Формулы для дополнительных углов, Синус суммы и синус разности двух углов. конспекты уроков
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Алгебра и начала матем.анализа, 10 класс

Урок № 86 (18.02.2016)

Тема урока: Формулы для дополнительных углов

Цели урока: сформировать понимание о дополнительных углах, вывести формулы для дополнительных углов, научить применять данные формулы при решении упражнений, развивать логическое мышление, умение анализировать, действовать согласно алгоритма, развивать память, математическую грамотную речь, воспитывать интерес к предмету.

Тип урока: комбинированный

Ход урока:

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

IV. Изучение нового материала.

 В пункте 9.2 доказаны две формулы:

cos ( π /2 −α )=sin α  и sin ( π /2 −α )=cos α ,

которые очень часто используются в дальнейшем. Вывести совместно  с учащимися данные формулы.  

V. Решение упражнений. Формирование навыков.

Вывести формулы (у доски два человека № 9.19),

 9.20, 9.21 (решение с комментариями)

      9.22. Упростите выражение: а)  sin ( 90°−13° ) ;
      б)   sin ( −90°+24° ) .
      Решение. а)  sin ( 90°−13° )=cos 13° ;
      б)   sin ( −90°+24° )=−sin ( 90°−24° )=−cos 24° .
      9.23. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 45° : е)  sin 1859° ; ж)  cos 444° .
      Решение. е)  sin 1859°=sin ( 5⋅360°+59° )=sin 59°= sin ( 90°−31° )=cos 31° ;
      ж)  cos 444°=cos ( 360°+84° )=cos 84°= cos ( 90°−6° )=sin 6° .
      9.24. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего π 4 :
      e)   cos  14π /5 ;    ж)   sin  24π /7 .
      Решение. е)  cos  14π /5 =cos ( 2π+ 4π/ 5 )=cos  4π/ 5 =sin ( π /2 − 4π/ 5 )= sin ( − 3π/ 10 )= 
= −sin  3π/ 10 =−sin ( π/ 2 − π /5 )=−cos  π/ 5 .
      ж) sin  24π/7 =sin (4π− 4π /7 )=sin (− 4π /7 )=−sin  4π/ 7 =−cos (π/ 2 − 4π/ 7 )=−cos (− π/ 14 )=−cos  π /14

VI. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

VII. Итоги урока.

Что нового узнали? Чему научились? Какие упражнения вызвали у вас наибольшие затруднения?

Какие вопросы у вас остались невыясненными? Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание: п .9.2 № 9.20 (г,е), 9.21 (г,д), 9.22 (д)

Алгебра и начала матем.анализа, 10 класс

Урок № 87 (19.02.2016)

Тема урока: Синус суммы и синус разности двух углов.

Цели урока: Организовать повторение формул тригонометрии, создать условия для совершенствования навыков их применения при различных тригонометрических преобразованиях, вывести формулы для синуса разности и синуса суммы двух углов, научить применять данные формулы при решении упражнений, развивать логическое мышление, умение анализировать, действовать согласно алгоритма, развивать память, математическую грамотную речь, воспитывать интерес к предмету.

Тип урока: комбинированный

Ход урока:

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

     Проверка домашнего задания: п.9.2 № 9.20 (г,е), 9.21 (г,д), 9.22 (д)

1. Что называется синусом угла ?
2. Что называется косинусом угла ?
3. Что называется тангенсом угла ?
4. В каких единицах измеряется угол?
5.  это? (); это? ();  это? ();  это? ();  это? ();  э); это? ().
6. Итак, .
7. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс, котангенс?
8. Формулы .
9. Какая точка получается при повороте точки (1;0) на углы  и + 2 радиан?

Значит справедливы формулы (одна и та же):

10. Основное тригонометрическое тождество.
11. Как определяется знак перед корнем (знак выражения, стоящего в левой части формулы)?
12. Формулы приведения (правило).

Найди ошибку

IV. Изучение нового материала.

      В учебнике на стр. 263 доказаны формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

sin ( α−β )=sin α cos β−cos α sin β ,
sin ( α+β )=sin α cos β+cos α sin β .

Обратим внимание на то, что в учебнике уже доказаны формулы для sin ( π+α ) , cos ( π+α )  (п. 7.4), cos ( π 2 −α )  и sin ( π 2 −α ) (п. 9.2).

 Только с доказательством формул для cos ( α±β )  и sin ( α±β )  появилась возможность доказать формулы для cos ( πk 2 ±α ) и sin ( πk 2 ±α )   для любого целого k.
      Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания) 2π  к аргументу, то синус (косинус) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к синусу (косинусу) аргументов π /2 −α , π /2 +α , π−α , π+α , 3π /2 −α , 3π /2 +α , которые можно привести к аргументу α , применяя формулы синуса (косинуса) суммы (разности) двух углов.
      Выпишем все 12 формул для указанных выше шести аргументов:

sin ( π /2 −α )=cos α,  sin ( π /2 +α )=cos α,  sin ( π−α )=sin α, cos ( π/ 2 −α )=sin α,  cos ( π/ 2 +α )=−sin α,  cos ( π−α )=−cos α, sin ( 3π/ 2 −α )=−cos α,  sin ( 3π/ 2 +α )=−cos α,  sin ( π+α )=−sin α, cos ( 3π /2 −α )=−sin α,   cos ( 3π/ 2 +α )=sin α,  cos ( π+α )=−cos α.

      Все эти формулы можно воспроизводить с помощью следующего мнемонического правила:
      1) Если первое слагаемое аргумента есть π 2  или 3π /2 , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента π , то менять синус (косинус) не надо.
      2) В правой части формулы надо поставить знак «–», только если для острого угла α  значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно.
      Эти формулы называют часто формулами приведения (аргумента к более простому виду). Но специального пункта «Формулы приведения» в учебнике нет. Однако стоит уделить внимание известному мнемоническому правилу, позволяющему правильно воспроизводить любую из формул приведения. Это правило отвечает на два вопроса: 1) менять или не менять наименование функции (синус на косинус, косинус на синус); 2) ставить или нет в правой части формулы знак «–»?
      Формулы приведения доказаны для любого угла α , достаточно определить знак левой части формулы для острого угла α  и поставить его перед sin α  или cos α  в правой части формулы. Например, sin ( 3π /2 −α )=−cos α ; cos ( 3π /2 +α )=sin α .

      V. Решение упражнений. Формирование навыков.

      9.30. Упростите выражение:
      а)   √3/ 2 sin α− 1/ 2 cos α ;     б)  √2 /2 ( cos α−sin α ) .
      При решении этого задания формулы (1) и (2) применяются для формирования умения преобразовывать тригонометрические выражения с помощью вспомогательного угла. Тот же прием используется при решении задания 9.33.
      Решение. 
      а)   √3 /2 sin α− 1 /2 cos α=cos  π /6 sin α−sin  π /6 cos α=sin ( α− π/ 6 ) ;
      б)   √2/ 2 ( cos α−sin α )=cos  π /4 cos α−sin  π/ 4 sin α=cos ( π 4 +α ) . 
      9.33. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 5cos α+12sin α .
      Решение. Так как 5 /2 + 12 /2 =13 , то 5cos α+12sin α=13( 5 /13 cos α+ 12 /13 sin α )=A .
      Так как ( 5/ 13 ) ^2 + ( 12/ 13 ) ^2 =1 , то найдется угол β , такой, что sin β= 5 /13 , а cos β= 12 /13 . Тогда A=13(sin β cos α+ sin α cos β)=13sin ( β+α ) .
      Так как наибольшее и наименьшее значения выражения sin ( β+α )  равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения выражения А равны 13 и –13 соответственно.

VI. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

VII. Итоги урока.

Что нового узнали? Чему научились? Какие упражнения вызвали у вас наибольшие затруднения?

Какие вопросы у вас остались невыясненными? Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание: п .9.3 №