Пособие для учащихся «Применение производной к исследованию графиков функций»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

Пособие для учащихся

«Применение производной к исследованию графиков функций»

 В данной статье рассмотрены некоторые задачи, связанные с исследованием графика функции. На экзамене – это задание № 7 – задания на применение производной к исследованию функций.  Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной.. Поэтому необходимо  изучить соответствующую теорию. Чтобы успешно решить данное задание, нужно различать задания, в которых дается график функции и задачи, в которых дается график производной. Рассмотрим задачи, в которых даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также  другие.

Задачи

Задача 1.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = - 1;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

Решение:

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−0; –1), (2; 6,5), (10; 13). В них содержатся целые точки  3, 5, 6, 11 и 12. Получили  5 точек.

Ответ: 5.

2. Прямая  y = - 1 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = -1 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек пять:  0; 1; 2; 6,5;10.

Ответ: 5.

3. Производная равна нулю в пяти точках - в точках экстремума. Это точки - 0; 1; 2; 6,5;10.

Ответ: 5.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 (Ответ:4)

Задача 2.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 1;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

Решение:

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только  одна целая точка х = 2.

Ответ: 1.

2. Прямая  y = 1 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 1 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре:  –4,3; 1,4; 2,5; 4,4.

Ответ: 4.

3. Производная равна нулю в четырёх точках - в точках экстремума.

Ответ: 4.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции  f (x) отрицательна.

(Ответ: 8)

Задача 3.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале  (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

Решение:

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки:   –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

 Ответ: 4.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки  5  и  6. Получили  2 точки.

Ответ: 2.

3.Прямая  y = 2 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 2 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь:  1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

 Ответ: 7.

Производная равна нулю в семи точках - в точках экстремума.

Ответ: 7.

Решите самостоятельно:

Найдите сумму точек экстремумов функции f (x).

 (Ответ: 44)