К вопросу изучения научных основ школьного курса математики студентами педагогического вуза.
статья по алгебре по теме

К вопросу изучения научных основ школьного курса математики студентами педагогического вуза.

О.В.Коновко, О.А.Тыщенко

АлтГПА, г.Барнаул

В настоящее время уже не вызывает сомнений тот факт, что изучение в школе элементов логики позволяет сделать объективно более обоснованным и субъективно более понятным изучение  математики в целом и отдельных фрагментов программы в частности.

Обязательная часть школьной программа по математике не предусматривает явное изучение логических операций, понятия равносильности формул, законов логики.

В рамках этой публикации речь пойдёт лишь об одной из многочисленных тем школьного курса математики, где влияние элементов логики наиболее заметно.  Знание логических понятий и их свойств даёт возможность объяснить и обосновать некоторые равносильные переходы при решении нетривиальных систем уравнений и неравенств. Имеются в виду, например, такие системы:

Варианты ошибок учащихся достаточно разнообразны. Одни предлагают в качестве ответа пару  , которая, обращая первое уравнение в верное равенство, не удовлетворяет второму. Другие переходят к системе трёх уравнений
 

Обнаруживают, что она несовместна и предлагают неправильный ответ.

Однако чаще ученики верно выполняют первый шаг. Первое уравнение системы заменяют совокупностью в любой из форм записи:

А далее либо затрудняются сделать следующий шаг, либо ошибаются в применении нужной схемы; либо, не вспомнив схему, наугад перераспределяют уравнения, используя различные комбинации скобок и, как следствие, не всегда верно составляют упорядоченные пары.

На наш взгляд, одна из причин затруднений и ошибок состоит в необоснованности, процедурном характере применяемых схем рассуждений на этапе знакомства с ними. В то время как теоретическое обоснование равносильности рассмотренных переходов почти очевидно, объяснение прозрачно и, как правило, понятно ученикам. Для этого достаточно напомнить учащимся понятия логических операций и их арифметические свойства, а именно закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и двойственный закон.

Причём важно данные свойства сформулировать в ранее изученной форме, естественной для логики, т.е. в виде законов:

 и , а также в форме, традиционно используемой в алгебре. Первый из перечисленных законов  будет выглядеть так:

  , второй так: .

Согласно последнему закону, система, рассмотренная в примере, очевидно равносильна следующей совокупности  

Заметим, что доказательство законов при изучении элементов логики осуществляется по определению равносильности формул с помощью таблиц истинности. Этот приём, как показывает практика, осваивает большинство учащихся. Кроме того, осознанию учащимися сути логических законов способствует аналогия с арифметическим законом дистрибутивности умножения относительно сложения.

Заметим, что в качестве условий А, В, С и т.д. могут быть не только уравнения, но и неравенства и вообще любые предикаты, в частности, условия ОДЗ.

Научные основы изучаемых в школьном курсе математики понятий, алгоритмов и других элементов содержания на определённом этапе обучения в педагогическом вузе становятся предметом изучения. Рассмотренный фрагмент учебного материала так или иначе связан с курсами «Введение в математику», «Математическая логика», «Элементарная математика».  Каждый из этих курсов может и должен внести свой вклад в осознание студентами математического факультета педагогического вуза теоретических основ школьного курса математики.