Приемы решения уравнений в 5-6 классах
статья по алгебре (5 класс) на тему

Жарова Галия Шамратовна

Учитель математики МКОУ «Садовская СШ» Быковского района Волгоградской области  тел. 8904-405-49-56

Приемы решения уравнений в 5-6 классах

     Уравнение – самая простая и распространенная форма математической       задачи. Решение уравнений - одна из проблем в математике. В 5-м классе изучение уравнений начинается с определения уравнения, его корней, что значит решить уравнение. Повторяются правила нахождения неизвестных компонентов сложения, вычитания. Решаются уравнения, которые содержат буквенные выражения только в одной части уравнения. Для их решения учащиеся должны выполнить последовательно несколько преобразований, каждое из которых освоено ими раньше:  395+х=864 или  59=81-k (№395 Математика 5 класс Н.Я. Виленкин и др.) Учащиеся 5   класса затрудняются решать уравнения такого типа, как (х + 121) - 38 =269. Алгоритм решения таких уравнений дан в №375 данного учебника.

Обычно такие уравнения решаются так:

 чтобы найти уменьшаемое  х +121,

надо к вычитаемому 38 прибавить разность 269:

х + 121 = 38 + 269;

х + 121 =307.

Далее рассуждают так: чтобы найти неизвестное слагаемое Х, надо из суммы 307 вычесть известное слагаемое121:

х =307-121;

х =186.

Чаще всего ученики не видят в этом уравнении вычитаемого 38 и уменьшаемого (х+121). Если учащиеся имеют хорошие навыки решения простейших уравнений, можно решать подобные уравнения, приведя их к простейшим уравнениям. Рассмотрим  этот прием на примерах решения уравнений из № 376 учебник Математика 5класс Н.Я.Виленкин и др.

( х + 15) - 8=17.

Обозначим выражение, стоящее в скобках через a: х + 15 = а

Тогда получим такое уравнение:

а - 8=17;

а = 17+8

а = 25.

Теперь возвращаемся к выражению, стоящему в скобках:

х + 15 = а;

х + 15 = 25;

х = 25-15;

х = 10.

Ответ: 10.

2) ( 45-у) + 18 = 58

Подстановка 45-у = а;

а + 18 =58;

а =58-18;

а =40;

45-у=40

у=45-40

у=5

3) 56-(х+12)=24

Подстановка х+24= а;

56-а =24;

а =56-24;

а=32

х+12=32

х=32-12

х=20

4) 55-(х-15)=30

Подстановка х – 15 = а;

55-а=30

а=55-30

а=25

х-15=25

х=25+15

х=40

Этот приём позволяет легко решать такие сложные уравнения.

Для тех учащихся, кто так и не усвоил правил нахождения неизвестных: слагаемого, вычитаемого, множителя и т.д., используется при решении простейших уравнений приём «по аналогии». Например, нужно решить уравнение: х – 284 = 127. В стороне от этого уравнения слабый ученик записывает простейший арифметический пример 7 - 3 = 4. Ученик смотрит, где в этом примере должен стоять х (на месте7). Как из этого простого примера найти 7? Надо к 3 прибавить 4. Значит, и в данном уравнении, чтобы найти х, надо 127 сложить с 284

Учащиеся 6-го класса осваивают  новые методы решения уравнений. Вначале рассматривается возможность умножения или деления обеих частей на одно и то же отличное от нуля число. В обоих случаях делаются выводы о том, что при умножении (или делении) обеих частей уравнения на неравное нулю число получается новое уравнение с теми же корнями, что и заданное.

Далее осваивается способ переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака у слагаемого на противоположный. Так как обоснование этому способу также не дается (не изучались свойства равенства), то активно используется методические приемы с весами, с помощью которых учащиеся осознают смысл этого преобразования: все математические действия сопровождаются соответствующими действиями с весами. Покажем это на примере.

Решите уравнение х + 6 = 15

Вначале наполняем конкретным содержанием данную задачу: показываем картинку с весами или рассматриваем рисунок в учебнике. После выяснения соответствия картинки тексту задачи приступаем к решению уравнения.

Вынем из левой части уравнения число 6, это тоже самое, что снять с левой чаши весов гири в 5 кг и 1 кг. Чтобы равновесие не нарушилось, надо и с правой чаши весов снять гири массой в 6 кг, т.е. для сохранения равенства надо из правой части уравнения вычесть число 6.

х + 6 – 6 = 15 – 6

После упрощения получаем

х = 15 – 6

х = 9

Просмотрев ход решения, можно сделать выводы: а) число 9 является корнем уравнения, б) при переносе членов из одной части уравнения в другую с переменой знаков получаем новое уравнение, но с тем же корнем.

После решения уравнения делаются выводы о возможности переноса членов, являющихся буквенными выражениями. Делается вывод, что любые слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом знаки.

В 6 классе учащиеся знакомятся с  понятием модуля числа и учатся решать уравнения с  модулем. Уравнения с модулем сводятся к простейшим уравнениям, в решении которых применяется определение модуля, учитывается, что под знаком модуля могут быть как положительные выражения, так и отрицательные, при этом модуль бывает только неотрицательным числом. Начнем с такого вида:

Решаем это уравнение как линейное: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед модулем икса:

Получили простейшее уравнение с модулем.

Примеры:

Ответ: 9;-9.

Ответ: 4; -4.

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Ответ: нет решений.

В конце обучения в 6 классе можно сформировать у учащихся

обобщенный прием решения уравнений в следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно

сделать:

перенос слагаемых из одной части уравнения в другую,

приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения,      

раскрытие скобок,

деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного;

5) записать ответ.