презентация к уроку сумма n-первых членов арифметической прогрессии
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Тема урока: Сумма n -первых членов арифметической прогрессии

Слайд 2

Цель урока: Вывести формулу суммы n -членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Слайд 3

Задачи урока: Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n -первых членов арифметической прогрессии. Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики. Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки.

Слайд 4

Арифметический диктант: У арифметической прогрессии первый член 4 (6), второй 6 (4). Найти разность d . У арифметической прогрессии первый член 6 (4), второй 2 (6). Найти третий член. Найти десятый (восьмой) член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4 (5). Является ли последовательность четных (нечетных) чисел арифметической прогрессией? (а n ) – арифметическая прогрессия. Выразите через а 1 и d а 10 ; а 100 ; а n ; а n + 1 (а 20 ; а 200 ; а 2 n ; а 2 n + 2 ). Определение арифметической прогрессии. Понятие разности арифметической прогрессии. Вывод формулы n - го члена арифметической прогрессии.

Слайд 5

Проверь себя! 1 вариант: (1) d = 2; (2) а 3 = - 2; (3) 37; (4) Да; (5) а 10 = а 1 + 9 d ; а 100 = а 1 + 99 d ; а n = а 1 + d ( n – 1); а n + 1 = a 1 + nd . 2 вариант (1) d = - 2; (2) а 3 = 8; (3) а 8 =36; (4) Да; (5) а 20 = а 1 + 19 d ; а 200 = а 1 + 199 d ; а 2 n = а 1 + d (2 n - 1). (6) Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Разность между любым ее членом, начиная со второго и предыдущим членом равна разности арифметической прогрессии.

Слайд 6

Из истории математики: С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Слайд 7

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1 + 2 + 3 + … +40. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное.

Слайд 8

Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

Слайд 9

Попытаемся найти ответ на данный вопрос.

Слайд 10

Вот схема рассуждений Гаусса. Сумма чисел в каждой паре 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41×20 = 820. Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Слайд 11

а n ) – арифметическая прогрессия. S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n -1 + a n , S n = a n + a n -1 +a n -2 + a n -3 + … =a 2 + a 1 a 2 + a n -1 = (a 1 + d) + (a n – d) = a 1 + a n , a 3 + a n -2 = (a 2 + d) + (a n -1 – d) = a 2 + a n -1 = a 1 + a n , a 4 + a n -3 = (a 3 + d) + (a n -2 – d) = a 3 + a n -2 = a 1 + a n и т . д . 2S n = (a 1 + a n ) n . S n = ( a 1 + a n ) n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. S n = (a 1 + a n ) n : 2 , a n = a 1 + d( n – 1) S n = (a 1 + a 1 + d( n -1)) n : 2 = (2a 1 + d( n – 1)) n : 2 S n = (2 a 1 + d ( n – 1)) n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Слайд 12

А теперь подобно Гауссу решим задачу о нахождении суммы натуральных чисел от 1 до 40.

Слайд 13

Тренировочные упражнения: 1. ( a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 6, a 5 = 26. Найти S 5 .

Слайд 14

Решение: S n = (а 1 +а 5 ) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S 5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80.

Слайд 15

2. (a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 12, d = - 3. Найти S 16 .

Слайд 16

Решение: S 16 = (а 1 +а 16 ):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а 16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33 Теперь вычислим сумму: S 16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168. При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой S 16 =(2а 1 + d ( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =-21:2×16 = -168. Ответ: - 168.

Слайд 17

Работа по учебнику.

Слайд 18

В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, … .

Слайд 19

Задание на дом: Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой а 1 = 6, d = 4. Найдите сумму первых n – членов арифметической прогрессии, 1,6; 1,4; …, если n = 6. Найти сумму натуральных чисел начиная с 20 по 110 включительно. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (а n ), в которой а 1 = 6, а 7 = 26.