Практикум по решению задач по теории вероятности. 9 кл
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Практикум  для самостоятельного решения

Комбинаторика

Задания направлены на проверку следующих умений:

• решать комбинаторные задачи, используя перебор возможных вариантов или правило умножения;
• строить дерево возможных вариантов и использовать его, как один из методов решения.

1. Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?

Решение: Самый младший разряд числа 426 (т. е. разряд единиц) увеличить нельзя —

там стоит цифра 6. Разряд десятков увеличить можно — нужно цифру 2 заменить на следующую за ней цифру 4. После этого в разряд единиц нужно поставить

 минимальную цифру — 0. Ответ. 440.

2. В коробке лежат четыре шара: белый, красный, синий, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это?

 Решение:  Выпишем все возможные пары шаров: бк, бс, бз, кс, кз, сз. Ответ. 6.

3. Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения школьного вечера. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:  Применим правило умножения: девочку можно  выбрать 15 способами, мальчика — 10 способами, пару  

мальчик—девочка — 15 • 10 = 150 способами. Ответ. 150.

4. В чемпионате города по футболу играет десять команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?

Решение: На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе — любую из 9 оставшихся, на третье — любую из 8 оставшихся. По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10 • 9 • 8 = 720.

Ответ. 720

5. В расписании уроков на среду для первого класса должно быть четыре урока: два урока математики, урок чтения и урок физкультуры. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Решение: Урок чтения можно поставить на любой из четырех уроков, урок физкультуры — на любой из трех оставшихся. После этого для двух уроков математики останется  

единственный вариант поставить их в расписание. По правилу  умножения общее число способов составить расписание на среду равно 4 • 3 = 12. Ответ. 12.

6. В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

Решение: Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек. Значит, всего было роздано 30 • 29 = 870 карточек. Ответ. 870.

7. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя только цифры

           0, 2, 4, 6?

На первое место можно поставить любую из цифр, кроме нуля, — это 3 варианта; на второе место — любую из 4 цифр и на третье — тоже любую из 4 цифр. По правилу

умножения общее количество вариантов равно 3 • 4 • 4 = 48. Ответ. 48.

8. В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трех блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами, второе блюдо — 4 способами и третье блюдо — 3 способами. По правилу умножения общее количество вариантов равно

2 • 4 • 3 = 24. Ответ. 24.

Вероятность

Задания направлены на проверку следующих умений:

• вычислять вероятность события в классической модели;
• вычислять геометрическую вероятность.

1.  Доля брака при производстве процессоров  составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор  только что купленного компьютера окажется  исправным?

А. 0,05       Б. 0,95        В. 0,0095          Г. 0,9995

Решение:  Исправные процессоры составляют 99,95% от общего числа, поэтому искомая вероятность равна 0,9995. Ответ. Г.

2. Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом  выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? 222

Решение: Опыт имеет 7 равновозможных исходов (букв), из  которых 3 благоприятных (гласные буквы). Поэтому вероятность  равна 3\7. Ответ: 3\7.

3. Из класса, в котором учатся 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?

Решение: Опыт имеет 25 равновозможных исходов (учеников), из которых 10 благоприятных (девочек). Поэтому вероятность равна 10\25= 2\5. Ответ. 2\5.

4. Одновременно бросают 2 монеты. С какой  вероятностью на них выпадут два орла?

Решение: Опыт имеет 4 равновозможных исхода ОО, ОР, РО, РР, из которых благоприятным будет только один ОО. Поэтому вероятность равна 1\4. О т в е т. 1\4

5. Из коробки, в которой  а белых и b черных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

А. а \ b            Б.  а\  (а + b)              В.  b \ а          Г. b \ (а + b)

Решение: Опыт имеет а + в равновозможных исходов (шаров), из которых а благоприятных (белых). Ответ. Б.

 6. В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?

А. 2\ 3.         Б. 1\ 2         В. 1/ 3        Г. 1\ 4

Решение 1. Пронумеруем мысленно все шары: 1, 2, 3, 4. Будем считать, что шары с номерами 1 и 2 красные, а с номерами 3 и 4 синие. Составим таблицу:

Опыт имеет 6 равновозможных исходов: 12, 13, 14, 23, 24, 34 (шары вынимают одновременно, поэтому порядок шаров в каждой паре не учитываем). Из этих шести исходов благоприятными будут два исхода: 12, 34. Поэтому искомая  вероятность

 равна 2\ 6 =1\ 3.

Решение 2. Будем считать, что шары вынимают не одновременно, а последовательно

 без возвращения (понятно, что ответ от этого не зависит). После того как вытащили первый шар независимо от его цвета, в урне осталось три шара, из которых только один имеет тот же самый цвет. Поэтому искомая вероятность равна 1\ 3. Ответ. В.

Статистика

Задания направлены на проверку следующих умений:

• определять такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполнять необходимые расчеты;
•  находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные;
• отвечать на простейшие вопросы статистического характера;

1.  Из трех кандидатов в сборную России по стрельбе из арбалета нужно отобрать двоих. Решено сделать этот отбор по относительной частоте попадания в мишень, которую они показали на тренировочных сборах. Результаты представлены в таблице.

Кто из спортсменов будет включен в сборную?

A.  Лучкин и Арбалетов

Б.  Арбалетов и Пулькин

B.  Лучкин и Пулькин

Г.  Все одинаково достойны

Решение. Найдем относительную частоту попаданий для каждого стрелка и сравним их.

Лучкин: 100:120  = 5\6|;  Арбалетов: 120:200 =  3\5; Пулькин: 110:150 =11\15

3\5  < 11\15 < 5\6  

Ответ. В.

 2. Вася измерял в течение недели время, которое он тратит на дорогу в школу и из школы, а результаты записывал в таблицу.

На сколько минут (в среднем) дорога из школы занимает у него больше времени, чем дорога в школу?

 Решение 1.  Найдем среднее время, затраченное на дорогу в школу, на дорогу из школы, а затем их разность:

(19 + 20 + 21 + 17 + 22 + 24) : 6 = 20,5;  (28 + 22 + 20 + 25 + 24 + 22) : 6 = 23,5\;

23,5 - 20,5 = 3.

Решение 2. Найдем для каждого из шести дней недели разность между временем, затраченным на дорогу из школы и на дорогу в школу, а затем среднее значение этих

разностей☹ 9 + 2 - 1 + 8 + 2 – 2) : 6 = 3. Ответ. На 3 мин.

3. Поезда прибывали на станцию метро со  следующими интервалами:

2 мин 11 с; 2 мин 8 с; 2 мин 10 с; 2 мин 12 с; 2 мин 19 с. Найдите среднее значение и медиану данного ряда интервалов движения.

Решение.  Для вычисления среднего значения нужно перевести временные интервалы в однородные единицы измерения (секунды). Но поскольку для всех членов ряда число минут одинаково, то можно упростить вычисления, найдя среднее только по «секундной части»:    (11 + 8 + 10 + 12 + 19) : 5  = 12. Среднее арифметическое для данного ряда равно 2 мин 12 с. Для вычисления медианы ряд нужно упорядочить:

2 мин 8 с < 2 мин 10 с < 2 мин 11 с < 2 мин 12 с < 2 мин 19 с.

Медиана равна 2 мин 11 с. Ответ. 2 мин 12 с; 2 мин 11 с.

4. В течение четверти Таня получила следующие отметки по физике:

одну «двойку», шесть «троек», три «четверки» и пять «пятерок». Найдите среднее арифметическое и моду ее оценок.

Решение.  Среднее арифметическое равно (2*1+3*6+4*3 +5*5) : (1+6+3+5) = 3,8.

Максимальную частоту имеет оценка «3», которая и будет

модой. Ответ. 3,8; 3.

5. Президент компании получает зарплату 100000 р. в месяц, четверо его заместителей — по 20000 р., а 20 служащих компании — по 10000 р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.

Решение.  Чтобы не писать лишние нули будем считать все  зарплаты не в рублях, а в тысячах рублей. Среднее арифметическое равно

(100*1 + 20*4 + 10*20) : (1 + 4 + 20) = 15,2.

Если выписать весь ряд зарплат по возрастанию, получим 10, 10, ..., 20, 20, 20, 20, 100.  

Очевидно, что в середине ряда будут числа 10, поэтому медиана

равна 10. Ответ. 15 200 р., 10 000 р.

6.  Какое из утверждений неверно?

A. Если ряд состоит из одинаковых чисел, то его размах равен 0

Б. Если ряд состоит из одинаковых чисел, то его среднее арифметическое и медиана равны.

B. Если размах ряда равен 0, то он состоит из одинаковых чисел

Г. Если среднее арифметическое и медиана ряда равны, то он состоит из одинаковых чисел

Решение. Например, для ряда 1, 2, 3 среднее арифметическое и медиана равны. Ответ. Г.

7.  Рост Маши равен 132 см, а медиана ростов всех девочек из ее класса равна 130 см. Какое из утверждений верно?

A. В классе обязательно есть девочка выше Маши

Б. В классе обязательно есть девочка ростом 130 см

B. В классе обязательно есть девочка ростом менее 130 см

Г. В классе обязательно есть девочка ниже Маши

Решение, Верным является утверждение В.

 Если бы в классе не было девочек с ростом менее 130 см, то средний рост был бы больше 130 см (так как среднее арифметическое чисел, одно из которых равно 132, а остальные больше или равны 130, будет

строго больше 130). Утверждения А и Б неверные. Пример: 128; 132. Среднее равно 130. Утверждение Г неверно. Пример: 129; 129; 132. Среднее равно 130. Ответ. В.