Биквадратные уравнения
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Урок по алгебре 9 класса по теме: «Биквадратные уравнения»

План урока

1. Устная работа.
2. Объяснение нового материала.
3. № 278 (а).
4. Составление алгоритма.
5. № 278 (в) (I, II способы).
6. № 278 (б) (С помощью выделения квадрата двучлена).
7. Графический способ решения биквадратных уравнений.
8. Биквадратное уравнение со знаком модуля.
9. Самостоятельная работа.

Ход урока

Устная работа

1. Представьте  в виде квадрата двучлена квадратный трехчлен

4 + 12х + 9

2. Замените ☺ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена.

 + 20b + ☺

А теперь представьте данный квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена

    –  квадрат суммы  b и 10.

3. Выделите квадрат двухчлена из квадратного трехчлена:

  – 6х – 2

Объяснение

На предыдущем уроке мы с вами решали уравнения методом введения новой переменной.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид:      + b  + C = 0 (пишу на доске).

Уравнения вида:       + b  + C = 0, где   0, являющиеся квадратными относительно , называют биквадратными уравнениями (“би”, т.е. два, значит дважды квадрат).

Сегодня на уроке мы будем учиться решать биквадратные уравнения. И начнем с примера.

Запишем:   9 – 10 + 1 = 0    –   биквадратное уравнение.

Обозначим  через y. Запишем:

Пусть  = y, где  y0, (т.к.  всегда принимает неотрицательные значения). Следовательно уравнение х сведется к переменной y :

9 – 10y + 1 = 0,

D = 100 – 49 = 64, D  0,

Таким образом,    ,  1 0

       или    

 ,  

Ответ: ;  ; ;

№ 222 (а)

А теперь решаем 222 (а). ( Решает ученик у доски)

а)

Пусть =у, где у0 , тогда

D=25 – 4*(–36)= 169, D > 0,

   не удовлетворяет условию у0

Ответ:  – 3; 3.

А теперь давайте составим алгоритм решения  биквадратных уравнений.

 + b  + C = 0, где   0

Пусть =у, где у0 , тогда

 + b + C = 0

1. D > 0, два корня

Если , то =, =

Если , то =, =

2. D = 0, один корень

Если , то =, =

Если у < 0, то уравнение не имеет корней

3. D < 0, нет корней

№ 222 (в)

в) ,

I способ:

      Внимание !

Ребята! Обратите внимание на это уравнение:

Представим левую часть в виде квадрата двучлена

Получим

Отсюда

Ответ: нет корней.

II способ:

Посмотрите, как можно еще проще решить это уравнение.

, ,  , значит квадратный трехчлен при любом t принимает положительные значения.

Ответ: нет корней.

№ 222 (б)

Решим еще одно биквадратное уравнение

б)

Решим биквадратное уравнение выделением квадрата двухчлена:

Отсюда

 или ,

,        ,

Ответ: , , 2 , 2

Графический способ

Рассмотрим еще один способ решения биквадратных уравнений: графический

Представим данное уравнение в виде :

Построим схематически с помощью шаблонов в одной системе координат графики функций:

y  , у  ( графиком функции y  является парабола ветви которой направлены вверх с вершиной в точке с координатами (0;0), графиком функции

у  является парабола ветви, которой направлены вниз с вершиной в точке (0;6))

Они не пересекаются, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Ребята!

Но этот способ не всегда эффективен, т.к. графический способ не обеспечивает высокую точность результата

Уравнение с модулями

Решим уравнение с модулем

  если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей  равен нулю

 или

      = 0                      

                     ,   

 ,  

Ответ: 0 ,   – 2, 2 ,     

Самостоятельная работа

А теперь самостоятельная работа: два варианта.

Мне хочется посмотреть как вы усвоили новую тему и какие способы решения биквадратных уравнений вы выберете.

Вариант 1.

Вариант 2.

      Вариант 1 (ответы).

     1)4

Пусть =у, где у0 , тогда

4

D=25 – 4*4= 9, D > 0,

    или

 ,

Ответ:   ,

     2)

, ,  , значит квадратный трехчлен при любом t (x) принимает положительные значения.

Ответ: нет корней.

Вариант 2 (ответы).

Пусть =у, где у0 , тогда

D=9 – 4*(–10)= 49, D > 0,

   не удовлетворяет условию у0

Ответ:  

,

Ответ: ,

Какие же способы вы выбрали? Молодцы!

Сдал тетради.

Спасибо за урок!

Мне очень понравилось, как вы работали, но особенно хочу отметить…

Домашнее задание

п.12 № 279, 347(в), 352(а).