Методические рекомендации по изучении темы:"Решение тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Кировское областное государственное образовательное автономное учреждение среднего профессионального образования

"Вятский электромашиностроительный техникум"

Пособие по изучению темы:

 «Тригонометрические уравнения»

Киров

2014 г.

Пособие печатается по решению предметно- цикловой комиссии естественно- научных дисциплин.

Автор  - Лопатина Наталья Владимировна

Пособие предназначено для самостоятельного изучения темы: «Тригонометрические уравнения» студентами очного отделения КОГОАУ СПО ВЭМТ.

Содержание

1. Простейшие тригонометрические уравнения...........................................  4-12

1.1 Арккосинус. Решение уравнения cosx=b..................................................4-5

1.2 Арксинус. Решение уравнения sinx=b......................................................6-8

1.3 Арктангенс. Решение уравнения tgx=b.....................................................8-10

1.4 Арккотангенс. Решение уравнения ctgx=b..............................................10-12

2. Тригонометрические уравнения.................................................................12-16

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным...................................................12-13

2.2 Однородные уравнения первой степени..................................................13-14

2.3 Однородные уравнения второй степени..................................................14-15

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители...............................15-16

3. Контрольная работа по теме........................................................................16

4. Справочный материал..................................................................................17-18

Раздел 1. Простейшие тригонометрические  уравнения.

1.1 Арккосинус. Решение уравнения cosx = b.

Арккосинусом числа b называется такое число х, косинус которого равен b.

arсcos (-b)=π- arсcosb

Пример.   1) arсcos 1=0

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «cosα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2) arсcos=

  3)arсcos(- )= π- arсcos=π- = =

Решение уравнения cosx = b.

Если b, то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =±arсcosb +2где k.

Если b, то уравнение не имеет корней.

• Вопросы для самопроверки

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

• Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.2  Арксинус. Решение уравнения sinx = b.

Арксинусом числа b называется такое число х, косинус которого равен b.

arсsin (-b)=- arсsinb

Пример.   1) arсsin 1= 

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «sinα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2) arсsin=

3) arсsin(-)=  - arсcos = -

Заполните таблицу.

Решение уравнения sinx = b.

Если b, то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =arсsinb +гдеk.

Если b, то уравнение не имеет корней.

• Вопросы для самопроверки

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

• Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.3  Арктангенс. Решение уравнения tgx = b.

Арктангенсом числа действительного числа b называется такое число х, тангенс которого равен b.

arсtg (-b)=- arсtgb

Пример.   1) arсtg 1= 

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «tgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

2) arсtg=   

3) arсtg(-)=  - arсtg= -

Заполните таблицу.

Решение уравнения tgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arctgb +гдеk

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

• Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1.4  Арккотангенс. Решение уравнения ctgx = b.

Арккотангенсом числа действительного числа b называется такое число х, котангенс которого равен b.

arссtg (-b)=- arсtgb

Пример.   1) arссtg 1=

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «ctgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

     2) arссtg= 

3) arссtg(-)=  π- arсtg=π - ==

Заполните таблицу.

Решение уравнения сtgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arсctgb +гдеk

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

• Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

Раздел 2. Тригонометрические  уравнения.

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным

Пример 1.

2sin2x + 3sinx -2=0

Это квадратное уравнение относительно sinx.

Введём новую переменную у = sinx.

Тогда уравнение примет вид:

2у2 + 3у -2=0

Это квадратное уравнение относительно у.

D = 32 - 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25.

у1 =, у2 =-2.

а) у1 =, т.е. sinx =, х = (-1)n.+πn, nZ.

б) у2 =-2, т.е. sinx = -2, нет корней.

Ответ:  х = (-1)n.+πn, nZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. 6sin2x - 5sinx+1=0.
2. 8sin²x – 6sinx-5 =0.

Пример 2.

6sin2x – 5cosx +5=0

Заменяя sin2x = 1-cos2x, получим

6· (1-cos2 x)-5cosx+5 =0

6 – 6cos2 x-5cosx+5 =0

- 6cos2x-5cosx+11 =0

Разделим каждое слагаемое уравнения на (-1).

6cos2x + 5cosx-11=0

Получили  квадратное  уравнение относительно cosx.

Пусть у = cosx, тогда уравнение принимает вид:

6у2 + 5у – 11= 0,

у1= 1, у2 = -.

а) cosx = 1, х1= 2πn, nZ.

б) cosx= -, нет корней.

Ответ:  х= 2πn, nZ.

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. 8cos2x + 6sinx – 3=0.
2. 2sin2x – 5cosx – 5=0.

Пример 3.

tgx + 3ctgx = 4

Заменяя ctgx=, получим tgx + = 4,

Умножим каждое слагаемое на tgx:

tg2x - 4 tgx + 3=0, ОДЗ: х≠+ πn, n∈Z.

Это квадратное уравнение относительно tgx.

Пусть tgx = у, тогда

у2- 4у + 3=0,

у1= 3, у2= 1.

а) tgx = 3, х1= arctg3 + πn,  n∈Z.

б) tgx = 1, х2 =  + πn, n∈Z.

Ответ: х1= arctg3 + πn,  n∈Z,

            х2 =  + πn, n∈Z.

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. tgx – 4сtgx = 3.
2. tgx - 2сtgx + 1= 0.

2.2 Однородные тригонометрические уравнения.

2.2.1. Однородные тригонометрические уравнения первой степени.

Пример 1.

sinx - 2cosx = 0

В однородных уравнениях первой степени каждое слагаемое 1-ой степени.

Делим обе части на cosx,

cosx≠0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin2x + cos2x = 1).

Получим

 = 0

tgx – 2 =0

tgx = 2

 х = arctg2 + πn,  n∈Z.

Ответ:

        х= arctg2 + πn,  n∈Z.

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. sinx+3cosx = 0.
2. cosx = sinx.

2.2.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Пример 1.

sin2x - 5sinx·cosx +6cos 2x =0

В однородных уравнениях второй степени каждое слагаемое 2-ой степени. Решаем делением обеих частей на cos2x≠0 (или sin2x≠0).

Разделим обе части на cos2x,

cosx≠0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin2x + cos2x =1)

Получим

0,

tg2x - 5 tgx+ 6=0,

Пусть tgx = у,  у2 – 5у + 6=0,

у1= 2,      у2 =3.

а) tgx =2, х1= arctg2 + πn,  n∈Z.

б) tgx =3, х2= arctg3 + πn,  n∈Z.

 Ответ:  х1= arctg2 + πn,  n∈Z.

              х2= arctg3 + πn,  n∈Z.

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. 3sin 2x  - 4sinx·cosx + cos 2x = 0.
2. 5 cos 2x + 4sinx·cosx - cos 2x = 0.

Пример 2.

22cos2x + 8sinx·cosx = 7

Представим 7=7·1= 7·( sin2x + cos2x), получим  однородное уравнение

2-ой степени.

Разделим обе части на cos2x,

cosx≠0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin2x + cos2x =1)

Получим  7tg2x - 8tgx – 15 = 0.

Пусть tgx = у,  7у2 – 8у – 15=0,

              у1= -1,      у2 = .

а) tgx = -1, х1= -  + πn,  n∈Z.

б) tgx = , х2= arctg + πn,  n∈Z.

Ответ: х1= -  + πn,  n∈Z;

            х2= arctg + πn,  n∈Z.

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1. 6sin2x + 4sinx·cosx = 1.
2. 4sin2x – sin2x = 3.

2.3 Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Пример1.

sin2x+2sinx=0

Вынесем sinxза скобки, получаем

sinx(sinx + 2)=0

sinx=0        илиsinx + 2=0

x = ksinx = -2 корней нет, так какb = -2

Ответ:x = k

Пример2.

cos2x – 3sin2x = 0

Заменяя sin2x = 2sinx·cosx, получим

cos2x - 3·2sinx·cosx =0.

Вынесем множитель cosx за скобки:

cosx(cosx – 6sinx) = 0.

а) cosx = 0, х = 2πn, n∈Z,

или

б) cosx - 6sinx= 0 – однородное уравнение 1-ой  степени.

Делим обе части на cosx,

cosx≠0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin2x + cos2x = 1).

Получим 1-6tgx =0, tgx = ,

 х = arctg + πn,  n∈Z.

Ответ: х1 =2πn, n∈Z,

        х2= arctg + πn,  n∈Z

• Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1) 6tg2x + 4tgx = 0.

2) 5sin2x – sin2x = 0.

Раздел 3.

3.1  Контрольная работа по теме: "Тригонометрические уравнения".

1. Решите уравнение:

а) sin 4x =

б) cos =  

в) 2tgх – 2 = 0

2. Решите уравнение и найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку: ctg (3x + ) = ; [-;π]

3. Решите уравнение:

а) 4sin² x – 5sinx  + 1=0

б) 2sin²x- 5sinx cosx + 7cos²x=1

в) sin² x +sinxcosx =0

Раздел 4.Справочный материал.

Таблица значений тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества

tg

tg                  ctg

1+1+

Формулы двойного аргумента

sin2= 2sincos

cos2=  =

tg2

Тригонометрические уравнения