Изучение процентов в школьном курсе математики
статья (алгебра) по теме

«Изучение процентов в школьном курсе математики»

учитель школы № 436 Петродворцового района

 Санкт-Петербурга

Сивацкая Ирина Михайловна

Санкт-Петербург

2012

Практикум: «Изучение процентов в школьном курсе   математики»

Содержание:

1. Понятие процента
2. Решение простейших задач на проценты. Три типа задач и три способа их решения
3. Решение более сложных задач на проценты:

- задача, решаемая с помощью линейного уравнения

- задача, решаемая с помощью квадратного уравнения

- задачи, решаемые с помощью системы уравнений

- задача, решаемая с помощью алгебраических выражений

- задача с комбинированным решением

- задача, решаемая логическими рассуждениями

1. Понятие процента

Проценты – это одна из основных тем курса математики 5 и 6 классов, поэтому нужно довести у каждого ученика до навыка решение трех типовых задач:

1. нахождение процентов от числа
2. нахождение числа по его процентам
3. нахождение процентного отношения.

Вводить понятие проценты необходимо с опорой на имеющийся опыт учащихся. Прежде всего, нужно вызвать интерес у учащихся к теме. Для этого можно, например, взять на урок газету или журнал и прочесть и прочесть несколько фраз со словом проценты, т.е. показать, что проценты часто встречаются в нашей жизни.

После этого можно начать подведение под понятие:

Устно:

1. Найти  от 5м; 200кг; 40дм; 3ц.

Найти  от 5м; 200кг; 40дм; 3ц.

2) Уменьшить число 300 на  его.

     Уменьшить число 300 на  его.

Эти задачи не только подведут под понятие, но подготовят к решению задач на проценты.

В этих задачах мы искали сотые доли, Сотые доли часто встречаются в жизни, например, 1см = м, 1кг = ц. Для сотых долей ввели особое обозначение: =1%,  = 23%.

Этимология слова проценты – буквально «со ста». По латыни Pro cento – cto – % . Сам знак % появился в результате опечатки слова cto.

После введения понятия дать детям задание, прочитать задачи, решаемые устно, со словом процент и пояснить как они его искали.

В определение процента целесообразно добавить слова: «Процентом называется сотая доля числа, записанная особым образом».

Затем дать учащимся предложения со словом процент, чтобы они объяснили смысл этих предложений. Например:

- огурец содержит 95% воды

- зарплата повысилась на 20%

- цены повысились на 100%

Здесь же записать, что 100% - это все число.

2. Решение простейших задач на проценты

I способ

Первоначально сводить все задачи к нахождению 1%, чтобы добиться понимания, а не механического запоминания.

Задача 1. (Нахождение процентов от числа)

Из молока получается 24% сливок. Сколько получится сливок из 120 кг молока?

Проанализировать задачу, чтобы дети понимали, что сливки – это часть молока, значит, все молоко – 100%.

Сделать краткую запись задачи, которая в дальнейшем пригодится для пропорций:

Молоко: 120кг – 100%

Сливки:    ?  кг – 40%

Решение:

Ищем 1%.

1. 120 : 100 = 1,2 (кг) – 1% молока
2. 1,2 · 24 = 38,8 (кг) – получится сливок

Ответ: 38,8 кг.

          Задача 2. (Нахождение числа по его процентам)

Из пшеницы получили 80% муки. Сколько взяли пшеницы, если муки получили 640 кг?

Пшеница:   ? кг – 100%

Мука:     640 кг – 80%

Решение:

1. 640 : 80 = 80 (кг) – 1% муки
2. 80 · 100 = 800 (кг) – взяли пшеницы

Ответ: 800 кг.

Задача 3. (Нахождение процентного отношения)

В 200 кг сливочного мороженого содержится 30 кг сахара. Какого процентное содержание сахара в мороженом?

Мороженое: 200 кг – 100%

Сахар:             30 кг –    ? %

Решение:

1. 200 : 100 = 2 (кг) – 1% мороженого
2. 30 : 2 = 15%

(т.е. смотрим сколько раз 1% содержится в 30 кг)

Ответ: 15%

После изучения всех трех типов задач просить учащихся после решения составить обратные задачи. Это помогает им лучше разобраться, где все число, а где его часть.

II способ

Свести задачу на проценты к нахождению дроби от числа, числа по заданной дроби или отношения. При этом достаточно перевести проценты в дробь или наоборот.

Решение задачи 1 (задачу см. выше):

1. 24% = 0,24
2. 120 · 0,24 = 38,8 (кг)

Решение задачи 2 (задачу см. выше):

1. 80% = 0,8
2. 640 : 0,8 = 800 (кг)

Решение задачи 3 (задачу см. выше):

1. 30 : 200 = 0,15
2. 0,15 = 15%

III способ

Использовать пропорцию. При решении задач I способом мы учили детей правильно составлять краткое условие, по нему легко составить пропорцию, заменив знак вопроса неизвестным, обозначенным буквой, а дальше только умение работы с пропорцией.

Таким образом, тема проценты в курсе 5-6 класса прокручивается 3 раза. При решении задач необходимо все время подчеркивать число, которое мы принимаем за 100%.

Необходимо обратить внимание детей, что если мы число уменьшили на n%, а потом увеличили результат на n%, то мы не получим первоначального числа, т.к. 1% в этих случаях будет неодинаков (мы его ищем от разных чисел). Аналогично, если число увеличили на n%, а потом еще на m%, то это не значит что оно увеличено на (n +m)%.

Так же разные ответы имеют вопросы : «На сколько процентов число a  больше числа b?» и «На сколько процентов число b меньше числа a?», т.к. 100%  будет то число, с которым мы сравниваем. Например, число 20 меньше числа 40 на 50%, а число 40 больше числа 20 на 100%.  

3. Решение более сложных задач на проценты

В курсе 7-11 класса практически отсутствуют задачи на проценты, а на ЕГЭ и ГИА они встречаются. Так как более сложные задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений, то их необходимо включать в курс алгебры при изучении данных тем.

Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)

В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

          Решение:

Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда

0.4x г – соли в первоначальном растворе,

(x + 120) г – стало раствора,

(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:

0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим

x = 120

120 · 0,4 = 48 (г)

Ответ: 48 г.

Задача 2. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к квадратному)

В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Решение:

Было:                                            Стало:

Пусть x г – серебра в сплаве, тогда

(x + 80) г – масса первоначального сплава,

(x + 180) г – масса нового сплава,

 г – часть золота в первом сплаве,

 г – часть золота во втором сплаве,

Т.к. содержание золота повысилось на 20% (т.е. на ), составляем уравнение:

  -   =  , решая которое получим

x- 240x + 14400 = 0

(x – 120) = 0

 x = 120

Ответ: 120 г.

          Задача 3. (решаемая с помощью системы уравнений)

Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.

Решение:

Пусть x кг – масса сплава, y% - серебра в сплаве, тогда

(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,

(x + 3) кг – нового первого сплава,

(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.

Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).

(x + 2) кг – масса второго сплава,

2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда

(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.

Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).

Получаем систему уравнений:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3)        x = 3

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2)               y = 80

Ответ: 3 кг 800-ой пробы

Задача 4. (решаемая с помощью системы уравнений)

Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?

Решение:

Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день,

y дней должна была работать.

Т.к. всего должно было быть сшито 360 костюмов, составляем уравнение:

xy = 360.

1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,

1,25x(y - 8) костюмов сшили за остальные дни.

Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:

1,2x · 8 +  1,25x(y - 8) = 442.  

Получаем систему уравнений:

xy = 360        x = 20

1,2x · 8  +  1,25x(y - 8) = 442        y = 18

Ответ: 18 дней

           Задача 5. (решаемая с помощью алгебраических выражений)

Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:

на 1-ом – на 25%

на 2-ом – на 20%

на 3-ем – на 15%

на 4-ом – на 10%

На сколько процентов в результате уменьшается их количество?

Решение:

Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:

На 1-ом этапе – 0,75x

На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x

На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x

На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.

Таким образом всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.

Ответ: 54,1%

Задача 6. (решаемая комбинированным способом)

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

Решение:

Пусть x – месячный план, тогда

1,05x – выпущено в январе,

1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено

1,05x + 1,092x = 2,142x.

Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.

2x – 100%

2,142x – y%

y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.

Ответ: 7,1%

          Задача 7. (решаемая логическими рассуждениями)

В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть только по-украински, часть говорит и по-русски и по-украински. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% по-украински. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?

Решение:

На каждых 100 жителей – 90 говорит по-русски, значит, 10 не говорит по-русски, т.е. 10 говорит только по-украински. Известно, что из каждых 100 жителей говорит по-украински 80 человек, из них, как мы выяснили, 10 человек говорит только по-украински, следовательно, из этих 80 знают еще и русский 80 – 10 = 70 человек, т.е. 70%

Ответ: 70%