х)2
• (х + 2а)2
• (2х - 3а)2
• (а2 - х)2

Остальные три планеты _________, _________, и _________ - были открыты за последние 200 лет.

Задание 6. На этих формулах основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

   Как найти 712? (возможные варианты ответов: перемножить, по таблице квадратов).Перемножить долго, а таблицы квадратов нет. Как быть?

Изучают образец. 712= (70 + 1)2= 702 + 270 + 12= 4900 + 140 + 1=5401.

Завершают  решение.   

 692= (70 - 1)2= :

                                                                 1022 = ( 100 + 2)2= :

Л:возможность для реализации личностных потенциалов в ходе разнообразной деятельности.

Р:целеполагание в ходе разнообразной деятельности.

П:освоение навыков использования  формул  сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности».

К:освоение опыта взаимодействия с учителем и одноклассниками в  разнообразных видах деятельности.

5.

Работа в группах.

Организовать взаимодействие учащихся  при изучении  опыта применения новых знаний в составе малых групп.

Распределяет учащихся по группам (группы равноценны по  интеллектуальным возможностям). Координирует работу групп. Организует представление группами результатов работы и их коллективное оценивание.

Группы получают следующие задания:

Задание 7.Дополните записи:

1) … – 4b2 = (a – …)(a – …)
2) (a + …)2 = … + … + 9
3) m2 – 20m + … = (m – …)2
Представьте выражение

(x + 4)2 в виде многочлена:

1. x2 +16
2. x2 + 4x + 16
3. x2 + 8x + 16

Представьте выражение (а-9)2  в виде многочлена:

1. a2 – 81
2. a2 – 18а + 81
3. a2 – 9a + 81

Задание 8.  Соотнесите:

Ответы: А8, Б3, В5, Г1, Д6, Е7, Ж2, З4.

Выполняют задания:

Задание 7.Дополните записи :

1) … – 4b2 = (a – …)(a – …)
2) (a + …)2 = … + … + 9
3) m2 – 20m + … = (m – …)2
Представьте выражение

(x + 4)2 в виде многочлена:

1. x2 +16
2. x2 + 4x + 16
3. x2 + 8x + 16

Представьте выражение (а-9)2  в виде многочлена:

1. a2 – 81
2. a2 – 18а + 81
3. a2 – 9a + 81

Задание 8.  Соотнесите:

Ответы: А8, Б3, В5, Г1, Д6, Е7, Ж2, З4.

Участвуют в представлении группами  результатов работы. Участвуют в оценке результатов работы групп.

Л:самоопределение.

П:структурирование знаний; изучение частных случаев применения формул сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности».

Р:освоение  определенной роли в составе группы (координатор,  организатор, секретарь или др.).

К:опыт сотрудничества с одноклассниками.

6.

Закрепление изученного.

Обеспечить закрепление изученного материала.

Организует совместную деятельность учащихся по закреплению изученного. Диагностирует затруднения и ликвидирует пробелы.

Задание 9.  

№ 806 вместе выполняем на доске и в тетрадях.

Из выражений (у – х)2, (у + х)2, (-y + x)2, (-x + y)2, (-x – y)2 выберите те, которые тождественно равны выражению:

а) (х + у)2;
б) (х – у)2.

Задание 10. Ученику нужно найти ошибку в каждом равенстве и исправить ее. 

1) (3х + у)2= 9х2 – 6ху + у2 (вместо -6ху должно быть +6ху).
2) (6a – 9c)2 = 36a2 – 54ac + 81c2 (вместо -54ac должно быть -108ac).
Вызывает учеников к доске исправить ошибки в записях.

Задание 11. Работа в парах.  Заполните пропуски, чтобы получились верные равенства.

Выполняют задания:

Задание 9.  № 806 (1 чел. – у доски)

Из выражений (у – х)2, (у + х)2, (-y + x)2, (-x + y)2, (-x – y)2 выберите те, которые тождественно равны выражению:

а) (х + у)2;
б) (х – у)2.

Задание 10. Исправляют ошибку в каждом равенстве. 

1) (3х + у)2= 9х2 – 6ху + у2 2) (6a – 9c)2 = 36a2 – 54ac + 81c2       Проговаривают формулы и правила.

Задание 11. Работа в парах.  Заполните пропуски, чтобы получились верные равенства.

Учащиеся меняются тетрадями и проверяют задания друг у друга, сравнивая с ответами на доске.

Л:удовлетворенность положительными результатами деятельности.

П:оптимизация  способов решения познавательных задач. предупреждение   неверного применения теории.

Р:постановка вопросов.

К:опыт взаимодействия с учителем и одноклассниками на этапе закрепления навыков.

7.

Исследовательская работа.

Акцентировать внимание учащихся на творческом воплощении на практике  изученных теоретических положений.

Предлагает  классу ознакомиться с результатами исследовательской работы, выполненной творческой группой учащихся до урока.

Знакомятся с интересными фактами и обстоятельствами применения указанной теории. Подробное описание исследовательской работы имеется в  сценарии урока.

Л:эмоциональное восприятие материала.

П:ознакомление с  возможностями применения формул сокращенного умножения при решении творческих задач.

Р:соотнесение  опыта деятельности с внешними образцами.

К:опыт взаимодействия с авторами актуальной информации, проявляющими повышенный интерес к изучению математики.

8.

Рефлексия.

Организовать рефлексию, осмысление  выполненной работы.

Учащимся можно предложить заполнить небольшую анкету (выбранный ответ учение подчеркивает). Можно попросить учеников аргументировать свой выбор.

Отвечают на вопросы:

1. На уроке я работал                  активно / пассивно

 2. Своей работой на уроке я      доволен / не доволен

3. Урок для меня показался       коротким / длинным

 4. За урок я                                  не устал / устал

 5. Мое настроение                     стало  лучше / стало хуже

 6. Материал урока мне был       понятен / не понятен

                                                      полезен / бесполезен

                                                      интересен / скучен

Л:осмысленное отношение к своей роли на уроке.

П:самооценка деятельности.

Р:обращение к внутреннему  критерию успешности деятельности; оценка деятельности.

К:соотнесение личной и групповой рефлексивных оценок.

9.

Задание на дом. Подведение итогов.

Подвести итоги урока.

Комментирует домашнее задание.

Записывают домашнее задание:

п. 32 квадрат суммы и квадрат разности, п. 33 контрольные вопросы 1, 2, 3 № 803, № 805, № 812.

Для желающих: представить в виде суммы

(a + b)4;   (a + b)5,

Р:планирование деятельности по дальнейшему изучению  темы.

К:планирование учебного сотрудничества.

П:планирование процесса  использования и поиска предметной информации о формулах сокращенного умножения.