Интегрированный урок математики и физики по теме "Применение производной к решению физических задач"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Интегрированный урок математики и физики по теме

«Применение производной к решению физических задач»

Цель урока: определить физический смысл производной, рассмотреть использование механического    истолкования производной при решении задач, связанных с механическим смыслом.

Задачи: - дать понятие о возможностях применения дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира;

                -  показать широкий спектр применения производной;

                -   расширить знания учащихся и ввести понятие производной второго порядка, используя физический смысл;

                -    развивать логическое мышление при установлении связи физических величин с понятием  производной;

               -    развивать навыки работы самостоятельной работы, работы с компьютером и интерактивной  доской.

Гипотеза: если знать производную и уметь её получать, то можно решить многие физические задачи.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

План урока

Организационный момент-3 мин.

Выбор данной темы обоснован её актуальностью, т.к. многие задачи математики и физики решаются с помощью производной. При помощи производной можно найти скорость, ускорение, мощность, силу тока и многие другие величины. Но прежде чем перейти непосредственно к решению физических задач, давайте послушаем сообщение о происхождении термина «производная» (небольшая историческая справка)-7 мин.

Устная работа – 10 мин.

- Итак, операции нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения – это (изменение) определение скорости изменения переменной величины. Термин «скорость» настолько вошел в нашу жизнь, что мы порой не задумываемся над его смыслом и воспринимаем его только в связи с движением. На самом деле « скорость» характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой.

- Напомнить:

- Какова связь мгновенной скорости с производной?

(Vмгн= производная функции) Vмгн=f”(t)

Ньютон впервые назвал Vмгн производной.

А сейчас ответим на математические вопросы с физической точки зрения.

- Каков физический смысл производной?

- Можно ли найти производную скорости?

- Используется ли эта величина в физике?

- Как она называется?

- Мгновенная скорость равна 0. Что можно сказать о движении тела в этот момент времени?

- Каков физический смысл следующих выссказываний:

а) производная движения равна 0 в т.t0

б) при переходе через t0 производная меняет знак

3. Практическое применение производной при решении задач-25-30 минут

- переходим к практике:

Задача №1. Материальная точка массой 2 кг движется вдоль оси ОX по закону X=  t5-  t4- t3+5

Найти:  а) начальную координату точки,

               б) зависимость проекции ускорения от времени

               в) зависимость проекции ускорения от времени

               г) зависимость кинетической энергии от времени

Задача № 2.  Количество электричества, протекающее через проводник , начиная с момента t=0? При замыканиицепи задается формулой q=3t2 + t +2. Найти силу тока в момент времени t=3

Задача № 3. Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m, движущуюся прямолинейно по закону : X(t)= 2t3- t2 при t=2

- Ребята, на практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются. Попробуйте их назвать: - колебательные движения маятника , струны, пружины

                 - процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем

Все эти процессы задаются уравнением гармоноческих колебаний, общий вид которого

                                        X(t)= A

                                X(t)=A

- Для того, чтобы решить задачи ,связанные с гармоническими колебаниями , давайте вспомним производные тригонометрических функций:

Итак, чтобы найти скорость гармонического колебания нужно найти производную от функции

                                                                         (A/

Теперь найдём ускорение а гармонического колебания

 (A/= - A=a

Сравнивая уравнение координаты гармонического колебания  можно сделать вывод,что ускорение пропорционально координате колеблющейся точки и коэффициент пропорциональности равен -

Итак, ускорение-это вторая производная от координаты.

4. Подведение итогов - достигнута ли цель нашего урока?

                                     - все ли задачи решены?

                                      - Оценки

5.Д/З №827, 828, 829

Краткая историческая справка

Математика изучает количественные отношения и пространственные формы как существующих областей объектов, так и тех , которые можно «сконструировать».

  Физика как наука выделилась первой. Но по мере развития физических знаний математические методы находили все большее и большее применение в физических исследованиях. По мере усложнения физических исследованиях. По мере усложнения физических задач возникла потребность в создании общих математических понятий, теорий и методов для их решения. Классическим примером взаимодействия математики и задач динамики, и в частности задач, возникающих при изучении движения планет. Выведение Ньютоном в качестве следствия закона всемирного тяготения всех трех законов Кеплера явилось крупным достижением применения исчисления

Бесконечно малых в физике и оказало громадное воздействие на развитие физики.

Этот факт послужил известным толчком к возникновению теоретической физики и дал образец использования созданных под воздействием физики математических понятий и представлений для описания физических явлений.

   Основных операций исчисления бесконечно малых – дифференцирования и интегрирования – оказалось вполне достаточно, чтобы сформулировать все законы классической физики.  \  Максвелловская  электромагнитная теория является ярким примером взаимодействия математики и физики, когда применение математических идей и методов для описания физических явлений приводит к новым открытиям в физике.\

    В течение двух последних столетий математика все глубже проникла в физику, но и сама математика оказывалась под все большим влиянием физики. Поскольку количественные и качественные характеристики веществ и явлений природы связаны друг с другом и при определенных условиях переходят друг в друга, то использование методов математики в физических теориях закономерно приносит важнейшие результаты. Вместе с тем надо помнить, что сила математических методов заключается в том же, в чем и их <<слабость>>. Без использования объективного содержания физических законов методы математики ничего не могут дать физике.

    Открытия в физике приводят к возникновению новых физических задач, необходимость решения которых является частичным стимулом для создания нового математического аппарата, к открытию новых математических идей.

    Взаимосвязи математики и физики определяются, прежде всего, наличием общей предметной области, изучаемой математикой и физикой, хотя и с различных точек зрения. Взаимосвязь математики и физики выражается во взаимодействии их идей и методов

Эти связи можно условно разделить на три вида:

1.Физика ставит задачи и создает необходимые для их решения математические решения и методы, которое в дальнейшим служат базой для развития математической теории(Ньютон).

2. Развитая математическая теория ее идеями и математическим аппаратом ( сюда, очевидно включается и язык математики),  используется для анализа физических явлений, что часто приводит к созданию новой физической теории (Максвелл),, которая в свою очередь приводит к развитию физической картины мира и возникновению новых физических проблем ( ИНВАРИАТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ )

3. Развитие физической теории опирается на имеющийся определенный математический аппарат, но последний совершенствуется и развивается по мере его использования в физике.

  Взаимосвязи наук, естественно , всегда находят адекватное отражении в учебных предметах, представляющих по существу основы соответствующих наук. В этом проявляется один из аспектов дидактической проблемы межпредметных связей. Поэтому вполне закономерно, что рассмотренные выше взаимосвязи математики и физики как наук находят соответствующее выражение в соответствующих связях учебных дисциплин – школьных курсов математики и физики. В частности, теоретический анализ межпредметных связей физики и математики показывает необходимость согласованного формирования математических и физических понятий в процессе школьного обучения.