Конспект урока по математике "Применение производной к исследованию функции и построениию графиков"
план-конспект урока по алгебре по теме

Слайд 1

Применение производной к исследованию функций и построению графиков Подготовила: преподаватель БСК Агапова Н. Н.

Слайд 2

научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков Цель урока: х у

Слайд 3

Вариант 1. (Cu)’=… …=( u’v-v’u )/v² ( cos x)’=… …=1/cos² x (e x )’ =… Вариант 2 . C’=… …=( u’v+v’u ) (sin x)’=… …=-1/sin² x ( x n )’ =… Вариант 1. (Cu)’= Cu’ (u/v) =( u’v-v’u )/v² ( cos x)’= -sin x tg x =1/cos² x (e x )’ = e x Вариант 2 . C’= 0 ( uv )’ =( u’v+v’u ) (sin x)’= cos x ctg x =-1/sin² x ( x n )’ = n*x n-1 Математический диктант:

Слайд 4

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции ( промежутков возрастания и убывания ). Такой анализ легко сделать с помощью производной. Классная работа

Слайд 5

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Слайд 6

возрастающая убывающая убывающая убывающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах

Слайд 7

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале. Теорема 1.

Слайд 8

Если производная функции y=f(x) положительна ( отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает) . Теорема 2.

Слайд 9

Находим область определения функции f(x) . Вычисляем производную f’(x) данной функции. Находим точки, в которых f’(x) =0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности . Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)› 0 , то на этом интервале f ( x) возрастает ; если f’(x)‹ 0 , то на таком интервале функция f(x) убывает . Правило нахождения интервалов монотонности

Слайд 10

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’= 0. x²-x-6 =0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;-2] υ [3;+∞) , функция убывает при x ϵ [ -2;3 ] . Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5 + + - -2 3

Слайд 11

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x. Находим критические точки: y’= 0. x²- 2 x =0 x(x-2)=0 x 1 =0 и x 2 =2 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞) , функция убывает при x ϵ [0 ; 2] . Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x² - - + 0 2

Слайд 12

Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x 0 ) . Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x 0 ) .

Слайд 13

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x 0 , то в этой точке производная функции или равна нулю , или не существует . Теорема 3 .

Слайд 14

Если производная f ’( x ) при переходе через точку x 0 меняет знак , то точка x 0 является точкой экстремума функции f ( x ). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4 .

Слайд 15

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= - 6x²-6x +12 . Находим критические точки: y’= 0. - x²-x +2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 Делим область определения на интервалы: x =-2 – точка минимума . Найдём минимум функции y min =-24 . x =1 – точка максимума . Найдём максимум функции: y max =3 . Пример № 3 . Найти экстремумы функции y= - 2x³-3x² +12 x -4 - - + -2 1

Слайд 16

Определение возрастающей (убывающей) функции. Теорема о возрастании (убывании) функции. Точка минимума (максимума) функции. Стационарные и критические точки производной. Достаточные условия экстремума функции. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

Слайд 17

Учебник Лисичкина, Соловечика: № 564, 565, 566, 571 –стр. 253 Учебник Лисичкина , Соловейчика : № 572, 573, 575, 576 –стр. 253; Выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции. Работа на уроке: Задание на дом:

Слайд 18

Удачи!