Погружение в тригонометрию
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Программа элективного курса

по математике для учащихся 10-го класса

"Погружение в тригонометрию."

Пояснительная записка

        Раздел «Тригонометрические выражения и их преобразование» в 9 классе по новой программе не рассматривается. Учащиеся,  которые формируют новый коллектив в 10 классах,  имеют  разный уровень  подготовки в этой области, что в значительной степени затрудняет работу учителя. Кроме того, с переносом материала по тригонометрии в 10 класс возник значительный дефицит времени для детального  изучения  тонкостей этой сложной темы. Поэтому программа элективного курса «Погружение в тригонометрию» предназначена для учащихся 10 классов.

        Элективный курс выполняет не только компенсирующую функцию, но и ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике. Является предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными и не очень методами решения тригонометрических уравнений и неравенств, а также изучение некоторых методов решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

        Отдельные вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой.

Целью элективного курса является:

• формирование у учащихся представление о единстве алгебры и геометрии; углубление и расширение знаний учащихся по математике, геометрии;
• коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах исследования тригонометрических функций с помощью их графиков, решения уравнений и неравенств;
• развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся;
• научить школьников учиться посредствам личностно-ориентированного подхода;
• воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры.

Задачи курса:

• расширение  знания учащихся о тригонометрических функциях;
• формировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, при решении нестандартных задач;
• научить решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью единичной окружности;
• формирование  представления о новых методах решения тригонометрических уравнений;
• формирование  представления об уравнениях с обратными тригонометрическими функциями и некоторых методах их решения;
• развивать способности учащихся к математической деятельности;
• развивать коммуникативные навыки в процессе практической деятельности.

Основные умения.

Учащиеся после изучения курса должны приобрести конкретные умения:

• в совершенстве владеть определениями;
• устанавливать связь между градусной и радианной мерами;
• применять формулы при решении примеров, доказательстве тождеств, преобразовании тригонометрических выражений;
• определять знаки тригонометрических функций в зависимости от аргумента;
• решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов по заданному алгоритму и в нестандартной ситуации;
• решать тригонометрические уравнения с обратными тригонометрическими функциями;
• решать тригонометрические неравенства.

Формы организации занятий

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая или работа в парах (такая форма выполняет функцию консолидации, снимает страх, робость в общении, улучшает способность к восприятию и коммуникации), индивидуальная , практикумы и консультации, игра, взаимообучение.

Количество часов

На занятия отводится 1 час в неделю в течение всего учебного года. Т.о курс рассчитан на 35 часов.

Учебно-тематический план

Содержание

Тема 1. Градусная и радианная мера угла.

Занятие 1-3

Сообщение учащимся цели и задачи элективного курса. Общие сведения: исторические сведения. Знакомство учащихся с числовой окружностью и радианной мерой угла, перевод радиан в градусы и наоборот. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.  Практикум решения задач. Проверочная работа в виде теста.

Тема 2. Основные тригонометрические формулы  

Занятие 4-5

Основные тригонометрические тождества:  sin2x+cos2x=l; ctgx=; tgx=; tgx·ctgx=1. Доказательство тождеств.

Занятия 6-7

Формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Вычисление по известному значению одной из тригонометрических функций значений остальных тригонометрических функций. 

Занятие 8-9

Формулы приведения, преобразования тригонометрических функций.

Решение тригонометрических выражений, используя формулы приведения. Самостоятельная работа «Преобразование тригонометрических выражений».

Тема 3. Формулы сложения и их следствия

Занятие 10-11

Решение тригонометрических выражений, используя формулы суммы.

Занятие 12-13

Решение тригонометрических выражений, используя формулу двойного угла. Решение тригонометрических выражений, используя формулу половинного угла.

Занятие 14-15

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и их применение при преобразовании выражений, а также формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Тема 4. Зачет.

Занятие 16

Зачетная форма по теме «Тригонометрические выражения»

Тема 5. Тригонометрические функции

Занятие 17

Область определения и область значений тригонометрических функций. Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций.

Занятие 18-19

Правила построения графиков сложных тригонометрических  функций, содержащих модуль.

Тема 6. Решение тригонометрических уравнений.

Занятие 20-21

Введение вспомогательного аргумента: a· sin x +b· cos x=sin(x+α), где cosα=, sinα=. Применение   этого метода в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

Занятие 22-23

Разбор приемов решений уравнений,  решаемых с помощью оценок

Занятие 24-26

Решения уравнений, содержащих модуль. Разбор заданий по теме из  ЕГЭ.

Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а < 0.

Согласно этому определению, в уравнениях модуль можно раскрывать следующим образом:

№1. Решить уравнение.

№2. Решить уравнение.

Решаем уравнение первой системы:

2sin2x-sinx=0

sinx(2sinx-1)=0

sinx=0 или sinx= (оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx<0,

получаем х =

Серии ответов можно записать объединяя

№3. Решить уравнение.

Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая уравнение первой системы, получим Из значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству системы х ≥ -3. Это при n=0, 1, 2, 3…

Решая уравнение второй системы, получим Из этого множества значений нужно выбрать те, которые удовлетворяют неравенству х < -3. Это значения при m= -1, -2, -3…

Ответ: при n=0, 1, 2, 3…; при m = -1, -2, -3…и х = -3

№4 Решить уравнение.

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

Решаем уравнение системы:

соsx=cosx(x+1,5)2

cosx(1-(x+1,5)2)=0

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

х= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ:

№5. Найти все решения уравнения на отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Решая первую систему, получим

 Из серии в нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и ; , а из серии

Решая вторую систему, получим систему , которая не имеет решений.

Ответ:

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида можно решать и следующим способом:

№1 Решить уравнение.

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx <0, тогда уравнение равносильно системе

Рассмотрим две системы:

Решая уравнение первой системы получим: cosx-2sinx=0

Учитывая, что cosx≤0, x = arctg Вторая система решений не имеет.

Ответ: x = arctg.

№2 Решить уравнение.

Cos x +=0

Решение.

№3 Решить уравнение.

Решение. Уравнение равносильно sinx = ± cosx

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Занятие 27-29

Примеры простейших  тригонометрических уравнений с параметрами. Разбор заданий по теме из  ЕГЭ.

Тригонометрические уравнения с параметрами для самостоятельного решения:

Тема 7. Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Занятие 30-32

Определения и свойства обратных тригонометрических функций. Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции. Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов. 

Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции:

Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основано на свойстве монотонности. Справедливы следующие равносильные переходы:

1. arcsin f(x) =arcsin g(x)
2. arccos f(x)=arccos g(x)
3. arctg f(x)=arctg g(x)
4. arcctg f(x)=arcctg g(x)

Тема 8. Решение тригонометрических  неравенств.

Занятие 33-34

Решение тригонометрических неравенств и систем неравенств.

Тема 9. Итоговое занятие

Занятие проходит в форме «круглого стола. Заслушиваются сообщения учащихся. Викторина.

Занятие 35

1. Сообщения учащихся:

• Тригонометрические функции у древних греков;
• Тригонометрические функции в Индии;
• Учение о тригонометрических функциях у народов Средней Азии  и Кавказа;
• Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе;
• Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

2. Математическая викторина.

 Вопросы:

1. Что больше:   sin 50º или cos50º?  

                              сos 35º или sin 55º?

2. Как с помощью  циркуля  и  линейки  построить угол в 300º?
3. Как  изменяется функция  y= sin х  при изменении аргумента от 0 до 2 π  ?
4. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
5. Вычислить выражение  tg 18º +  tg 42º +  √3 tg 18º ∙ tg42º.
6. Решить уравнение  cos58  х + sin40  х = 1.
7. Сколько  решений  имеет  уравнение:  sin х = 0,02х?
8. Какая  из функций,  sin 2х  или  2sin х,  принимает большие значения, если 0< x < π /2?
9. Может ли быть справедливо равенство  sin (х + у) = sin х + sin у?
10. Доказать, что если  при  некотором значении  х  tg х/2 - рациональное число, то рациональными числами будут при этом значении  х  и  sin х,  cos х,  tg х,  ctg х,  sec х,  cosec х.
11. В треугольнике АВС угол С - прямой. Вычислить произведение ctg А · ctg В.
12. При  каких  значениях  х  справедливо равенство  sin π /1+х2 =0?
13. Доказать, что сумма  sin х + cos х  ни  при  каких  х не  может равняться 1,5.

Вопросы  домашней викторины

1. Кто ввел названия тригонометрических функций?
2. Кто ввел обозначение тригонометрических функций?
3. Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?
4. Какой ученый впервые явно сформулировал теорему косинусов?
5. Чьи это слова: “Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков, из счисления времени и механики”?
6. Что такое триангуляция и кто ее придумал?
7. Что такое простафарезис?
8. Что означает слово “тригонометрия”?
9. Что такое “гониометрия”?
10. Кто ввел обозначения в треугольнике сторон малыми латинскими буквами, а противолежащих им вершин соответствующими большими латинскими буквами?
11. Чем можно объяснить, что у среднеазиатских и некоторых европейских ученых линии тангенса и котангенса назывались “тень”?
12. Может ли синус отрицательного аргумента быть числом положительным?
13. Кто первый измерил длину земного меридиана?

Ответы домашней викторины

1. Понятие “синус” ввели индийские ученые, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса “архаджива” означало “половина тетивы лука”.В арабском переводе слово было искажено в “джайб” (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус.Термин “тангенс” (по-латински - “касательная”) был введен Региомонтаном. В 1583г.  Т. Финк ввел термин “секанс”. Название “косинус” и “котангенс” введены Гунтером (1581–1626).
2. Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739г. И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввел Л. Эйлер. Знак для арксинуса ввел Ж. Лагранж в 1772г.
3. Первые тригонометрические таблицы (“таблицы хорд”) были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во II в. до н.э. Таблицы синусов были составлены в IV в. индийским ученым Ариабхата.
4. Франсуа Виет.
5. Это слова Ф. Энгельса.
6. Триангуляция – это способ косвенного измерения больших расстояний на поверхности земли построения так называемой триангуляционной сети. (Это сеть треугольников, разбивающая искомое расстояние на ряд отрезков, постепенно вычисляемых на основе непосредственного измерения только одного отрезка, базиса, и измерения углов, что можно сделать со значительно большей степенью точности, чем измерение отрезков). Триангуляцию впервые применил голландский ученый XVI в. В. Снеллиус.
7. Простафарезис – это способ вычисления произведения до изобретения логарифмов. Для сведения умножения к сложению и вычитанию (термин составлен из греческих слов, обозначающих эти действия) применялись формулы, заменяющие произведение тригонометрических функций суммой или разностью. Данные числа рассматривались как значения тригонометрических функций, что всегда можно сделать соответствующим переносом запятой. Затем результаты получались применением тригонометрических таблиц.
8. “Тригонометрия” происходит от двух греческих слов: “тригонон” – треугольник и “метрейн” – измеряю, т.е. измерение треугольников.
9. “Гониометрия” – учение о тригонометрических функциях.
10. Эти обозначения ввел Л. Эйлер (1707-1783), придавший всей тригонометрии совершенный вид.
11. Это объясняется тем, что с понятием тангенса и котангенса ученые встретились при решении задачи на определение высоты солнца по тени, отбрасываемой шестом. При этом линия тангенса быта тенью (катетом) в прямоугольном треугольнике.
12. В промежутках синус имеет положительные значения, хотя значения аргумента отрицательны.
13. Греческий ученый Эратосфен (275-193 гг. до н. э.).

Дидактическое обеспечение курса

Тест по теме «Градусная и радианная мера угла»

1. Выразите в радианной мере величины углов:

2. Выразите в градусной мере величины углов:

3. В какой четверти расположен угол , если:

4. Укажите положение точек, изобразив их на единичной окружности.

5. На единичной окружности отмечены точки K, L, M, N, P, R. Укажите стрелками угловые величины, соответствующие этим точкам.

Самостоятельная работа

«Преобразование тригонометрических выражений»

(использование основных формул)

Упростите выражения:

                    Зачетная работа по теме «Тригонометрические выражения»

                                                 Карточка  №1

1. Что называется синусом,  косинусом,  тангенсом и котангенсом угла?

2.  Найдите значение выражения: 2sin 30º-  cos 60º + 3 tg 45º;

                                                         4 ctg 45º -  sin 60º +  cos 30º

Карточка №2

1.  Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?

2.  Сравните с нулем значение выражения:

sin 143º,  cos 108º ,  tg61º , ctg280º,  sin 125º ,  cos200º,  tg160º, ctg200º

Карточка №3

1. Выразите sin 763º через  синус угла, заключенного в промежутке от 0º до 360º. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?

Карточка №4

1. Является ли четной или нечетной функция: у = sin x,  y= cos x,   y= tg x  и  y= ctg x?

2. Вычислите:   sin(π30º)      tg(π45º)       cos (π60º)     ctg(π30º)

Карточка №5

1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5;   π / 4;   - π/ 2;  10 π .

2. Найдите радианную меру угла, равного: 120º; 270º; - 180º;-  150º.

Карточка №6

1.  Запишите основные тригонометрические тождества.

2.  Упростите выражения:   а) 1- sin α  · cos α;        б) 2-  cos α  - sin α    

Карточка №7

1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?

2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла  α :

sin (180º+ α ) ;  sin( π/ 2+  α)  ;  cos (270º-  α);  cos( π  -  α);    tg ( 90º+ + α  );        tg(  π / 2-  α  )

Карточка №8

1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы  (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.

2. Упростите выражение:   sin ( α  -  β ) +  (cos α  · sin  β)/  sin ( α + +β) -   cos α · sin β ;   sin(α  + β ) + cos (α  - β )/  cos ( α +  β ) – cos (α -   -β ).

Карточка  №9

1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.

2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75º;    cos 15º;       sin 105º;   cos 105º

Карточка № 10

1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.

2. Упростите выражение:   sin 2  α /  2 cos α;     cos4  α  -  sin4 α ;    

 sin 2  α  -  (sin 2  α +  cos2  α );      2  tg 15º/  (1-   tg2 15º)

Проверочная работа по теме

 «Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции»»

                                                                Подготовительный тест

1. Найдите область определения функции

1. а                        6.
2.                         7.
3.                         8.
4.                         9.
5.                    10.

2. Вычислите:

1.                 5.
2.                         6.
3.                 7.
4. 

Тест- проверка

Решите уравнения.

1.                   5.
2.                  6.
3.                  7.
4. 

Проверочная работа по теме

«Решение тригонометрических неравенств».

1.Решите неравенства:

2.Решите систему неравенств:

Список используемой литературы:

1. С.М. Никольский Элективные курсы.-М.: Просвещение, 2011.

2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2008-2010
3. Тригонометрия: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. Учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. 3-е изд. – М.: Просвещение, 2004.
4. Т.Г.Королева  Математический тренажер. Алгебра 10-11 классы.
5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 2012.
6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. М: Просвещение,2013
7. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.Л.Галицкий.
8. И.Т.Бородуля  Тригонометрические уравнения и неравенства,1992
9. В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров  «Уравнения и неравенства с параметрами», 2004