Статья: "Методические аспекты преподавания математики в период перехода на стандарты второго поколения по стохастической линии".
консультация по алгебре на тему

Статья: "Методические аспекты преподавания математики

в период перехода на стандарты второго поколения

 по стохастической линии".

 Пояснительная записка

Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования. Приоритетным на данном этапе развития общества является формирование общеучебных умений и навыков, уровень освоения которых в значительной мере определяет успешность школьника на всех ступенях образования. 

Сегодня основным фактором, преобразующим нашу жизнь, является информация. Темпы получения, накопления и передачи информации обеспечены развитием и широким внедрением во все сферы жизни информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

 Основным аспектом математической подготовки школьников является использование  математических понятий при работе с реальными объектами.

Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задачи, в которых необходимо построить математическую модель, отражающую реальные процессы и с ее помощью просчитать результаты; задания на построение и чтение графиков реальных зависимостей; задачи на процентный рост, на оценку и прикидку результатов вычислений; задачи, связанным с выдвижением и проверкой гипотез. В современных условиях практически  каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, оптимизировать,  анализировать статистические данные, графики и диаграммы и т.п.

Когда учитель решает вопрос о том, как следует преподнести учащимся тот или иной учебный материал, он должен знать содержание соответствующего учебного пособия.

Так например в учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур, но, во-первых эти элементы расположены хаотично, а во-вторых элементы теории вероятностей отсутствуют. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6 классах по учебникам этих авторов можно использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других». 

А в учебниках  под ред. А.Г. Мордковича (Математика 7-11 класс) элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей включены в соответствующих параграфах, где на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Определения и теоремы формулируются после рассмотрения практических вопросов.

Кроме того необходимо знать и учитывать  психологические особенности обучающихся, их возрастные и индивидуальные особенности, познавательные интересы,  знать и использовать имеющиеся у них результаты обучения, среди которых можно выделить следующие общеучебные умения и навыки, относящиеся к трем сферам компетентности ученика:

• Организация деятельности - выполнять работу по несложному алгоритму; совместно (всем классом) ставить новую задачу, определять последовательность действий по её решению; доводить начатое дело до конца;

• Читательская компетентность - осмысленно читать текст, выделять главную мысль, искать информацию в научной литературе;

• Естественно-научная компетентность - описать объект наблюдения, проводить классификацию объектов по общему признаку, сравнивать объекты для того, чтобы найти их общие и специфические свойства, высказывать суждения по результатам сравнения.

Таким образом, необходимо найти такие средства и способы учебной работы школьников, которые отвечают возрастным новообразованиям подростков данного возраста и задачам, которые ставит перед ними основная школа, связанных, прежде всего, с содержанием обучения, определённых стандартами. 

Особенности структуры и содержания линии

Примерное содержание обучения для каждого этапа обучения.

5-6 классы

Существование  и построение комбинаций с какими-либо заданными свойствами. Перебор возможных вариантов.

Достоверное, невозможное, случайное событие. Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных соображений, на классической, статистической основах, с помощью геометрических соображений.

Представление данных. Чтение таблиц, диаграмм.

7—9 классы

Комбинаторные правила произведения и сложения. Решение комбинаторных задач на правила умножения и сложения.

Эксперимент со случайными исходами, случайное событие. Операции над событиями. Частота события. Вероятность события. Вычисление вероятности наступления случайных событий на классической, статистической, геометрической основах.

Первичная обработка статистических данных. Наглядное представление статистической информации. Статистические характеристики. Статистические исследования. Статистическое оценивание и прогноз.

10—11 классы

Размещения, перестановки, сочетания. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Вероятностное пространство. Вероятность события. Вероятности суммы и произведения событий. Решение задач.

В ходе изложения вопросов данной  линии включаются сведения по историческому становлению и развитию изучаемых явлений.      

В результате изучения данных тем обучающиеся должны:

• понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира;
• решать комбинаторные задачи методом перебора, с использованием известных комбинаторных правил и формул;
• использовать комбинаторные схемы для вычисления вероятностей случайных событий в классической модели;
• вычислять вероятности наступления случайных событий на статистической основе, с помощью геометрических соображений;
• использовать приобретенные знания и умения для анализа реальных числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм, графиков, для сбора и анализа информации статистического характера, для решения учебных и практических задач.

Воспитание учебной самостоятельности так же является ключевой педагогической задачей подросткового этапа образования и рассматривается, как умение расширять свои знания, умения и способности по собственной инициативе.

Особое место в учении должно занять  моделирование. Должны присутствовать задания, направленные на обеспечение самостоятельности, задания, связанные с понятийным развитием, с продвижением в содержании. Введению центральных понятий линии должен предшествовать этап содержательно-практической деятельности, в ходе которой знания формируются на наглядно-интуитивном уровне. Этому способствуют задания, требующие практических действий, составляющих основу формируемых умений; правила возникают как обобщенное вербальное выражение способов действий. Примерами таких упражнений могут служить следующие задания: 1) моделирование вариантов с помощью вспомогательного материала, с помощью дерева возможных вариантов, с помощью таблиц, с помощью кодирования; 2) проведение несложных экспериментов со случайными исходами; 3) сбор, регистрация данных, наглядное представление данных, чтение диаграмм, таблиц.

   При изучении раздела «Элементы комбинаторики и теория вероятностей» целесообразно использовать следующие методы обучения, классифицируемые по критерию степени самостоятельности и творчества в деятельности обучаемых:

Объяснительно-иллюстративный метод обучения - метод, при котором обучающиеся получают знания на лекции, из учебной литературы, через экранное пособие в "готовом" виде. Воспринимая и осмысливая факты, выводы, школьники остаются в рамках репродуктивного (воспроизводящего) мышления. Этот метод я использую в начале первого урока данного раздела при проведении лекции о возникновении комбинаторики и теории вероятностей.

 Репродуктивный метод обучения - метод, где применение изученного осуществляется на основе образца или правила. Здесь деятельность обучаемых носит алгоритмический характер, т.е. выполняется по инструкциям, предписаниям, правилам в аналогичных, сходных с показанным образцом ситуациях. Этот метод применяю на первом уроке по теме «Вероятность равновозможных событий», когда обучающиеся по формуле только учатся вычислять вероятность. Материал данного урока сложный и принципиально новый, поэтому репродуктивный метод обучения наиболее целесообразен.

Метод проблемного изложения в обучении - метод, при котором, используя самые различные источники и средства, учитель, прежде чем излагать материал, ставит проблему, формулирует познавательную задачу, а затем, раскрывая систему доказательств, показывает способ решения поставленной задачи.
Частично-поисковый метод обучения заключается в организации активного поиска решения выдвинутых в обучении (или самостоятельно сформулированных) познавательных задач под руководством учителя. Процесс мышления приобретает продуктивный характер, но при этом поэтапно направляется и контролируется педагогом или самими учащимися на основе работы над программами (в том числе и компьютерными) и учебными пособиями.

Метод проблемного изложения и частично-поисковый метод результативно применяю на уроках по темам «Перестановки», «Размещения», «Сочетания».

Исследовательский метод обучения - метод, в котором после анализа материала, постановки проблем и задач и краткого устного или письменного инструктажа обучаемые самостоятельно изучают литературу, источники, ведут наблюдения и измерения и выполняют другие действия поискового характера. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в исследовательской деятельности наиболее полно. Данный метод применим на уроке по теме «Относительная частота случайного события».

Здесь стоит заострить внимание на "Уроке одной задачи"

Урок одной задачи был выделен в особую форму организации процесса обучения математики и описан Анатолием Анатольевичем Окуневым в книге " Спасибо за урок, дети!"

"Чаще всего урок состоит из изложения теории и решения нескольких иллюстрирующих её задач.- Пишет  А.А. Окунев.- Сама задача, приёмы её решения, и анализ условия нечасто бывают объектом особого внимания учеников.

Учат же решать задачи, формируют навык исследовательской работы уроки, на которых ученик является активным участником поиска решения, испытывает при этом и радость открытий, и горечь поражений, когда выбранный путь заводит в тупик.

Урок такого типа как бы завершает некоторый этап обучения решению задач, поэтому его лучше провести в тот момент, когда учеником усвоены необходимые понятия и разобран ряд частных приёмов решения задач. Внимание на этом уроке концентрируется в основном на анализе приёмов, которыми  решается  задача. Поэтому, чтобы не тратить силы на знакомство с условием нескольких задач, достаточно рассмотреть решение только одной задачи, интересной по содержанию, богатой идеями, имеющей несколько способов решения".

Основные характеристические особенности урока одной задачи:

1. На уроке решается одна единственная задача.
2. Цель урока двуедина:

1) направить деятельность школьников на исследование связей между данными задачи;

2) отработать умение делать логический вывод из полученных результатов.

3. Основная форма деятельности учащихся - исследовательская работа, включающая обязательно этап анализа условия и решения задачи.  
4. Решение задачи несколькими способами.
5. Предваряющее домашнее задание по решению задачи; предварительная запись желающих рассказать на уроке решение выбранного ими этапа задачи.

Все занятия планируются и оформляются в виде исследовательских работ. Тематика занятий определяется с помощью следующей таблицы:

   Ни один из перечисленных методов обучения не утрачивает своего значения при обучении в информационно-образовательной среде.

  На первом уроке лекцию о зарождении и становлении раздела математики «Комбинаторика и теория вероятностей» я сопровождаю презентацией об ученых, внесших вклад в становление и развитие теории вероятностей.

   На уроке по проверке и коррекции знаний и умений  по теме можно использовать тесты в компьютерном варианте.

     Подготовку к итоговой аттестации по данному разделу я провожу, используя памятки.

Методические рекомендации по изучению основ комбинаторики, теории вероятностей, статистики

Целесообразно проводить исследовательскую работу. Это позволит показать учащимся роль индукции, наблюдения, эксперимента и даст возможность наряду с навыками логического рассуждения прививать учащимся навыки эвристического мышления, указать им пути к математическому творчеству. Обучающиеся должны овладеть некоторыми приемами мышления при решении задач, накапливать различные математические факты, по возможности запоминать их, делать обобщения.

Рассмотрим следующую задачу на существование и построение конфигураций. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не принадлежат одной прямой).

Дети, никогда ранее не встречавшиеся с подобными задачами, не знают, с чего начать решение, и задача учителя — указать, в каком направлении следует им работать. Учителю необходимо задать такие вопросы, чтобы все обучающиеся вынуждены были принимать участие в поисках идеи решения. Ход мысли учащихся (с помощью вопросов учителя) может быть, например, таким: «Если на каждом отрезке расположить по 4 точки, то на 5 отрезках должно быть 20 точек (4 • 5 = 20). Нам же, согласно условию задачи, требуется расположить 10 точек. Куда девать «лишние» 10 точек?»

Наиболее сообразительные ученики догадаются, что 10 точек должны быть точками пересечения данных отрезков. Чтобы идею поиска решения поняли все обучающиеся, целесообразно вместе с ними провести небольшое исследование: предложить им серию вспомогательных задач (еще лучше побудить учащихся к тому, чтобы вспомогательные задачи они подобрали сами), а затем обобщить идею решения.

№1. Какое число точек можно расположить на двух отрезках, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Найти правильное решение сможет каждый учащийся (8 точек, если отрезки не пересекаются, и 7 точек, если отрезки пересекаются).

№2. Какое число точек можно расположить на трех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Возможны несколько случаев:

1) Отрезки не пересекаются. Тогда на трех отрезках можно расположить 12 точек (4•3=12).

2) Отрезки имеют одну точку пересечения, тогда возможны варианты:

а) пересекаются только два отрезка, можно расположить 11 точек;

б) все три отрезка пересекаются в одной точке, можно расположить 10 точек.

3)Отрезки имеют две точки пересечения. В этом случае количество точек, удовлетворяющих условию задачи, 10.

4) Отрезки имеют три точки пересечения. В этом случае имеем 9 точек, удовлетворяющих условию задачи.

Обучающиеся, рассмотрев все возможные случаи, должны заметить следующую закономерность: чтобы уменьшить количество точек, принадлежащих всем отрезкам, необходимо или увеличить число точек пересечения отрезков, или увеличить число отрезков, пересекающихся в одной точке. Минимальное число точек, принадлежащих одновременно трем отрезкам - 9, получаем в том случае, когда отрезки имеют три точки пересечения.

Тем ребятам, у которых в результате решения задачи появился вкус к исследовательской работе (для учащихся 5 класса приведенное выше решение — действительно исследовательская работа), учитель может предложить более сложную задачу (еще лучше, если такую задачу предложат сами обучающиеся).

№ 3. Какое число точек можно расположить на четырех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

В результате решения задач 2 и 3 школьники устанавливают закономерность: чтобы число точек, удовлетворяющих условию задачи (на каждом отрезке — 4 точки), было наименьшим, необходимо, чтобы число точек пересечения отрезков было наибольшим.

Теперь, после проведения небольшого исследования, обучающиеся должны понять не только идею решения, но и как возникла сама задача (очевидно, автор задачи имел в виду минимальное число точек, принадлежащих всем отрезкам).

Вернемся теперь к решению исходной задачи. Подсчет показывает, что отрезки должны иметь 10 точек пересечения (4•5—10=10). Следовательно, задача свелась к следующей: «Расположить 5 отрезков так, чтобы они имели 10 точек пересечения». Небольшой опыт, приобретенный учащимися в решении вспомогательных задач, поможет им легко найти решение.  

Формирование и закрепление умения решать

комбинаторные задачи алгебраическим методом.

Формирование и закрепление умения решать  комбинаторные задачи алгебраическим методом идёт по следующему тематическому плану.

Анализ известных подходов к изучению элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики и мой личный опыт  позволяют сделать следующие выводы. Для успешного введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики необходимо:

1.  Начинать изучение материала с 5 класса.
2.  Дать законченное элементарное представление о комбинаторике, теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи. Подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром.
3.  Избегать излишнего математического формализма; иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.
4.  Использовать сквозные примеры и задачи при обсуждении разных тем. Подбирать примеры и задачи с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся.
5. На протяжении всех лет обучения знакомить учащихся с вероятностно-статистическими подходами к анализу эмпирических данных, причем большую роль отводить задачам прикладного характера, анализу реальных ситуаций. Возможность повторения и закрепления на новом материале пройденного ранее.
6.  В процессе обучения много времени отводить задачам, требующим от школьников проведения самостоятельных исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, проведения небольших лабораторных работ, так как все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью.

На мой взгляд, все это должно способствовать усвоению новых для обучающихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире.

В 2011-12 учебном году на базе МБОУ «СОШ №14" г. Череповца я проводила спецкурс «Элементы статистики и теории вероятностей» для учителей математики, который имел большую практическую значимость.  

Приложения

Памятка 1.   Комбинаторика.

Соединения.

Основные правила комбинаторики.

Размещения. Перестановки. Сочетания.

Определение. Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Определение. Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся решением таких задач, называется «комбинаторикой».

Основные правила комбинаторики.

             Теорема 1.  Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b - п способами, причём любой выбор элемента а отличен от выбора элемента b, то выбор « а или b » можно сделать m+n способами.

Задача. На блюде лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать один фрукт. Решение. Одно яблоко выбираем 5 способами, а одну грушу 3 способами, т.е. один фрукт можно выбрать  5+3=8 способами. Ответ: 8 способов.

Теорема 2. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить   способами, второе действие можно выполнить  способами, третье действие можно выполнить   способами,…, k-тое действие можно выполнить  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены  способами.

Задача. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами можно побывать на вершине, если: а). нельзя дважды проходить по одной дороге? б). можно дважды проходить по одной дороге?

Решение. а). Подняться в гору можно 7 способами (т.к. 7 дорог ведут вверх) и спуститься с горы можно 6 способами (т.к. 7 дорог ведут вниз, но дорогу, по которой мы поднимались, учитывать нельзя). Следовательно, согласно основному правилу комбинаторики подняться и спуститься с горы (т.е. побывать на вершине) можно  способами. Ответ: 42 способа.

                 б). Подняться в гору можно 7 способами (т.к. 7 дорог ведут вверх) и спуститься с горы можно 7 способами (т.к.7 дорог ведут вниз). Следовательно подняться и спуститься с горы (т.е. побывать на вершине) можно  способами. Ответ: 49 способов.

Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения из m элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из  n элементов по m в каждом обозначается символом  и вычисляется по формуле:

Замечание.  Произведение последовательных чисел от 1 до n включительно обозначают символом  (читается «n – факториал»), т.е. , причем полагают ,  .

Например,  или

           Пример. Составить все возможные размещения из 3 элементов по 2 в каждом из элементов множества А:   А = {а, b, с}.  Ответ: {а,b}, {b,а}, {b,c}, {c,b}, {a,c}, {c,a}, т.е. .

Перестановки

Определение. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.Число перестановок из  n элементов обозначается символом   и вычисляется по формуле:

Замечание. Перестановки представляют частный случай размещений из n элементов  по n в каждом, т.е.

Пример.  Составить все возможные перестановки из 3 элементов из элементов множества А:  А = {а, b, с}.  Ответ:  {а,b,с}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,b,a}, {c,a,b}, т.е. .

Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения из m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из  n элементов по m в каждом обозначается символом  и вычисляется по формуле:        

 Пример. Составить все возможные сочетания из 3 элементов по 2 в каждом из элементов множества А: А = {а, b, с}.  Ответ:  {а,b}, {b,c}, {a,c}, т.е. .

Важно различать:

• В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.
• В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
• В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.

Размещения с повторениями.

Определение. Размещения с повторениями — комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом  каждый из n элементов может содержаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать. Число размещений из  n элементов по m в каждом обозначается символом  и вычисляется:

 Замечание.  При этом в расстановки могут входить и предметы одного вида, а две расстановки считаются различными, если они отличаются друг от друга или видом входящих в них предметов, или порядком этих предметов.

Пример. Составить все возможные размещения из 3 элементов по 2 в каждом из элементов множества А:     А = {а, b, с}.  Ответ: ∅,{а},{b},{c}, {а,b}, {a,c}, {b,c}, {а, b, с}, т.е.  = 2³=8. Ответ:8 способов.

Перестановки с повторениями 

           Определение. Перестановки с повторениями — комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые. В таких соединениях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые. 
Задача. Сколько перестановок можно получить из букв слова «КОЛОКОЛА»?

Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: буква «К» повторяется 2 раза,  буква «О» повторяется 3 раза, буква «Л» повторяется 2 раза, буква «А» повторяется 1 раз. Таким образом:                                                                                            

Ответ: 1680 способов.

Сочетания с повторениями

Определение. Сочетания с повторениями — Сочетание с повторениями из n элементов по k  - неупорядоченная выборка  k элементов с возвращением из множества, содержащего n элементов, то есть это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов:

Задача. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?

Решение: Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:

                                                                                            =278256. Ответ: 278256 сп.

Памятка 2.  Теория вероятности.

Вероятность есть степень достоверности… Николай Бернулли

             1) Классическое определение вероятности. Вероятность события определяется равенством  Р(А)= m/n. где m—число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

2) Теорема сложення вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р (А\В)=Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

3) Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении,  что первое событие уже наступило: Р(АВ)==Р(А)∙РА(В); в частности, для независимых событий Р(АВ)=Р(А)∙Р(В), т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Введем обозначения событий: А—первый. Взятый учебник имеет переплет, В—второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет, Р (А) = 3/6 = 1/2.Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т. е. условная вероятность события В, такова: РА(В) = 2/5. Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна Р(АВ)=Р (А)∙ РА (В) = 1/2∙2/5 = 0,2.

Задача.( Вероятность появления хотя бы одного события.)

В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: р1= 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2.Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение. Элементы включены последовательно, поэтому тока в цепи не будет (событие А), если откажет хотя бы один из элементов. Тогда Р (А) =1–q1∙q2∙q3= 1 - ( 1 -0,1) (1 -0,15) (I –0,2) = 0,388.

4) Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, B2,…,Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В1)∙РВ1(А)+Р(В2)∙РВ2(А)+...+Р(Вn)∙РВn{А),  где Р (В1+В2 + . . . +Вn) = 1.

Задача. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможные все возможные предположения первоначальном составе шаров(по цвету).

Решение. Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном  составе шаров: B1—белых шаров нет, В2—один белый шар, В3—два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. Р(B1)=P(В2)=Р(В3)=1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, РВ1(А) = 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, РВ2(А) = 2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара РВ3(А) = 3/3=1. Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(В1)∙РВ1(А)+Р(В2)∙РВ2(А)+Р(В3)∙РВ3(А) = 1/3∙1/З+1/3∙2/3+1/3∙1=2/3.

5) Геометрическая вероятность.

а)Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок / определяется равенством  Р = (Длина l )/ (Длина L).

б) Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки, в фигуру g определяется равенством Р = (Площадьg) / (Площадь G).

Задача. Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной в 2 м. едет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он не подорвется на мине?

Решение:

По условию задачи положение танка на промежутке между двумя соседними минами полностью определяется положением прямой линии, равноотстоящей от бортов танка. Эта линия перпендикулярна линии, по которой установлены мины,   и танк подрывается на мине, если эта линия расположена ближе, чем в 1-м метре от края промежутка. Таким образом, всё множество исходов отображается в промежуток длиной 15, а множество благоприятных исходов отображается в промежуток длиной 13, как показано на рисунке.  Искомая вероятность равна 13/15.

Банк задач.

1. Комбинаторика.

Комбинаторика- важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам, инженерам и другим научно-техническим работникам. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей.

1. Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только десятым. Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки? Ответ: 45 способов.
2. Сколько чисел из первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5? Ответ: 26 чисел.
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и чёрный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали? Ответ: 768 способов.
4. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы? Ответ: 2640 способов.
5. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? Ответ: 190 способов.
6. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2, 3,4,5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз? Ответ: 125 чисел.
7. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна полоса должна быть красной? Ответ: а) 60 способов,

            б) 36 способов.

8. Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке? Ответ: 325 способов.
9. Укротитель тигров хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров; при этом нельзя, чтобы 2 тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может  расположить зверей? Ответ 43200 способов.
10. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом? Ответ: а) 720 способов; б) 4320 способов.
11. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга). Ответ: 24 способа.        

      Важно: если рассматривать перестановки п предметов, расположенных не в ряд, а по кругу, и считать одинаковыми расположения, переходящие друг в друга при вращении, то число различных перестановок Р=(п-1)!.

12. Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин? Ответ: 360 способов.
13. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти? Ответ: 10 способов.
14. Строится лестница, ведущая из точки А в точку В. Расстояние АС равно 4,5 м, а расстояние СВ равн1,5м.  Высота каждой ступеньки равна 30 см., а её ширина – целое кратное 50см. Сколькими способами можно построить лестницу? Ответ:252 способа.

15. Сколькими способами можно распределить уроки в шести классах между тремя учителями, если каждый учитель будет преподавать в двух классах? Ответ: 90 способов.
16. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение 3 дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были разные составы? Ответ: 210∙209∙208 способов.
17. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства(наибольшее число зубов -32)? Ответ: 2³² способа.
18. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра? Ответ: 884375 чисел.
19. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ребёнку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать? Ответ: 1260 способов.
20. Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми(т.е. сколько яблок получит каждый, а какие именно нас не интересует)? Ответ: 868 способов.
21. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Ответ: 120 способов.
22. В селении проживает 2000 жителей. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.

2. Теория вероятности.

Классическое определение вероятности:

1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ: 0,95.
2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14.
3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

Ответ: 0,16.

4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,98.
5. В ящике лежат 13 зелёных, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Чему равна вероятность того, что вынули: 1) 3 зелёных, 2 красных и 3 синих шара? Ответ: С313∙С2 10∙С37/С830  .
6. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орёл выпал ровно 2 раза? Ответ: 0,375.
7. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 - выигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные? Ответ: 499/1998.

Теоремы сложения, умножения и условная вероятность.

8. В урне 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что а) вынутый шар - белый; б) вынутый шар - белый или чёрный. Ответ: а)1/7; б)5/14.
9. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Ответ: 1/9

10. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?Ответ: 15/91.
11. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, а в  восьмёрку с вероятностью 0,6. сделан один выстрел. Какова вероятность следующих событий: А- «выбито не менее восьми очков», В – «выбито более восьми очков»? Ответ:Р(А)=0,85; Р(В)=0,25.
12. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго- 0,75, для третьего – 0,7. Какова вероятность: 1) хотя бы одного попадания; 2) ровно одного попадания; 3) ровно двух попаданий; 4) трёх попаданий, если каждый сделал по одному выстрелу? Какова вероятность, что все промахнулись? Ответ: Р(А)=0,985; Р(В)=0,14; Р(С)=0,425; Р(D)=0,42.

Формула Бернулли.

13. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?  Результат округлите до сотых. Ответ: 0,28
14. В урне 20 белых и 10 чёрных  шаров. Вынули подряд 4 шара, причём каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырёх вынутых шаров окажется два белых.

Ответ: 8/27.

15. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А произойдёт более трёх раз? Ответ: ≈0,38.
16. Прививка от гриппа дает положительный результат в 70% случаев. Найти вероятность, что в группе из 15 человек более чем для двух она будет бесполезной. Ответ: 0,8732.
17. Определить вероятность того, что в семье имеющей пять детей будет три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Ответ:5/16.

Формула полной вероятности.

18. В первом ящике 5 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 3 белых и 7 чёрных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар - белый?

Ответ: 53/160.

19. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1? Ответ: 5/7.
20.  Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом первый завод производит 25%, второй завод — 35% и третий — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти  вероятность купить бракованное изделие. Ответ: 0,039.
21. По самолёту производятся три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором- 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолёт сбивается с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6 и при трёх сбивается наверняка. Какова вероятность сбить самолёт? Ответ:0,594.

Геометрическая вероятность.

22. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?Ответ: 0,353
23. На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3. Ответ: 1/3.
24. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определите вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.Ответ.
25. Буратино посадил на прямоугольный лист размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются. Ответ. .
26. Двое договорились о встрече на следующих условиях: каждый приходит в указанное место независимо друг от друга и наудачу в любой момент времени от 13.00 до 14.00. Придя, ожидает не более получаса, а уходит не позднее 14.00. Какова вероятность того, что они встретятся? Ответ: 0,75.
27. У квадратного трёхчлена х²+рх+q коэффициенты р и q выбраны наудачу из отрезка [-1; 1]. Какова вероятность, что квадратный трёхчлен имеет действительные корни. Ответ:13/24.

Литература:

1. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. – 256 с.: ил.
2. Теория вероятностей / А. С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1983. – 206 с.
3. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ./Под ред. Ю. В. Линника. 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 88 с.
4. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие для вузов./Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В.П. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. – 1989. – 320с.
5. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. Пособие для 9-11 кл. сред. шк./Лютикас В.С. – 3-е изд. перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.