Материал для подготовки с заданию С3 ЕГЭ (задания для разбора + раздаточный материал)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Опубликовано 14.11.2014 - 11:34 - Шевченко Елена Михайловна

Материал для подготовки с заданию С3 ЕГЭ (задания для разбора + раздаточный материал)

Скачать:

Вложение	Размер
Материал для подготовки с заданию С3 ЕГЭ (задания для разбора + раздаточный материал)	316.42 КБ

Предварительный просмотр:

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ СЕМИНАРЫ 3-4

Задание С3. Решение неравенств, содержащих логарифмы, в том числе

по переменному основанию, возможно степени, иррациональности и т.д.

Необходимые навыки: отработанные действия по решению рациональных уравнений и рациональных неравенств; осознанное владение методом интервалов для решения неравенств; свободное умение преобразовывать выражения с логарифмами и знание теорем логарифмирования; опыт учета области допустимых значений и решения получаемых при этом систем неравенств; четкое понимание отличия логарифмических неравенств с переменным основанием от аналогичных с постоянным основанием; видение возможности замены переменной в уравнении или в неравенстве, четкие действия по решению промежуточной задачи и грамотный возврат к исходной переменной (обратная замена).

Глобальные методы (наиболее эффективные):

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ НАХОЖДЕНИЕМ ( и выписыванием) ОДЗ; ПЕРЕХОД К РАВНОСИЛЬНОЙ СИСТЕМЕ И МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ОСНОВНОГО НЕРАВЕНСТВА;

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ.

ОЧЕНЬ желательные навыки и специфические методы, помогающие облегчить решение: владение техникой перехода к равносильной системе или совокупности условий; умение заменять на области допустимых значений логарифмическое или показательное неравенство на рациональное неравенство; знание моментов, когда можно удачно домножить разность двух неотрицательных выражений на сопряженное, и получить, например, вместо разности модулей разность квадратов.

Сложности могут возникнуть:

Уже при построении цепочки действий, приводящей к верному решению;
При нахождении области допустимых значений переменной;
При учете найденной области допустимых значений (решив систему ограничений, учащиеся часто просто забывают пересечь полученный в основном неравенстве ответ с областью допустимых значений);
При преобразованиях логарифмов (обычно в связи с неравносильностью проводимых преобразований, например, в связи с извлечением корня из квадрата выражения, или в связи с разбиением логарифма произведения в сумму логарифмов множителей);
При работе с переменным основанием: неверный переход к равносильной системе;
При замене переменной: нередко, сделав правильно замену переменной, учащиеся забывают сделать обратную замену, и дают неверный ответ в задаче;
При решении обычных промежуточных квадратичных неравенств, возникающих в процессе длительного решения громоздкого задания: учащиеся после нахождения корней уравнения просто забывают, что решалось не уравнение, а неравенство! Иногда, внезапно вспоминая, пишут откуда-то взявшиеся, иногда верные, иногда неверные, промежутки. Проверить логику выбора при этом нет никакой возможности, да и ответ зачастую бывает неверным. Обратная замена требует аккуратности! Надо до ответа решить промежуточную задачу. Должны быть выписаны и решены простейшие неравенства для исходной переменной.
Объяснив метод домножения на сопряженное или метод замены неравенства на равносильное ( с «минус единичками»), на всякий случай надо обязательно указать, что нельзя необдуманно в произвольном месте формулы заменять модули на квадраты, а логарифмы – на логарифмируемые выражения))))))))) У заучивающих наизусть формулы могут возникнуть серьезные проблемы!
Конечно, нужно как можно больше тренировать внимательность и аккуратность. Одна ошибка в арифметике на любом этапе решения задачи может зачеркнуть все сделанное…

Советы:

Если есть такая возможность, то извлечения корня надо избегать, лучше возвести в квадрат;
Если можно решить более простую задачу для промежуточной переменной, а только потом перейти к исходной
Если знаешь проверенный метод, но путаешься в более изысканном, то лучше записать решение старым, может быть, более долгим, методом, а потом проверить новым;
Очень обидно, если, проведя длительную цепочку правильных выкладок, делаешь ошибку в последнем действии. Поэтому, прежде чем записывать окончательный ответ, еще раз прочтите условие, особенно обратив внимание на знак неравенства, в частности, строгий он или нет.
Даже если Вы знаете грамотный короткий метод решения задачи с помощью перехода к равносильной системе условий, не поленитесь выписать систему ограничений для области допустимых значений и решить ее до конца. Если в дальнейшем решении Вы ошибетесь, то за нахождение ОДЗ получите хотя бы балл!
Проверьте свой ответ на предмет включения его в ОДЗ. Не дай Бог, там попадется хотя бы одна точка, в которой участвующие функции не определены!
Если не знаешь, что делать с несколькими разными логарифмами, возможно по переменному основанию, то переходи к новому постоянному основанию.)
Конечно, не проверить все, но получить некоторую долю уверенности в правильности решения можно путем подстановки нескольких произвольных точек в неравенство (только при наличии лишнего времени!!!!)

Необходимо помнить:

Если в решении, даже при наличии верного ответа, сделаны ошибки при решении промежуточных задач, то баллы снимут;
Нахождение области допустимых значений часто в заданиях подобного типа является отдельной трудоемкой задачей, поэтому за ее решение можно получить балл;
Каждую задачу, даже незнакомого типа, можно решить несколькими способами. Допустим, Вы оказались в сложной ситуации, такую задачу никогда не видели. Пробуйте, действуя в рамках законных математических правил, самостоятельно найти решение. Хотя бы одно должно отыскаться!
Ошибка в одну точку – тоже ошибка! Следите за скобками!
ЕСЛИ В ОТВЕТ ПОПАЛА ХОТЯ БЫ ОДНА ТОЧКА, НЕ ВХОДЯЩАЯ В ОДЗ, ТО ЗАДАЧА ОЦЕНИВАЕТСЯ КАК НЕРЕШЕННАЯ!

Специальные методы упрощения неравенств:

Если и неотрицательны, то выражение имеет тот же знак, что и

(при сравнении с 0 множитель может быть заменен на ) . Например, вместо в качестве МНОЖИТЕЛЯ в числителе или в знаменателе можно записать .

Разность двух логарифмов по одному и тому же постоянному основанию больше 1 имеет тот же знак, что и разность логарифмируемых выражений с сохранением порядка (при сравнении с 0 при множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).
Разность двух логарифмов по одному и тому же постоянному основанию меньше 1 имеет знак, противоположный знаку разности логарифмируемых выражений с сохранением порядка (при сравнении с 0 при множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).
Логарифм по переменному основанию положителен, если основание логарифма и логарифмируемое выражение находятся по одну сторону от 1, и отрицателен, если по разные (при сравнении с 0 множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).
Если основание логарифма больше 1, то сам логарифм задает возрастающую функцию, а если меньше 1 – то убывающую. Поэтому знак разности двух логарифмов с одним переменным основанием совпадает НА ОДЗ со знаком соответствующего произведения скобок, в первой из которых находится разность основания и 1, а во второй – разность логарифмируемых выражений с сохранением порядка вычитания (при сравнении с 0 множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на , и при этом желательна предваряющая действие фраза «На области допустимых значений переменной исходное неравенство равносильно следующему:….» ).
Разность степеней с постоянным основанием больше 1 имеет тот же знак, что и разность показателей с сохранением порядка (при сравнении с 0 при множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).
Разность степеней с постоянным основанием из интервала имеет знак, противоположный знаку разности показателей степени с сохранением порядка (при сравнении с 0 при множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).
Если основание степени больше 1, то показательная функция возрастает, если меньше – то убывает. Поэтому знак разности двух степеней с одним переменным положительным основанием совпадает со знаком соответствующего произведения скобок, в первой из которых находится разность основания и 1, а во второй – разность показателей степени с сохранением порядка вычитания (при сравнении с 0 множитель (как в числителе, так и в знаменателе) может быть заменен на ).

Характеристика блоков заданий:

Блок 1 – Подготовка к выполнению задач уровня С3. Основные приемы в заданиях весьма умеренного уровня сложности.

Блок 2 – Работа на занятии. Задания немного более высокого уровня, или более комплексные, включающие различные приемы. Заданий достаточно много, преподаватель имеет возможность выбрать, какие примеры надо в первую очередь разобрать на семинарах. Всем, даже хорошо решающим, есть, чем заняться. Блок 3 – Домашнее задание. Тренировка на все приемы решения логарифмических неравенств. Большая практика решения задач - большая вероятность успеха на экзамене!

Внимание! Задания не всегда расположены в порядке возрастания сложности!

Примеры для разбора на занятии:

Задание		Комментарии	Ответ
Блок 1. (обязательный минимум-подготовка к задачам ЕГЭ)
		Задание можно выполнять двумя способами: либо рассмотреть два случая (основание логарифмов больше 1, основание от 0 до 1), и в каждом случае выписать равносильную систему с ограничением на меньшее логарифмируемое выражение, либо применить метод «с минус единичкой», записав в одну систему ОДЗ и одно общее неравенство без логарифмов.
		Очевидно просматривается замена переменной; далее решаем методом интервалов до конца неравенство относительно логарифма, а затем нужно аккуратно сделать обратную замену переменной. Заметим, что в простейших неравенствах с логарифмом нужно не забыть ОДЗ на логарифмируемое выражение, но нет необходимости писать это ОДЗ, например, в решении двойного неравенства.
		Задачу можно оформить огромным количеством способов. Приведены только два из них. Можно при желании применить свойства логарифмов, записав числитель разности левой и правой частей как логарифм частного, или сразу перейти к переменному основанию и воспользоваться стандартным методом упрощения неравенства.
		Задача на использование стандартного приема «с минус единичкой» - он несколько экономичнее разбора случаев. Плюс немного работы с тригонометрическим кругом. Конечно, не стоит решать до ответа каждое из участвующих неравенств. Достаточно изобразить на круге, а потом выписать итоговый ответ.
		Возможно, написав ОДЗ, рассмотреть два случая по отдельности, разбив логарифмы на суммы и разности. Другой вариант - внести 3 в степень, а затем НА ОДЗ пропотенцировать неравенство по основанию 2, объяснив проверяющим, почему не изменился знак неравенства. Можно предварительно что-то перенести в другую часть.
		Аккуратно применив свойства логарифмов ( с учетом ), получаем квадратичное неравенство относительно логарифма.
		Не забыть, что 0,2<1, то есть неравенство между логарифмируемыми выражениями имеет противоположный знак. Ограничение ставим на меньшее выражение.
		Задание отличается от предыдущего переменным основанием. Очень удобно применить метод «с минус единичкой», хотя можно и рассмотреть по случаям, сравнив основание с 1. Здесь на ОДЗ реализуется только один случай.
		В этой задаче очень удобно на ОДЗ перейти к равносильному рациональному неравенству, используя метод домножения на сопряженное и замену логарифма на выражение «с минус единичкой». При решении конечного неравенства методом интервалов надо не забыть изолированную точку.
		Представив правую часть неравенства в виде логарифма, отрабатываем метод «с минус единичкой». Это быстрее всего.
		Задача легче всего решается переходом к рациональному неравенству через «минус единичку», то есть каждый логарифм заменяем на рациональное выражение того же знака.
		Сразу можно переходить к равносильному неравенству без степеней, сравнив основания с 1. Никаких дополнительных ограничений писать не требуется. Даже не нужен метод интервалов, так как один и тот же множитель есть и в числителе, и в знаменателе, и после сокращения с выделением ограничения неравенство превращается в линейное.
		Логарифм по основанию 0,5 легко приводится к основанию 2, и мы видим разности логарифмов по одному основанию как в числителе, так и в знаменателе. В отличие от предыдущего задания, здесь необходимо выписать ограничения на логарифмируемые выражения, лучше даже отдельно выписать и решить ОДЗ. Далее переходим к равносильному рациональному неравенству.
		Первым делом находим ОДЗ. При этом каждый множитель в логарифмируемых выражениях четко приобретает свой знак, и можно использовать формулы для логарифма произведения. Если не хотим раскладывать, то после написания ОДЗ можно просто пропотенцировать неравенство по основанию 2.
Блок 2. (задания уровня ЕГЭ)
	Логарифм с переменным основанием сравнивается с 0, поэтому надо написать ОДЗ и воспользоваться соответствующим методом "с минус единичкой", или просто расписать по случаям.
	Первое действие - замена переменной. Заметим, что по условию , то есть новая переменная положительна, и на нее можно домножать даже в неравенстве. Решив квадратичное неравенство, нужно аккуратно провести обратную замену. Делается это с помощью логарифмирования неравенства с положительными обеими частями. Так как логарифмируем по основанию 10>1 , то знак неравенства не меняется. Доводим до ответа.
	Замечательно работают технологии "с минус единичкой". Конечно, после нахождения ОДЗ.
	Воспользуемся однородностью дроби и положительностью , и без всяких ограничений разделим и числитель, и знаменатель дроби на . Получим новую положительную переменную, решим неравенство методом интервалов. Аккуратно делаем обратную замену, так как (знак неравенства меняется). Если кто-то боится ошибиться, советуем вводить в качестве новой переменной не , а , и, соответственно, делить на .
	В первом логарифме возводим в квадрат и основание, и логарифмируемое выражение ( так как есть в основании и в правой части, то дополнительных ограничений писать не надо). Далее можно, конечно, привести все к любому новому постоянному основанию, но удобнее работать " с минус единичкой".
	Находим ОДЗ. Далее замечаем, что первый множитель левой части неотрицателен. Неравенство равносильно совокупности, которую надо выписать без ошибок. Тем, кто не очень уверенно переходит к равносильным совокупностям и системам или хронически забывает изолированные точки, советуем решить задачу "честно" методом интервалов.
	Прежде всего, приводим логарифмы к одному основанию. Конечно, это после нахождения ОДЗ! Надо не запутаться в коэффициентах и степенях. Чтобы сразу не рассматривать различные промежутки из ОДЗ по отдельности, можно поставить модули на оба линейных выражения. Выражение в левой части неравенства прекрасно раскладывается на множители. Далее пользуемся технологией "с минус единичкой". Заодно можно домножить на сопряженное разность двух неотрицательных выражений. Тем, кто боится сложных методов, посоветуем по отдельности рассмотреть оба промежутка ОДЗ.
	Нахождение ОДЗ здесь является отдельной трудоемкой задачей. Проделав ее, можно писать равносильные неравенства. Часть множителей (знаменатель) удастся отбросить за счет учета ОДЗ, но с остальными придется поработать, оценить корни, а потом решить неравенство методом интервалов. Не забудьте про найденную не зря ОДЗ!
	Типичная задача на применение метода "с минус единичками".
	Ключевую роль играет ОДЗ и умение ею грамотно воспользоваться. Тогда можно по свойствам логарифмов раскрыть логарифм произведения, степени, и получается квадратичное неравенство относительно логарифма. Сюрприз: в ответе неравенства - число.		2
	Находим ОДЗ и переходим к простому равносильному рациональному неравенству. Работают "минус единички"!
	Неравенство довольно очевидное в смысле способа решения, но очень трудоемкое, даже при условии использования "быстрых" методов. К тому же, числа, возникающие при решении, содержат иррациональности и требуют тщательного сравнения, что отбирает много драгоценного времени. Но такую задачу посмотреть и попробовать решить самому тоже очень полезно. Кто знает, вдруг на экзамене попадется что-то такое же неприятное?) Да, не забыть верно найти ОДЗ! Здесь надо ставить ограничение на весь внутренний логарифм, что, может быть, не совсем привычно, и решать соответствующее неравенство.
	Напрашивается формула перехода к новому основанию, но надо обязательно найти и учесть ОДЗ. Далее можно дважды переходить к более простому неравенству. Правда, числа опять будут не самые приятные. Сравниваем, чтобы разместить числа в методе интервалов на числовой оси. Не забываем пересечь с ОДЗ!
	Конечно, первое наше действие – перенести все в одну часть и вынести за скобки квадрат логарифма. После нахождения ОДЗ можно либо расписывать равносильную систему, либо свести все в одно неравенство «с минус единичками»». Внимательнее к изолированным точкам! Есть квадраты, и знак выражения меняется не везде!
	В этом примере действует один из надежных стандартных приемов – переход к новому постоянному основанию. Как правило, он помогает даже тогда, когда в задании масса различных логарифмов, и что с ними делать, совершенно непонятно. Не говоря уже о том, что любые действия с переменными основаниями могут быть заменены на работу с логарифмами по новому постоянному основанию. Выбирать его можно произвольно. К тому же, надо знать, что переход к новому ПОСТОЯННОМУ основанию никак не влияет на ОДЗ задачи! В нашем примере переход к основанию 2 дает рациональное неравенство относительно логарифма, которое и решаем до конца методом интервалов с последующей обратной заменой.
	Перейдем к любому новому постоянному основанию. После нахождения ОДЗ и разложения участвующих квадратичных выражений на множители можно привести все к общему знаменателю, вынести за скобки логарифм в числителе и применить метод «с минус единичкой», либо просто метод интервалов.
	Заменив на новую переменную, мы получаем обычное иррациональное неравенство. Вообще, если упрощающая замена возможна, то ее полезно сделать. Более интересна была бы задача, где в первой скобке стоит не 3 в степени, а какое-то другое показательное выражение с показателем, зависящим от х. Не забыть сделать обратную замену!
	По существу, здесь есть две участвующие в условии величины, - логарифмы х по основаниям 3 и 5, - которые можно обозначить буквами, после чего разность левой и правой частей легко раскладывается на множители. Каждый множитель при желании можно заменить НА ОДЗ выражением того же знака, и задача сводится к простейшему применению метода интервалов.
	Надо удержаться от настойчивого, быть может, желания «перевернуть» дроби и поставить между ними знак неравенства. Дело в знаках знаменателей (конечно, все увидели, что в правой части стоит величина, обратная логарифму по основанию 5), про них забывать нельзя. Придется честно перенести все в одну часть и привести к общему знаменателю, а затем можно и упростить задачу, воспользовавшись методом «с минус единичками». Не забываем про ОДЗ!
	После применения свойств логарифмов (заметим, все без изменения ОДЗ!) проглядывается замена на новую переменную. Кстати, здесь все ограничения уже в этой переменной содержатся. Так что писать ОДЗ нет никакой необходимости. Разве что…. Для подстраховки) Ведь мы помним, что за найденную ОДЗ (при дальнейшем неверном решении) мы можем получить хотя бы один балл! Но об ОДЗ надо обязательно вспомнить, проводя обратную замену переменной!
	Что выгоднее? Извлекать корень ( из квадрата – аккуратно), или же возводить в квадрат и основание логарифма, и логарифмируемое выражение? Мы бы вабрали второе, но ТОЛЬКО ПОСЛЕ ОТЫСКАНИЯ ОДЗ! Иначе знак выражения будет потерян безвозвратно. Основание 0,5 сводится к основанию 2 простой заменой знака… Далее есть возможность не только проделать «фокус» « с минус единичками», но и домножить разность в знаменателе на сопряженное ( заменить разность модулей на разность квадратов). Остальное – дело техники применения метода интервалов. Не забудьте ОДЗ!
	Задача не относится к «честным», то есть решаемым какими-то техническими приемами или сведением к рациональному уравнению с помощью замены переменной. Значит, надо проанализировать свойства участвующих функций. В частности, число 7 в неположительной степени является положительным, но не превосходит 1. А если исследовать множество значений логарифмируемого выражения и самого логарифма, то выясняется, что логарифм тоже принимает значения, не большие 1. Неравенство превращается в простую систему уравнений.		3
	Возводя корень в квадрат, не забудьте возникающее ограничение. Далее – «минус единички» или по случаям, так как основание переменное. Вычисления в этой задаче требуют терпения и внимательности.)