Уравнения и неравенства ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Уравнения

Уравнения содержатся во всех частях контрольных и измерительных материалов. В части 1 – базового уровня трудности, в части 2 – более трудные, в части 3 – самые трудные, требующие хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. В частности, предлагаются уравнения следующих типов:

• показательные;
• логарифмические;
• тригонометрические;
• иррациональные;
• уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени;
• уравнения смешанного типа, включающие различные функции.

Для выполнения заданий этого раздела нужно владеть определением корня уравнения (решения неравенства), уметь решать простейшие уравнения и простейшие неравенства. Эти умения позволят успешно применить общие методы решения уравнений (метод замены, метод разложения на множители, графический метод, использование свойств функций) к различным видам уравнений.

Решение уравнений (неравенств) любого вида сопряжено с проведением тождественных преобразований различных выражений, входящих в заданное уравнение (неравенство). Владение формулами для тождественных преобразований выражений и теоремами о равносильных уравнениях (неравенствах) поможет в поиске рационального решения.

Если задания базового уровня, используемые в контрольно-измерительных материалах, нередко текстуально совпадают с заданиями учебников, то задания повышенного уровня более разнообразны. Поэтому для подготовки к ЕГЭ полезно специально тренироваться в решении заданий, содержащихся в КИМ, или аналогичных им. Начнем с уравнений смешанного типа, включающих различные функции, содержащихся во второй части КИМ.

Вначале рассмотрим уравнения, в которых равны нулю произведения двух функций. Напомним, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные существуют.

1. Найдите сумму корней уравнения .

Ответ: 5.

2. Найдите сумму корней уравнения

Ответ: 0,25.

3. Найдите количество корней уравнения

Ответ: 4.

В следующем примере необходимо применить функциональный подход: рассмотреть уравнение как равенство значений двух функций. Поскольку функции совершенно различны (относятся к разным классам функций), нужно сравнить множества их значений.

4. Решите уравнение

В левой части уравнения – квадратичная функция. Выделим полный квадрат: . Теперь понятно, что множество ее значений – интервал .

В правой части уравнения – функция . Множество ее значений – отрезок . Следовательно, решением исходного уравнения являются те и только те значения переменной, при которых значения левой и правой частей равны числу 4. Квадратичная функция принимает значение только при Найдем значение функции при полученном значении х: Итак, - единственный корень данного уравнения. Ответ: -0,75.

Если рассматривать логарифмические уравнения второй части КИМ, то основная сложность решения их связана с тем, что большинство преобразований, основанных на свойствах логарифмов, не являются тождественными – при их выполнении может изменяться область допустимых значений входящих в выражения переменных. Это может приводить к потере корней (решений) или появлению так называемых посторонних корней (решений). Поэтому желательно выполнять только тождественные преобразования.

5. Сколько корней имеет уравнение ?

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и получим систему, равносильному данному уравнению: Очевидно, что полученная система не имеет решений, так как единственный корень уравнения – отрицательное число, которое не удовлетворяет неравенству системы. Итак, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: 0.

6. Найдите меньший корень уравнения

Учитывая, что , преобразуем исходное уравнение

или .

Ответ: -30.

7. Найдите меньший корень уравнения

Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то а значит, Поэтому корни надо искать на множестве отрицательных чисел. Но тогда и уравнение принимает вид Сделав замену , приходим к уравнению , корнями которого являются числа и , откуда или . В ответ запишем, как требуется в задании, меньший корень. Ответ: -10.

Как правило, в контрольные измерительные материалы ЕГЭ включают простейшие тригонометрические уравнения. Естественно, они находятся в части 1 и, как правило, представлены заданиями с выбором ответа. Приведем несколько примеров тригонометрических уравнений, аналоги которых могут встретиться среди заданий группы В. Как правило, это тригонометрические уравнения, при решении которых нам придется отбирать корни.

8. Сколько корней имеет уравнение

Ответ: 5.

9. Определите число корней уравнения на отрезке .

Ответ: 4.

Неравенства

Задания второй части с кратким ответом

1. Найдите количество целочисленных решений неравенства

Так как знаменатель дроби при всегда положителен, то данное неравенство равносильно системе В этом отрезке целых чисел 7: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: 7.

2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?

Из всех целых чисел, принадлежащих отрезку -1; 0; 1; 2; 3; 4, мы должны убрать нечетные. Остаются три числа: 0; 2; 4.

Ответ: 3.

3. Найдите количество целочисленных решений неравенства удовлетворяющих условию

Решением неравенства является отрезок . Решением неравенства являются все действительные значения переменной х, при которых определен и не равен нулю, то есть или Таким образом, условию задачи удовлетворяют все нечетные числа из отрезка Таких чисел 3.

Ответ: 3

Задания с развернутым ответом.

1. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 1,5.

Ответ:

2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 2.

Ответ:

3. Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции .

Ответ:

4. Решите неравенство

Ответ: .

5. Решите неравенство

.

Ответ: .

Отметим, что выпускник вправе использовать различные способы решения, и ни один из методов не является «более верным», чем другие.

6. Решите неравенство:

Если то , т.е. вторая система не имеет решений. Решением первой системы является объединение двух промежутков Оно и будет решением логарифмического неравенства.

Ответ:

Практикум

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

3. Решите неравенство

4. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций именьше, чем 0,5.

5. Найдите все значения х, для каждого из которых точка графика функции лежит ниже соответствующей точки графика функции .

6.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения.

7. Найдите наименьшее целое положительное х, удовлетворяющее неравенству .

Задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом С1 и С2

1. Решите уравнение ;

504=2

;

;

;

Задачи такого типа отличаются от аналогичных задач, имеющихся практически во всех школьных учебниках лишь наличием трех, а не двух простых сомножителей. В работах учеников встречались весьма разнообразные способы решения. Можно не раскладывать правую часть, а группировать степени в левой части и все приводить к основанию 504. Можно к единице приравнивать отношение правой части к левой, одни простые множители группировать в одной части, а другие – в другой и т.п. Интересен редко, но встречавшийся графический способ решения уравнения : левая часть возрастает, правая убывает и обе они определены на всей числовой прямой. Значит, есть не более одного корня, а его можно найти подбором: .

2. Решите уравнение

1)

2) ;

;

;

или

или

3) не удовлетворяет условию

Ответ: -1.

3. Решите уравнение

1)

2)

удовлетворяет условию 1)

нет корней.

Ответ: .

4. Решите уравнение ;

Т.к. , то . Поэтому,

Ответ: 0;-1,6.

Многие выпускники начинали решение с отыскания ОДЗ уравнения. Однако в данном случае – это отдельная и довольно кропотливая работа. Можно, переходя к уравнениям-следствиям, получить ответы и просто проверить их. Конечно же, многие выпускники, как это часто бывает, делили на х и теряли при этом корень .

5. Решите уравнение .

,

Ответ: -8;3.

6. Решите уравнение

1)

не удовлетворяет условию

Ответ:

7. Решите уравнение

8. Решите уравнение:

. (*)

не удовлетворяет условию (*), не является корнем уравнения.

Ответ: .

9. Решите уравнение

1)

2) ;

3) ;

;

.

С учетом 1), корень уравнения 64.

Ответ: 64.

10. Решите уравнение

1)

2) ;

3), ;

С учетом 1), корень уравнения 0,008.

Ответ: 0,008.

11. Решите уравнение

1)

2) ;

или

или

3) не удовлетворяет условию

Ответ:

12. Решите уравнение

А) Б)

Ответ:

13. Решите уравнение ; 7

А) ;

Очевидно, что при таких значениях х величина и второй множитель имеет смысл.

Б)

нет решений.

Ответ:

14. Найдите все значения p, при которых уравнение не имеет корней.

1)

У этого уравнения нет корней, только если p не лежит во множестве значений левой части.

2) Так как то

Поэтому

3) Функция принимает и значение 7 (при ), и значение -15 (при ). Поэтому -15 – ее наименьшее значение, а 7 – наибольшее. Функция y непрерывна и, значит, принимает все значения от -15 до 7, т.е. . Исключая этот отрезок из числовой прямой, получаем ответ.

Ответ: .

15.Найдите все значения р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

У этого уравнения есть корни, только если р лежит во множестве значений левой части. Пусть . Требуется найти множество значений функции при .

Найдем производную

.

График есть парабола с ветвями, направленными вниз. Знак меняется с минуса на плюс при прохождении через точку 0 и с плюса на минус при прохождении через точку . Значит, на отрезке функция убывает, а на отрезке она возрастает.

Так как функция непрерывна, то множество ее значений на отрезке равняется отрезку , а множество ее значений на отрезке равняется отрезку . Поэтому множество ее значений на отрезке - отрезок . Значит, множество значений функции при есть промежуток .

Ответ: .

16. Решите уравнение ;

1) Пусть , тогда

или

или .

Учитывая, что , получим .

2) Пусть , тогда .

или

или .

Но найденные значения х не удовлетворяют условию .

Ответ: .

17.Решите уравнение

Ответ: 0.

19. Решите уравнение

или

нет корней

Ответ:

18. Найдите нули функции .

1) Нули функции – это те значения х, при которых y=0.

и , значит, их сумма равна нулю, если каждое слагаемое обращается в ноль.

.

Ответ:-2.

Практикум

1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение
3. Решите уравнение
4. Решите уравнение
5. Решите уравнение
6. Решите уравнение
7. Найдите все значения р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень. 
8. Найдите все значения р, при которых уравнение не имеет корней. 
9. Решите уравнение
10. Решите уравнение
11. Решите уравнение
12. Решите уравнение
13. Решите уравнение
14. Решите уравнение
15. Решите уравнение
16. Решите уравнение . 
17. Решите уравнение