Государственное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная Школа №134

Красногвардейского района г. Санкт-Петербурга им. Сергея Дудко

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ.

СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ

МАТЕМАТИКА

Нечаева Анна Евгеньевна,

учитель математики ГБОУ СОШ №134

г. Санкт-Петербург

2015 год

О Фибоначчи

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240)[9], известный под прозвищем Фибоначчи, сыграл роль одного из величайших математиков средневековья. Жизнь и научная деятельность Леонардо непосредственно  связана с развитием культуры и науки в Европе. Эпоха Возрождения еще не наступила, но Италия находилась в состоянии, которое можно было бы назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этот период ознаменовался правлением Фридриха II, императора Священной Римской империи. Фридрих II был воспитан в традициях южной Италии того времени и был совершенно равнодушен к развлечениям европейского христианского рыцарства. Вместо этого он устраивал математические соревнования, на которых противники соревновались не физической силой, а умением решать задачи[1].

Именно такие турниры и выявили талант Леонардо Фибоначчи. Предпосылкой этим победам стало хорошее образование, которое дал ему отец купец Боначчи, взяв его с собой на Восток и приставив к нему арабских учителей. Фибоначчи и  Фридрих II встретились в 1225 году в городе Пизе на одном из математических турниров, и это стало ключевым событием тех лет для города. Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в «Книге абака». Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе.

Значительную часть своих математических исследований Леонардо изложил в своей «Книге абака», 1202 год, которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени [6].

В трактате «Цветок», 1225 год, Фибоначчи исследовал кубическое уравнение  , предложенное ему Иоанном Палермским, придворным философом Фридриха II,  на одном из математических турниров при дворе императора. Считается, Иоанн Палермский заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений [9].

Фибоначчи свои книги в основном составлял из задач и их решений с комментариями, которые предлагались на турнирах как самим Фибоначчи, так и его соперником, Иоанном Палермским. Задачи Фибоначчи и их аналоги продолжали использоваться в различных математических учебниках несколько столетий. Они встречаются в «Сумме арифметики» Пачоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768)[9].

Спираль Фибоначчи

Спираль Фибоначчи – это некоторая кривая, которая огибает точку своего центра, приближаясь или удаляясь от неё, все зависит от направления, избранного вами. Эти фигуры могут быть как двухмерными, так и трехмерными, Спираль Фибоначчи, отличается от Золотого сечения^[1] и имеет точку начала. Беря начало в некоторой точке, такая фигура обычно разворачивается бесконечно долго.

Одним из замечательных свойств числового ряда Фибоначчи, воплощающего закон развития спирали Фибоначчи, является то, что по мере увеличения чисел ряда, отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения – отношение 1 к числу Фи ≈ 1,6180339+. Некоторые считают спираль Фибоначчи символом Солнца, а некоторые  утверждают, что в ней заключена связь между многими явлениями природы.

Считается, что Фибоначчи открыл свой знаменитый числовой ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течение некоторого периода должны родиться от одной пары, если каждый месяц от одной пары кроликов рождается еще одна пара разнополых кроликов, способных к воспроизведению уже через месяц. При подсчете и сопоставлении получилось, что в каждом следующем месяце, начиная со второго, число пар кроликов составляет цифровой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.

Число Фи считается одним из самых «красивых» во вселенной, и оно  «играет» уникальную роль - роль «краеугольного камня» в построении всего живого. Все растения, животные, и человеческие существа соответствуют физическим пропорциям, приблизительно равным корню отношения числа 1 к Фи. Число Фи получено из последовательности Фибоначчи - математической прогрессии, известной не только тем, что сумма двух соседних чисел в ней равна последующему числу, но и тем, что частное двух соседствующих чисел обладает уникальным свойством - приближается к числу к числу Фи. Можно утверждать, что число Фи – это постоянная, которая связана с реальностью глубже и загадочнее, чем число Пи. Как и у числа Пи, у Фи нет математического решения, и после запятой знаки также продолжаются до бесконечности. Особенностью числа Фи является то, что его можно отыскать в любой органической структуре: от строения костей до завитков раковин у моллюсков. Платон считал, что число Фи – «ключ к физике космоса» [2].

Рисунок 1.

Спираль Фибоначчи

Числа Фибоначчи привлекли математиков своей особенностью возникать в самых неожиданных местах. 

Приведем некоторые примеры воплощения спирали Фибоначчи в окружающем мире:

Пример 1.

Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки и соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру последующей составляет число Фи. Последовательность же спиралей, составленных из семечек по 21, 34 и 55 штук, является последовательностью чисел Фибоначчи.

Рисунок 2.

Расположение семян подсолнечника в форме спирали Фибоначчи[8]

Пример 2.

Распределение листьев на стебле алоэ также иллюстрирует закономерность спирали Фибоначчи в окружающем мире.

Рисунок 3.

Расположение листьев алоэ в форме спирали Фибоначчи [8]

Пример 3.

У многих шишек «чешуйки» расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. В крупных шишках можно разглядеть 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей.

Рисунок 4.

Расположение «чешуек» шишки в форме спирали Фибоначчи[3]

Пример 4.

Еще одна иллюстрация спирали Фибоначчи – форма галактик. Немецкий астроном XVIII в. Тициус И., установил закономерность  в порядке и расстояниях между планетами солнечной системы, соответствующую спирали Фибоначчи [5].

Рисунок 5.

Форма галактики в виде спирали Фибоначчи. [7]

Пример 5.

Строение раковины моллюска соответствует закономерностям, заключенным в спирали Фибоначчи.

Рисунок 6.

Раковина моллюска в форме спирали Фибоначчи [8]

Пример 6.

В наборе хромосом соматической клетки  у человека (их 23 пары), источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом, что также  подчиняется закономерностям спирали Фибоначчи.

Пример 7.

Фотография урагана [8], сделанная из космоса, доказывает, что его вихревые потоки расположены в форме спирали Фибоначчи.

Рисунок 7.

Вихревые потоки урагана в форме спирали Фибоначчи.

Библиография

1. Дух познания и строительства, присущий Фридриху II. Корона Англии - замок Кастель-дель-Монте, URL: http://rovdyrdreams.com/apologiya-imperatora-fridriha-ii-gogenshtaufena-s-pozitsii-metaistorii/, (дата обращения 19.02.2015).

2. Золотая спираль Фибоначчи – основа системы взглядов многих трейдеров, URL:  http://webmastermaksim.ru/foreks/spiral-fibonachchi-kak-osnova-sistemy-vzglyadov-mnogix-trejderov.html,  (дата обращения 19.03.2015).

3. Золотое сечение, Интернет-форум.  URL: http://bestforum.7bk.ru/viewtopic.php?id=6892, (дата обращения 19.03.2015)

4. Математика божественных пропорций (число Фи), Лапшина А.М., Пахомова Е.А., URL: http://rae.ru/forum2010/45/617, (дата обращения 19.02.2015).

5. Мир замечатльных кривых, Спираль Архимеда, Лицей № 419 г. Санкт-Петербурга, https://sites.google.com/site/mircurves/spiral-arhimeda, (дата обращения 19.03.2015)

6. О Фибоначчи, URL: http://gimn1567.ru/dost/fibonach/fib.htm,  (дата обращения 19.02.2015).

7. Сайт бесплатных картинок  о космосе, URL: http://mirgif.com/besplatnye_kartinki_kosmos.htm, (дата обращения 19.03.2015)

8. Спираль Фибоначчи, Русская правда, URL: http://ruspravda.info/Spiral-Fibonachi-643.html, (дата обращения 19.03.2015)

9. Фибоначчи, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/

%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8, (дата обращения 19.02.2015).

10. Числа Фибоначчи, URL:  http://www.rassvet-svaroga.ru/index.php?

option=com_content&view=article&id=312:2011-04-25-20-43-39&catid=67:2009-10-15-20-13-22&Itemid=129, (дата обращения 19.02.2015).