Развитие исследовательских умений учащихся на уроках математики.
статья по алгебре на тему

Развитие исследовательских умений учащихся на уроках математики

Новохатская Галина Кузьминична, учитель  математики.

Муниципальное общеобразовательное учреждение Викторопольская средняя  общеобразовательная школа Вейделевского района Белгородской области.

Сейчас много говорят о проектах, об исследовательских задачах для школьников. В этой статье покажем как подготовить учеников к решению исследовательских задач, то есть какие формы работы и элементы урока помогают развивать исследовательские навыки.

Приведем конкретные примеры исследовательских умений.

Нестандартные задачи.

Большинство учащихся умеют решать полные квадратные уравнения, умеют переносить слагаемые из одной части в другую. Но уравнение 2х2+11х=-5 некоторые не могут решить.

То есть комбинировать простые идеи ученик не был научен.

Другой пример: уравнение х6+100х4+х2+1=0. У него нет корней, так как левая часть всегда положительна. Чтобы понять это, не надо знать ничего вне школьной программы, надо только понимать, что значит «решить уравнение», и не пугаться его вида. Установка должна быть четкой: «Не знаем алгоритма – не беда, подумаем».

Конструируем. Школьников постоянно просят решить пример и очень редко-придумать свой пример. Между тем такие задания полезны и в чисто учебном отношении: они  проверяют понимание, тренируют «конструкторские» способности.

Пример 1. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень  1.

Пример 2. Придумайте:

а) неравенство второй степени, решением которого является одно число;

б) неравенство четвертой степени, решением которого являются два числа.

Задаем вопросы. Школа этому мало учит. Вопросы обычно задает учитель, причем не потому, что не знает ответа, а потому, что хочет выяснить, знает ли его ученик. Между тем умение задавать вопрос «по делу» пригодится в жизни всем. Например. Пройдена тема «Квадратные уравнения». Учитель пишет на доске уравнение х2+бх+4=0 и говорит: «Придумайте вопрос к этому уравнению». Ученики начинают спрашивать: «При каких б уравнение имеет два корня?», «При каких б корни целые?», «При каких б есть корень, равный -1?». Отвечать на вопросы могут другие ученики или учитель.

Экспериментируем. Математика-наука не только теоретическая, но и экспериментальная. Хочется, чтобы ученик, встречая сложную задачу, к которой не понятно, как подступиться, не пасовал, а начинал изучать частные случаи, пока за ними не выстроится закономерность.

В сложных задачах часто дано большое значение параметра, а надо решить сначала для маленького и угадать закономерность. Например, так легче всего найти сумму –(-1-(-1-(-1-(-1-…)))), где 2007 или 2008 пар скобок. Угадать и доказать- в этом нет ни чего зазорного.

Выдвигаем гипотезы. В геометрии большой простор для экспериментирования дает программа «Живая геометрия». С ее помощью можно строить довольно сложные геометрические конструкции, изменять их и наблюдать различные свойства.

Пример. Когда пройдена тема «Четырехугольники», можно дать новую фигуру-дельтоид, то есть четырехугольник АВСD, у которого АВ=ВС, СD=DА, и попросить учащихся найти его свойства и признаки по аналогии с параллелограммом и другими изученными фигурами. Затем можно исследовать равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники (тут пригодится «Живая геометрия»). Оказывается, у равносторонних шестиугольников никаких интересных свойств нет. Школьникам трудно с этим смириться, но это тоже результат - и это важно понимать.

Задачи.

Какие этапы нужно постепенно пройти на уроке от школьной задачи, в которой есть определенные данные и конкретный вопрос, к исследовательской задаче?

 1-й этап.  Задача с определенными данными и несколькими вопросами по модели «найти» или «доказать».

Пример. Саша купил 2 карандаша, 4 тетради и 4 ручки и заплатил 32 рубля, а Дима купил 4 карандаша, 2 тетради и 2 ручки и заплатил 22 рубля.

а)  Сколько заплатила Маша, если она купила карандаш, тетрадь и ручку?.

б)  Сколько стоит карандаш?.

в) Сколько заплатил Витя, если он купил 3 тетради и 3 ручки?

2-й этап. «Заготовка задачи». Данные есть; требуется поставить разумный вопрос, чтобы на него можно было  найти ответ.

Пример. В ромбе сторона равна а и равна одной из диагоналей. Задайте вопрос и решите задачу . (Найдите углы ромба, другую диагональ, высоту, площадь и т.д.)

3-й этап. Анализ данных. Что можно найти, исходя из данных, а что нельзя ?.

 Пример. В трапеции АВСD известны основания ВС = а, АD = в и высота BH = h. Диагонали пересекаются в точке К . Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

а) Сторону АВ.

б) Диагональ АС.

в) Площадь треугольника АКD .

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных не достаточно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющмх разные другие величины.

4-й этап. Работа с данными. Что нужно задать  чтобы найти некоторую величину?

Пример. Задайте минимальное количество точек координатной плоскости, лежащих на параболе, чтобы можно было найти квадратную функцию, графиком которой эта парабола является.

5-й этап. Создание учеником задачи с использованием уже разобранной задачи (задача на ту же идею, обобщение задачи, усиление условия и т.д.).

Пример. Коля доказал, что в прямоугольнике биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу; значит, 4 биссектрисы образуют параллелограмм. Верно ли его утверждение? Насколько оно интересно ? . Можете ли вы его дополнить?

Формы работы.

Диалоги. При введении нового материала полезно не давать все готовым «под запись», а обсуждать какие-то кусочки материала с учениками.

Пример. Научились решать квадратные уравнения и сводить к ним биквадратные. Какие еще уравнения можно решить с помощью этой идеи?

Открытые задачи. Почти во всех задачах просят «найти» или «доказать», а мы будем решать открытые задачи, в которых спрашивают; «верно ли , что…», «существует ли …», «когда существует», «обобщите», «уточните условия».

При открытой постановке вопроса учащиеся учатся задавать правильные вопросы, уточнять задачу, выделять ведущий параметр.

Домашняя олимпиада. Для учеников 5-7 классов можно проводить домашнюю олимпиаду. На неделю выделяется 5 нестандартных задач; затем проверка, разбор и новые задачи (за год до 30 циклов).

Фронтальное обсуждение «минипроекта». В 5-6 классах  исследовательскую работу можно вести с сильными учащимися прямо на уроке. Этим облегчается переход к новой форме работы, требующей самоорганизации.

Литература

1.Сгибнев А.И Исследуем на уроке и на проекте. Сборник «Учим математике». Под ред. А.Д Блинкова, И.Б Писаренко, И.В Ященко. –М.: МЦНМО, 2006, с. 59-71.

2. Сгибнев А. Как задавать вопросы. Математика, 2007 № 12.

3. Сгибнев А.,  Шноль  Д. Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал». Математика, 2007.

4. Сгибнев А. Экспериментальная математика. Математика, 2007, №3.

5. Чулков П.В. Нестандартные задачи и обучение математике. Сборник «Учим математике». Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б Писаренко, И.В Ященко,- М.: МЦНМО, 2006.