Решение текстовых задач на смеси, сплавы и растворы при подготовке к ГИА по математике
методическая разработка по алгебре (5, 6, 9, 11 класс)
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа С. Комгарон» муниципального образования Пригородный район Республики Северная Осетия-Алания
Решение текстовых задач: задач на смеси, сплавы и растворы при подготовке к ГИА по математике.
( рекомендации учащимся)
Джатиева Любовь Владимировна
учитель математики
высшей категории
с.Комгарон
2022г
«Нахождение способа решения задачи подобно изобретению,
а изобретение требует воображения, догадки, фантазии.
Поэтому развивайте у себя эти качества»
Теоретические основы решения задач на сплавы и смеси
При подготовке учащихся к сдаче экзаменов ЕГЭ и ГИА по математике постоянно наталкиваешься на «боязнь» учащихся текстовых задач и неумение их решать, хотя у них за плечами все темы школьного курса математики 5-9 классов: «Решение линейных уравнений», «Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений», «Решение квадратных уравнений», «Системы уравнений с двумя неизвестными», «Решение задач с помощью квадратных уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными».
Основные затруднения:
а) выделение неизвестной величины, ее связи с другими величинами задачи;
б) составление уравнений, систем уравнений;
в) выбор ответа.
После занятия выпускники должны уяснить, что существует последовательная система работы с задачей, которая приводит к положительному результату.Решение задач на смеси, сплавы, растворы требует определенной теоретической базы.
Это различные определения, такие как концентрация, процентное содержание и др., а также и всевозможные допущения, например:
1) всё, что мы рассматриваем, считается однородным;
2) все процессы происходят мгновенно;
3) полученное вещество состоит из смешиваемых веществ и равно сумме их объемов;
4) величины, получаемые в результате вычислений, не могут быть со знаком минус.
Ученикам нужно обосновывать необходимость структурного подхода к решению текстовых задач. Научить их строить наглядную схему процесса решения задач и параллельный пошаговый план работы при решении текстовой задачи.
Схема решения задачи
- Анализ условия задачи
- Составление плана решения
- Построение математической модели
- Решение задачи в различных моделях
- Поиск других решений
- Описание решения задачи и выделение общей схемы
- Составление обратных задач и их решение
- Установление границ применения способа решения задачи для задач с другим содержанием
- Составление обобщений задачи, ее решения и исследования.
. На первом шаге рассматриваются приемы анализа условия задач.
Приемы анализа текста задачи: «Чтобы узнать, надо знать».
- Переформулировка вопроса задачи, замена поставленного вопроса.
- Постановка вопроса к данному условию задачи.
- Нахождение необходимых для ответа на поставленный вопрос.
- Исследование задач с недостающими, лишними , противоречивыми данными
- Сравнение условий нескольких задач.
Процесс решения задачи
Задачи на смеси и сплавы бывают двух видов:
- Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
- В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.
В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию и массу вещества.
Концентрация вещества - это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора. Как правило, концентрация выражается в процентах.
Масса раствора равна сумме масс всех составляющих.
Алгоритм решения задач на смеси и сплавы:
- Определить, какое вещество влияет на концентрацию раствора (главное вещество).
- Следить за весом главного вещества при добавлении других веществ в раствор.
- Исходя из данных об изменениях состояния главного вещества - сделать выводы.
Как правило, концентрация выражается в процентах.
Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби (0,11), либо в виде процента (11%).
Важно знать:
1.Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих. |
Если мы смешаем 3 литра апельсинового сока и 77 литров воды, то получим 10
10 литров апельсинового нектара (сделаем предположение, что смешивание происходит в автоматическом режиме, а не вручную).
2.При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов. |
Если мы смешаем 6 литров яблочного сока и 66 литров персикового сока – то получится 12 литров яблочно-персикового сока.
И еще одна очевидность (последняя).
3.Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется. |
Если мы смешаем 3 литра яблочного сока с 10% мякоти (0,3 л), и 55 литров яблочного сока с 5% мякоти (0,25 л), то получим 88 литров сока с 0,55 л мякоти
(0,3+0,25).
2. Простейшие задачи на смеси и сплавы
Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:
- Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
- В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.
Строго говоря, подход к решению от этого не меняется. Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше 0, а в другой равна 0.
Пример 1.
В 5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?
Решение:
- Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в 5% растворе. Из 3,8 кг 5% - это кислота, а значит в растворе 0,05 * 3,8=0,19 кг кислоты
2. Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. 3,8 кг + 1,2 кг =5 кг.
3. Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – 0,19 кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна 0,19:5=0,038
4. Теперь выразим концентрацию в процентах - 0,038⋅100%=3,8%
Ответ: 3,8
Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.
Пример 2.
Смешали 3 кг 5%-го водного раствора щелочи и 7 кг 15%-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.
Решение:
Давай попробуем визуализировать ситуацию. 3 кг 5% водного раствора. Значит воды в этом растворе 95%.
Нарисуем:
А теперь второй раствор:
После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить 3кг + 7 кг = 10 кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за x, а количество воды – (10−x):
Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе –0,05⋅3=0,15 кг щелочи
и 3−0,15=2,85 кг воды,
во втором - 0,15⋅7=1,05 кг щелочи
и 7−1,05=5,95 кг воды:
Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: x=0,15+1,05=1,2кг кислоты.
Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:
1,2:10=0,12
Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на 100%
0,12⋅100%=12%.
Ответ: 12.
Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.
3. Алгебраический метод
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или систем неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.
Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений. Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку этапности решения.
В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.
1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.
3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.
4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.
При решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Этапы решения задачи:
1. Знакомство с текстом задач и выделение основных компонентов в них. Заполнение таблицы.
Таблица для решения задач имеет следующий вид:
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | Масса раствора (смеси, сплава) М | % содержание вещества (доля содержания вещества) m / M * 100% | Масса вещества m |
|
|
|
Или в таком виде:
1 – й р-р | 2 – й Р-р | Смесь 2 растворов | |
Масса растворов | |||
Массовая доля раств-го вещества | |||
Масса вещества в растворе |
2. Составление уравнения и его решение.
3. Анализ полученных данных, ответ на вопрос задачи.
Рассмотрим примеры решения задач с помощью таблицы.
Пример 4.В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?
Решение.
Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в руде) до и после удаления примесей.
Масса руды, кг | Масса железа, кг | Концентрация (доля железа в руде) | |
Руда | 500 | х | |
Руда после удаления примесей | 500-200=300 | х-0,125⋅200= x-25 |
Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .
Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125⋅200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .
По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение:
Найдём, что 212,5 кг – масса железа в руде. Найдём остаток железа в руде после удаления примесей: 212,5-25=187,5 (кг).
Ответ:187,5 кг.
Пример 5. Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Наим-е веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание меди (доля сод-я в-ва) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Первый сплав | 15%=0,15 | хг | 0,15х |
Второй раствор | 65%=0,65 | (200 – х)г | 0,65(200–х)=130–0,65х |
Получившийся р-р | 30%=0,3 | 200 г | 200 |
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.
Ответ:140г. 60г.
Рассмотрим еще несколько примеров решения задач с помощью таблицы.Как правило обе части уравнения умножают на100, при этом избегают решения уравнения с десятичными дробями.
6. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Количество раствора | 5 л | +7 л | = 12 л |
% содержания растворенного вещества | 12 % | 0 % | х % |
Количество растворенного вещества | |||
5 5 х = 5Ответ: 5. |
7. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Количество раствора | 4 л | +6 л | = 10 л |
% содержания растворенного вещества | 15 % | 25 % | х % |
4 2 х = 21Ответ: 21. |
8. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
виноград | изюм | ||
Количество раствора | х кг | 20 кг | |
% содержания растворенного вещества | 100 – 90 = 10 % | 100 – 5 = 95 % | |
10х = 20 х = 190Ответ: 190. |
9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Количество раствора | х кг | + (200 – х) кг | = 200 кг |
% содержания растворенного вещества | 10 % | 30 % | 25 % |
10х + 30(200 – х) = 200 х + 3(200 – х) = 20 х + 600 – 3х = 500 - 2х = - 100 х = 50 (200 – 50) – 50 = 100 Ответ: 100. |
10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Количество раствора | х кг | + у кг | + 10 кг | = х + у + 10 |
% содержания растворенного вещества | 30 % | 60 % | 0 % | 36 % |
Количество раствора | х кг | + у кг | + 10 кг | = х + у + 10 |
% содержания растворенного вещества | 30 % | 60 % | 50 % | 41 % |
х=4 Ответ: 60. |
Задания для самостоятельного решения:
1. (Типовые тестовые задания ЕГЭ 2012 п/р А.Л.Семенова, И.В.Ященко). Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?
2. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 % раствора, то получился бы 70 % раствор. Сколько литров 60 % раствора кислоты было первоначально?
Список использованной литературы.
1. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.
2. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )
3. Лурье М.В., АлександровБ.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.
4. Малахова Н. А., Орлов В. В. и др. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методич. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ, 1992. 46 с.
5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989
7. www.fipi.ru
8. www.festival.1september.ru
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Различные способы решение задач на смеси, сплавы, растворы
Задачи на смеси, сплавы, растворы вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически тол...
Презентация по теме: Различные способы решение задач на смеси, сплавы, растворы
Часто при решении задач большую роль играет наглядный материал. Таким материалом и является данная презентация....
![](/sites/default/files/pictures/2014/11/17/picture-312651-1416192799.jpg)
Исследовательская работа по теме: "Решение задач на смеси, сплавы и растворы"
Презентация для защиты исследовательсой работы по теме: "Решение задач на смеси, сплавы и растворы"....
![](/sites/default/files/pictures/2018/01/25/picture-57360-1516897342.gif)
Материалы для проведения проверочной работы "Решение текстовых задач по теме "Смеси, сплавы"
Презентация + карточки с заданиями...
Решение текстовых задач: задач на смеси, сплавы и растворы при подготовке к ГИА по математике. ( рекомендации учащимся)
Решение задач на смеси, сплавы, растворы требует определенной теоретической базы.Это различные определения, такие как концентрация, процентное содержание и др., а также и всевозможные допущения, напри...
![](/sites/default/files/pictures/2022/09/25/picture-1409481-1664103989.jpg)
Инновационный продукт "Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы" (Интеграция математики и химии)
Недостаточно лишь понятьзадачу, необходимо желаниерешить ее. Без сильного желаниярешить трудную задачу невозможно, Но при наличии такового – возможно.Где есть желание, найдется путь!Пойя Д...