Урок математики в 11 классе по подготовке ЕГЭ по теме "Решение текстовых задач на смеси и сплавы"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок  алгебры

Наименование УО: МБОУ Лицей  №8 г. Кисловодск Ставропольский край

Учитель: Чунихина Наталия Александровна

Предмет: Математика

Класс: 11

Тема урока: Решение задач на смеси  и сплавы

Цели урока:  Образовательные:

1.Создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении текстовых задач.

2.Повышение практической направленности предмета через решение практических задач.

                            Воспитательные:

                3.Формирование математической  грамотности учащихся.

                            Развивающие:

                4.Развитие навыков логического, творческого мышления,    

                сообразительности и наблюдательности.  

Тип урока:  урок закрепления   материала.

Оборудование урока:  раздаточный материал, мультимедийный  проектор, экран, презентация.

План урока:

1. Организационный момент
2. Сообщение темы урока.
3. Устная разминка
4. Способы решения задач
5. Практическая часть урока
6. Самостоятельное решение
7. Итог урока. Домашнее задание.    

Ход урока

1.Организационный момент  (Приветствие и посадка учащихся.  Проверка готовности учащихся к уроку. )             

2. Сообщение темы урока:

 Здравствуйте!  Итак, начинаем урок алгебры с эпиграфа: «Незнающие пусть научатся, знающие - вспомнят еще раз». Античный афоризм. 

    Человеку часто приходится часто смешивать различные жидкости, порошки, газообразные и твердые вещества, или разбавлять что-то водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы  включены в работы по математике ЕГЭ. Эти задачи под №11.

Как вы думаете, какова цель нашего урока? (ответы учащихся)

Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим  такие задачи.  Начнем наше занятие с повторения понятий, необходимых нам для решения задач.     Для этого вы должны разгадать небольшой кроссворд. Внимание на экран.

3. Устная разминка

1. Сотая часть числа называется …(процент)

Кроссворд:

   Разминка: 
  Соотнести проценты и соответствующие им дроби: 3% - 0,03; 24% - 0,24;

              157% - 1,57; 0,7% - 0,007; 30% - 0,3  45%- 0,45

2. Частное двух чисел называют …(отношение)
3. Верное равенство двух отношений называют …(пропорция)
4. В химии определение этого понятия звучало бы так: гомогенная смесь, образованная не менее чем двумя компонентами … (раствор). Один из которых называется растворителем, а другой растворимым веществом.
5.  Отношение массы растворимого вещества к массе раствора называют массовой долей вещества в растворе или …(концентрация)

Все эти понятия «процент», «отношение, «пропорция», «концентрация» связаны  

с задачами на смеси, сплавы и растворы.

          Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси      

          будем называть отношение массы основного вещества  m в смеси к общей массе  

          смеси M:

               Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.      

           В  большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при    

           их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи

           утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает

           более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

                Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и

          сплавы.  

          4.Способы решения задач

           Рассмотрим следующие способы решения задач:

     1.С помощь таблицы.

     2. С помощью схемы.

     3. Решение задач с помощью системы уравнений

     4. С помощью приравнивания равных площадей

     5.Старинный способ решения задач. (Метод рыбки).

5.Практическая часть

I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

Таблица для решения задач имеет вид.

Задача №1 Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 г, содержащий 25% никеля. На сколько  граммов масса первого сплава меньше массы второго?

Сумма масс никеля в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе никеля в полученном сплаве (третья строка таблицы):

Решив это уравнение, получаем х=50. При этом значении х выражение
200 – х=50. Это означает, что первого сплава надо взять50 г, а второго 150г.

150-50=100 г.

Ответ:100г.

II.Решение задач с помощью систем уравнений

Условно разделим сплав на никель и еще какой-то металл.

Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.

Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение

Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг,  во втором – (0,3у) кг, а в новом - 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение 

Получим систему уравнений:

50 кг – масса первого сплава.

150 кг – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг)

Ответ: на 100 кг.

III. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы: 

Решение.

Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс никеля в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе никеля в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение

200-х=600. Это означает, что первого сплава надо взять 140г, а второго-60г.

IV. Решение задач с помощью  приравнивания площадей равновеликих фигур.

Задача №2 Смешали 30%-й раствор соляной  кислоты с 10% раствором и получили 600 г. 15%-го  раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

               % 30    

            15

            10

                         Х                                          600                     m(г)

На оси х мы отмечаем массу растворов, на оси у процентное содержание растворов. Находим площади  полученных прямоугольников и приравниваем их.

В данной задаче  нам неизвестна масса первого вещества. Обозначим её за хг., тогда масса второго вещества  равна  (600-х) г.  Находим площади прямоугольников.  S1=15x       S2=5(600-x). Приравниваем эти площади. Решаем уравнение 15х=5(600-х). Получаем х=150 г- масса первого раствора.

Находим массу второго раствора 600-150=450г.

Ответ: 150г. 30%-го раствора и 450г. 10%-го раствора.

V. Старинный способ решения задач. ( Метод рыбки)

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами  и ремесленниками при решении различных задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо словесно описывалась последовательность действий- поступай так и получишь ответ.

Задача №3 Сплавили два слитка серебра: 75г. 600-й пробы и 150г. 864-й пробы. Определите пробу получившегося сплава серебра.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему.

                         600 (75г)                                864-х

                864 (150г)                              х-600

Получаем

1728-2х=х-600

-2х-х=-600+1728

3х=2328

х=776

Ответ: 776 проба

6. Самостоятельная работа

Итак, мы с вами разобрали несколько способов решения текстовых задач.

У вас на столах лежат карточки с задачами. Вы должны решить эти задачи любым подходящим и понравившемся вам способом.

Вариант 1

1.Имеется два сплава. Первый содержит 25% меди, второй 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий  сплав массой 150 кг, содержащий 28% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20%   цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.                                                       Ответ: 65% меди.

Вариант 2

1.Имеется два сплава. Первый содержит 5% олова, второй 25% олова. Из этих двух сплавов получили третий  сплав массой 250 кг, содержащий 20% олова. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

2.Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Вариант 3

1. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?

2.Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

Ответ: 9 кг и 6 кг.

Вариант 4

1.Имеется 2 сплава. Первый содержит 5% меди, второй -11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в граммах.

2.Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?

7.Итог урока. Домашнее задание.    

Шел мудрец, а я навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал вопрос каждому. У первого спросил: «А что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил  камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», тот ответил: «А я добросовестно выполнил свою работу.» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

Сделайте для себя вывод, кто какую работу выполнил сегодня на уроке.

Вернёмся к поставленным в начале урока целям. Какие из них вы выполнили?  (дети отвечают) - Молодцы, ребята, вы успешно справились с заданиями. Мне очень приятно было с вами работать.

– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет?  (Задачи на смеси и сплавы)

– Действительно, во всех задачах фигурируют смеси и сплавы; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.

– Посмотрите на эти задачи с точки зрения математики. Что их объединяет?  (Задачи на проценты).  Сделаем итог: 

• Что нового вы узнали на уроке?
• Можете ли вы решать задачи на растворы?
• Что вы можете сказать о том, как часто встречаются такие задачи в реальной жизни?

Дидактические материалы для тренировки:

1. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
3. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% - го раствора нашатырного спирта?
5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
7. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
8. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.