Материал для подготовки к ОГЭ модуль "Геометрия"
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

Слайд 2

Высота, медиана, биссектриса треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой А М АМ – медиана Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника А А 1 АА 1 – биссектриса Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется перпендикуляром Н А АН - высота

Слайд 3

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. К М КМ – средняя линия Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны А В С

Слайд 4

C ерединный перпендикуляр Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему а А В а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему М А В О m m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВ М Є m АМ = ВМ

Слайд 5

Точка пересечения серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке А В С m n p O m, n, p пересекаются в точке О

Слайд 6

Точка пересечения биссектрис треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке А В С К СК – биссектриса < С М АМ – биссектриса < А ВР – биссектриса < В Р О О – точка пересечения биссектрис

Слайд 7

Точка пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке А С В К М Р О О – точка пересечения высот

Слайд 8

Точка пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины А В С К М Р О ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС О – точка пересечения медиан СО : КО = 2 : 1 АО : МО = 2 :1 ВО : РО = 2 : 1

Слайд 9

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним АВ = ВС А В С А В С АВ = АС = ВС

Слайд 10

Свойства равнобедренного треугольника А С В В равнобедренном треугольнике углы при основании равны < А = < В В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой АС = ВС СК - биссектриса К АК = КВ, СК АВ Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Слайд 11

Прямоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным АВ и АС – катеты ВС - гипотенуза А В С Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ВС² = АВ² + АС²

Слайд 12

Свойства прямоугольного треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° С А В

Слайд 13

Признаки равенства треугольников I признак По двум сторонам и углу между ними II признак По стороне и прилежащим к ней углам III признак По трем сторонам А N М К С В Если

Слайд 14

Признаки равенства прямоугольных треугольников По двум катетам Если АВ = КМ, АС = KN , то ∆АВС = ∆ KMN А N М К С В По катету и прилежащему острому углу Если AB = KM,

Слайд 15

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон А В С АВ < ВС + АС АС < АВ + ВС ВС < АВ + АС

Слайд 16

Сумма углов треугольника равна 180° A B C

Слайд 17

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним <3 смежный с <4 <4 + <3 = 180° (<1 + <2) + <3 = 180° <1 + <2 = <4 1 2 3 4 17

Слайд 18

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно , против большего угла лежит большая сторона 1 . В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Слайд 19

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки а b А 1 А 2 А 3 А 1 А 2 = А 2 А 3 = А 3 А 4 А 4 Проведем параллельные прямые В 1 В 2 В 3 В 4 В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4

Слайд 20

Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого А С В В 1 А 1 С 1

Слайд 21

Признаки подобия треугольников 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны А В С К М Р Если

Слайд 22

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180° С А В Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Слайд 23

Основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1 Теорема о площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними a b C

Слайд 24

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов а b c C B A

Слайд 25

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними а b c C B A

Слайд 26

№ 9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Решение:

Слайд 27

№9. В треугольнике АВС А D – биссектриса, угол С равен 50°, угол СА D равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. Решение:

Слайд 28

№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах. Решение:

Слайд 29

№ 24 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника Решение: С В А К Ответ: 5

Слайд 30

№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А. Решение: I способ: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно

Слайд 31

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВА D . Решение: ∆ODB = ∆ AOC ( по двум сторонам и углу между ними) AO = OB, DO = OC по условию,

Слайд 32

№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC . Решение: Так как MN || АС, то

Слайд 33

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP . Докажите, что LP² = KP·MP . Решение: ∆ KLM ∞ ∆KPL по двум углам (