Решение показательных уравнений
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Учитель математикиКороткова А.Э.
« Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. »Альберт Эйнштейн

Cвойства показательной функции: Известно, что показательная функция у=ах при а>1 возрастает , а при 0<а<1 убывает. при а>1 при 0<а<1 При х=0 у=1 При х=0 у=1При любых х функция у=ах принимает значения у>0.
а0=1;аmаn=аm+n; аmвm=(aв)m; am/an=am-n; (am)n=amn;аm*вm=(а*в)m, am/вm=(а/в)m,а-к=1/ак;
Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени, например: 2Х=4; 3х=2х; 5Х-2=25. Рассмотрим типы решения показательных уравнений: 1 тип: приведение показательного уравнения к виду аf(x) =аu(x). Известно, что показательная функция у=ах при а>0, а≠1 возрастает или убывает, поэтому каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Из равенства аf(х) = аu(х) следует равенство F(х)=U(х). Этим утверждением руководствуются при решении показательных уравнений, т.е. обе части уравнения приводят к степени с одинаковым основанием. ПРИМЕР 153Х-2=510-Х; 3Х-2=10-Х; 3Х+Х=10+2; 4Х=12; Х=3.ПРИМЕР 2(7/2)Х=(2/7) 4 -5Х; (7/2)Х=(7/2) -4+5Х; Х=-4+5Х; Х-5Х+4=0; Х=4. ПРИМЕР 3(2/3)х(9/8)х=27/64. Т.к. показатели степени одинаковые, то при умножении степеней с одинаковыми показателями надо перемножить их основания, а показатель степени оставить прежним, т.е. (2/3*9/8)х=27/64; (3/4)х=(3/4)3; Х=3.
Решение уравнений.2 ТИП: вынесение общего множителя за скобки.ПРИМЕР 13Х-2*3Х-2=63; 3Х-2(3Х-Х+2-2)=63; 3Х-2*7=63; 3Х-2=9; 3Х-2=32; Х-2=2; Х=4. ПРИМЕР 2 ПРИМЕР 3 52Х-1-52Х+22Х+22Х+2=0; 23Х+2-23Х+1 =12+23Х-1; 22Х+22Х 22=52Х-52Х 5-1; 23Х-1(23-22-1)=12; 22Х(1+22)=52Х(1-5-1); 23Х-1*3=12; 22Х 5=52Х(1-1/5); 23Х-1=4;22Х*5=52Х*4/5; 23Х-1=22;(2/5)2Х=4/(5*5); 3Х-1=2; 3Х=3; (2/5)2Х=(2/5)2; Х=1.; 2Х=2; Х=1.
ПРИМЕР 1. 72Х-8*7Х+7=0. Введем подстановку: 7х=у, тогда у2-8*у+7=0. Решаем уравнение и находим корни D=в2-4ас, D =36; у1=(8+6)/2=7; у2=(8-6)/2=1; Подставим значения переменной у в подстановку. 7х=7 или 7х=1 Х=1 или 7х=70 , х=0. ПРИМЕР 2 22+Х-22-Х=15;22*2Х-22/2Х=15;4*2Х-4/2Х=15;Пусть 2х=у, тогда 4у-4/у=15;4у2-4==15у; 4у2-15у-4=0;Д=289 у1=(15+17)/(2*4); у2=(15-17)/8=-1/4; Подставим найденные значения у в подстановку. Получим 2х=4, 2х=22 , х=2 . или 2х=-1/4;решения нет.
3 группа
C 1 № 503127, C 1 № 503252http://reshuege.ru
2 группа
http://reshuege.ruКаталог задач В7, показательные уравнения
1 группа