Методический подход к решению задач типа № 17 ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Задачи экономического содержания на ЕГЭ 2016.

50. вариантов  заданий. Под редакцией  И.В.Ященко.

№1). Задачи на оптимизацию (про Al и Ni)

Тренировочная работа 7, №17

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов работать по 10 часов в сутки на добыче Al и Ni. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг Al или 0,1 Ni. Во второй области для добычи х кг Al  в день требуется  человеко-часов труда, а для добычи у кг Ni в день требуется  человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав Al и Ni, в котором на 1 кг Al приходится 2 кг Ni. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести  наибольшее количество сплава. Сколько кг сплава при таких условиях ежедневно произвести завод?

Решение.

Всего 50 рабочих,  500 человеко-часов.

Сплав:   + 50 – 0,1 +   кг ( 

Условие:  в 2 раза, 2

2( = 50 – 0,1 +  , выразим отсюда а через в

а =100 + 2. Подставим в ( , получим

Р(в) = 60 + 1,2 + 0,6.

Исследуем её на наибольшее значение при в с помощью производной:

1.Находим производную

2.Стационарные точки

3.Находим значения функции на концах промежутка и в стационарной точке, выбираем из них наибольшее. ( Р(100) = 90 кг)

Запишем ответ.

№2) Задачи, сводящиеся к математической модели, решаемые в целых числах.

Тренировочная работа 8, №17 (про отели)

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стационарные номера площадью 27  и номера «люкс» площадью 45. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 . Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать  в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение.

27х + 45у

3х + 5у = 109, выразим у черех х:

у = . Подставим в ( :

400(218 – х),  определим при каком значении х значение данного выражеия принимает наибольшее значение:

При х = 0   у =, такого быть не может,  …

х = 3  у = 20, 20- число натуральное.

Выручка 2000(3 + 2рублей.

Ответ: 860000 рублей.

№3) Задачи, где применяется геометрическая интерпретация

Тренировочная работа20, №17 (про фермера)

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 р/ц, а свёклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение (по Максютину).

Общий доход:

26  + 39  =  р

Обозначим  4х – 19у + 650 = с Выразим у через х и найдём значение с при котором  у принимает наибольшее значение:

у = . Заметим х – это квадрат со стороной 10. Целевая функция у = . – это множество прямых, параллельных прямой у =  через точки указанного квадрата, а некоторые – нет. Рассмотрим две угловые «крайние»  точки (0;10) и (10;0), подставляя координаты  этих точек, найдём наибольшее значение

с = 690. умножая на

№4) Тренировочная работа 9, №17 (кредиты)

Тимофей хочет взять кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления %. Ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более

270 000 рублей?

Решение.

S = 1 100 000, a = 10% , b = 1,1, x  270 000

Определим , на какое количество лет можно расчитывать без учёта %:

1100000  : 270 000 = 4 года

 =

1771561- 270 0006,1= 1771561 – 1 647 000 = 124 561  6 лет.

Ответ: 6 лет.

Задача №5(кредиты)

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).

2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

1 200 000,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 0000,01 = 

= 0,01(1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) = 

= 120,01=11 100 0000,01=111 000 (руб.).

3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 711 000 рублей